Fișă de formule - Matematică științele naturii pentru Bacalaureat, gratuită, de printat

Fișă de formule - Matematică științele naturii, academos.online/fise/matematica-m2/

Fișa urmează programa de științele naturii. Marcajul (nu la tehnologic) arată conținuturile care lipsesc din programa de tehnologic. Pentru pedagogic rămân: clasa a IX-a fără partea întreagă, inducție, Menelau, Ceva și formulele trigonometrice (din trigonometrie rămân tabelul de valori, triunghiul dreptunghic, $sin (18 0^{\circ} - x) = sin x$ , $cos (18 0^{\circ} - x) = - cos x$ , teorema sinusurilor și teorema cosinusului); clasa a X-a fără numere complexe, funcții inverse, funcții trigonometrice, binomul lui Newton și dispersie; structurile algebrice (monoid, grup, inel, corp); matricele, determinanții și sistemele liniare. Analiza matematică și polinoamele nu intră la pedagogic.

Mulțimi și elemente de logică matematică (clasa a IX-a)

Modul: $∣ x ∣ = x$ ( $x \geq 0$ ), $∣ x ∣ = - x$ ( $x < 0$ ); $x^{2} = ∣ x ∣$ ; $∣ x y ∣ = ∣ x ∣∣ y ∣$ ; $∣ x + y ∣ \leq ∣ x ∣ + ∣ y ∣$ ; pentru $a > 0$ : $∣ x ∣ \leq a \Leftrightarrow - a \leq x \leq a$ ; $∣ x ∣ \geq a \Leftrightarrow x \leq - a$ sau $x \geq a$ .
Partea întreagă (nu la tehnologic): $[x] \in Z$ , $[x] \leq x < [x] + 1$ ; partea fracționară: ${x} = x - [x] \in [0, 1)$ ; $[x + k] = [x] + k$ , $k \in Z$ .
Logică: $\neg (p \land q) \Leftrightarrow \neg p \lor \neg q$ ; $\neg (p \lor q) \Leftrightarrow \neg p \land \neg q$ ; $(p \Rightarrow q) \Leftrightarrow (\neg p \lor q)$ ; $\neg (\forall x, p (x)) \Leftrightarrow \exists x, \neg p (x)$ .
Mulțimi: $C_{E} (A \cup B) = C_{E} A \cap C_{E} B$ ; $C_{E} (A \cap B) = C_{E} A \cup C_{E} B$ ; inducție: $P (n_{0})$ și $P (k) \Rightarrow P (k + 1)$ , $\forall k \geq n_{0}$ $\Rightarrow P (n)$ , $\forall n \geq n_{0}$ .

Șiruri

Crescător: $a_{n + 1} - a_{n} \geq 0$ , $\forall n$ (pentru termeni pozitivi: $\frac{a _{n + 1}}{a _{n}} \geq 1$ ); mărginit: $\exists m, M$ cu $m \leq a_{n} \leq M$ , $\forall n$ .
Progresie aritmetică: $a_{n + 1} = a_{n} + r$ ; $a_{n} = a_{1} + (n - 1) r$ ; $S_{n} = \frac{( a _{1} + a _{n} ) n}{2} = \frac{[ 2 a _{1} + ( n - 1 ) r ] n}{2}$ ; $a, b, c$ în progresie aritmetică $\Leftrightarrow 2 b = a + c$ .
Progresie geometrică ( $b_{1}, q \neq = 0$ ): $b_{n + 1} = b_{n} q$ ; $b_{n} = b_{1} q^{n - 1}$ ; $S_{n} = b_{1} \frac{q ^{n} - 1}{q - 1}$ ( $q \neq = 1$ ); $S_{n} = n b_{1}$ ( $q = 1$ ); $a, b, c$ nenule în progresie geometrică $\Leftrightarrow b^{2} = a c$ .

Funcții; lecturi grafice

$M (a, b) \in G_{f} \Leftrightarrow f (a) = b$ ; $G_{f} \cap O x$ : soluțiile ecuației $f (x) = 0$ ; $G_{f} \cap O y$ : $(0, f (0))$ .
Pară: $f (- x) = f (x)$ (simetrie față de $O y$ ); impară: $f (- x) = - f (x)$ (simetrie față de $O$ ); simetrie față de dreapta $x = m$ : $f (2 m - x) = f (x)$ ; periodică: $f (x + T) = f (x)$ , $T > 0$ .
$f$ strict crescătoare pe $I$ $\Leftrightarrow \frac{f ( x _{1} ) - f ( x _{2} )}{x _{1} - x _{2}} > 0$ , $\forall x_{1} \neq = x_{2} \in I$ (strict descrescătoare: $< 0$ ); $(g \circ f) (x) = g (f (x))$ .

Funcția de gradul I

$f (x) = a x + b$ , $a \neq = 0$ : rădăcina $- \frac{b}{a}$ , $G_{f} \cap O y = {(0, b)}$ ; $a > 0$ : strict crescătoare, $a < 0$ : strict descrescătoare; $f (x)$ are semnul lui $a$ pentru $x > - \frac{b}{a}$ .
Sistemul $a x + b y = c$ , $m x + n y = p$ : soluție unică $\Leftrightarrow an - bm \neq = 0$ (drepte concurente); $\frac{a}{m} = \frac{b}{n} \neq = \frac{c}{p}$ : incompatibil (paralele); $\frac{a}{m} = \frac{b}{n} = \frac{c}{p}$ : nedeterminat (confundate).

Funcția de gradul al II-lea

$f (x) = a x^{2} + b x + c$ , $a \neq = 0$ , $Δ = b^{2} - 4 a c$ ; $Δ \geq 0$ : $x_{1, 2} = \frac{- b \pm Δ}{2 a}$ , $f (x) = a (x - x_{1}) (x - x_{2})$ ; vârful $V (- \frac{b}{2 a}, - \frac{Δ}{4 a})$ ; axa de simetrie $x = - \frac{b}{2 a}$ .
$a > 0$ : descrescătoare pe $(- \infty, - \frac{b}{2 a}]$ , crescătoare pe $[- \frac{b}{2 a}, + \infty)$ , $min f = - \frac{Δ}{4 a}$ , $Im f = [- \frac{Δ}{4 a}, + \infty)$ ; $a < 0$ : invers, $max f = - \frac{Δ}{4 a}$ .
Viète: $S = x_{1} + x_{2} = - \frac{b}{a}$ , $P = x_{1} x_{2} = \frac{c}{a}$ ; $x_{1}^{2} + x_{2}^{2} = S^{2} - 2 P$ ; ecuația cu rădăcinile $x_{1}, x_{2}$ : $x^{2} - S x + P = 0$ (sistemul $x + y = s$ , $x y = p$ se rezolvă cu $t^{2} - s t + p = 0$ ).
Semn: $Δ < 0$ : semnul lui $a$ ; $Δ > 0$ : semnul lui $a$ în afara rădăcinilor, contrar între ele; $f (x) > 0, \forall x \in R \Leftrightarrow a > 0, Δ < 0$ .
Dreapta $y = m x + n$ și parabola: ecuația $a x^{2} + (b - m) x + c - n = 0$ are $Δ > 0$ (secante), $Δ = 0$ (tangente), $Δ < 0$ (disjuncte).

Vectori în plan

$A B + BC = A C$ ; $A BC D$ paralelogram $\Rightarrow A B + A D = A C$ ; $M$ mijlocul lui $[A B]$ : $M A + MB = 0$ , $OM = \frac{1}{2} (O A + OB)$ .
$u, v$ ( $v \neq = 0$ ) coliniari $\Leftrightarrow u = α v$ , $α \in R$ ; $u, v$ necoliniari: orice $w$ se scrie unic $w = α u + β v$ .

Coliniaritate, concurență, paralelism - calcul vectorial (nu la tehnologic)

$r_{A} = O A$ , $A B = r_{B} - r_{A}$ ; $M \in (A B)$ , $\frac{M A}{MB} = k$ : $r_{M} = \frac{r _{A} + k r _{B}}{1 + k}$ ; centrul de greutate: $r_{G} = \frac{r _{A} + r _{B} + r _{C}}{3}$ , $G A + GB + GC = 0$ .
Thales: $M \in (A B)$ , $N \in (A C)$ : $MN ∥ BC \Leftrightarrow \frac{A M}{A B} = \frac{A N}{A C}$ .
Menelau: o dreaptă care nu trece prin vârfuri taie $BC$ , $C A$ , $A B$ în $M$ , $N$ , $P$ $\Rightarrow \frac{MB}{MC} \cdot \frac{NC}{N A} \cdot \frac{P A}{PB} = 1$ .
Ceva: $M \in (BC)$ , $N \in (C A)$ , $P \in (A B)$ : $A M$ , $BN$ , $CP$ concurente $\Leftrightarrow \frac{MB}{MC} \cdot \frac{NC}{N A} \cdot \frac{P A}{PB} = 1$ .

Elemente de trigonometrie

$x$	$0$	$\frac{π}{6} (3 0^{\circ})$	$\frac{π}{4} (4 5^{\circ})$	$\frac{π}{3} (6 0^{\circ})$	$\frac{π}{2} (9 0^{\circ})$	$π$	$\frac{3 π}{2}$
$sin x$	$0$	$\frac{1}{2}$	$\frac{2}{2}$	$\frac{3}{2}$	$1$	$0$	$- 1$
$cos x$	$1$	$\frac{3}{2}$	$\frac{2}{2}$	$\frac{1}{2}$	$0$	$- 1$	$0$
$tg x$	$0$	$\frac{3}{3}$	$1$	$3$	-	$0$	-
$ctg x$	-	$3$	$1$	$\frac{3}{3}$	$0$	-	$0$

Radiani: $α_{rad} = \frac{π \cdot α ^{\circ}}{18 0 ^{\circ}}$ ; $sin > 0$ în cadranele I, II; $cos > 0$ în I, IV; $tg, ctg > 0$ în I, III.
$sin^{2} x + cos^{2} x = 1$ ; $tg x = \frac{s i n x}{c o s x}$ ; $ctg x = \frac{c o s x}{s i n x} = \frac{1}{tg x}$ ; $1 + tg^{2} x = \frac{1}{c o s ^{2} x}$ .
$tg : R ∖ {\frac{π}{2} + kπ ∣ k \in Z} \to R$ , $ctg : R ∖ {kπ ∣ k \in Z} \to R$ ; perioada principală: $2 π$ ( $sin$ , $cos$ ), $π$ ( $tg$ , $ctg$ ).
$sin (- x) = - sin x$ ; $cos (- x) = cos x$ ; $tg (- x) = - tg x$ ; $sin (\frac{π}{2} - x) = cos x$ ; $cos (\frac{π}{2} - x) = sin x$ .
Reducerea la primul cadran: $sin (π - x) = sin x$ , $cos (π - x) = - cos x$ ; $sin (π + x) = - sin x$ , $cos (π + x) = - cos x$ ; $sin (2 π - x) = - sin x$ , $cos (2 π - x) = cos x$ ; $tg (π \pm x) = \pm tg x$ .

sin (a \pm b) = sin a cos b \pm cos a sin b, cos (a \pm b) = cos a cos b \mp sin a sin b

$sin 2 a = 2 sin a cos a$ ; $cos 2 a = cos^{2} a - sin^{2} a = 2 cos^{2} a - 1 = 1 - 2 sin^{2} a$ ; $sin^{2} a = \frac{1 - c o s 2 a}{2}$ ; $cos^{2} a = \frac{1 + c o s 2 a}{2}$ .
Transformarea sumei în produs (nu la tehnologic):

sin a \pm sin b = 2 sin \frac{a \pm b}{2} cos \frac{a \mp b}{2}, cos a + cos b = 2 cos \frac{a + b}{2} cos \frac{a - b}{2}, cos a - cos b = - 2 sin \frac{a + b}{2} sin \frac{a - b}{2}

Aplicații ale trigonometriei și ale produsului scalar

Produs scalar (nu la tehnologic): $u \cdot v = ∣ u ∣∣ v ∣ cos θ = x_{1} x_{2} + y_{1} y_{2}$ (pentru $u = x_{1} i + y_{1} j$ , $v = x_{2} i + y_{2} j$ ); $∣ u ∣ = x_{1}^{2} + y_{1}^{2}$ ; $u ⊥ v \Leftrightarrow u \cdot v = 0$ .
Notații: $a = BC$ , $b = C A$ , $c = A B$ , $p = \frac{a + b + c}{2}$ , $S$ aria, $R$ , $r$ razele cercurilor circumscris, înscris.
$\hat{A} = 9 0^{\circ}$ : $a^{2} = b^{2} + c^{2}$ ; $sin B = \frac{b}{a}$ , $cos B = \frac{c}{a}$ , $tg B = \frac{b}{c}$ ; $h_{a} = \frac{b c}{a}$ ; $R = \frac{a}{2}$ ; $r = \frac{b + c - a}{2}$ ; $A B^{2} = B D \cdot BC$ , $A D^{2} = B D \cdot D C$ ( $A D ⊥ BC$ ).
Teorema cosinusului: $a^{2} = b^{2} + c^{2} - 2 b c cos A$ ; teorema sinusurilor: $\frac{a}{s i n A} = \frac{b}{s i n B} = \frac{c}{s i n C} = 2 R$ .
$S = \frac{a h _{a}}{2} = \frac{b c s i n A}{2} = p (p - a) (p - b) (p - c) = \frac{ab c}{4 R} = p r$ ; mediana: $m_{a}^{2} = \frac{2 ( b ^{2} + c ^{2} ) - a ^{2}}{4}$ ; bisectoarea $A D$ : $\frac{D B}{D C} = \frac{A B}{A C}$ .
Triunghi echilateral de latură $ℓ$ : $h = \frac{ℓ 3}{2}$ , $S = \frac{ℓ ^{2} 3}{4}$ , $R = \frac{ℓ 3}{3}$ , $r = \frac{ℓ 3}{6}$ .

Mulțimi de numere (clasa a X-a)

$a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ ; $a^{m} : a^{n} = a^{m - n}$ ; $(a^{m})^{n} = a^{mn}$ ; $(ab)^{n} = a^{n} b^{n}$ ; $a^{- n} = \frac{1}{a ^{n}}$ ; $a^{\frac{m}{n}} = n a^{m}$ ( $a > 0$ ).
$a, b \geq 0$ : $n ab = n a n b$ ; $n \frac{a}{b} = \frac{n a}{n b}$ ; $m n a = mn a$ ; $n p a^{m p} = n a^{m}$ ; $3 - a = - 3 a$ .
$a > 0$ , $a \neq = 1$ , $x, y > 0$ : $lo g_{a} x = y \Leftrightarrow a^{y} = x$ ; $a^{l o g_{a} x} = x$ ; $lo g_{a} 1 = 0$ ; $lo g_{a} a = 1$ ; $lo g_{a} (x y) = lo g_{a} x + lo g_{a} y$ ; $lo g_{a} \frac{x}{y} = lo g_{a} x - lo g_{a} y$ ; $lo g_{a} x^{n} = n lo g_{a} x$ .
$lo g_{a} x = \frac{l o g _{b} x}{l o g _{b} a}$ ; $lo g_{a} b = \frac{1}{l o g _{b} a}$ ; $lo g_{a^{k}} x = \frac{1}{k} lo g_{a} x$ ; $l g x = lo g_{10} x$ ; $ln x = lo g_{e} x$ , $e \approx 2, 718$ .
$z = a + bi$ , $i^{2} = - 1$ ; $i^{4 k} = 1$ , $i^{4 k + 1} = i$ , $i^{4 k + 2} = - 1$ , $i^{4 k + 3} = - i$ ; $\overset{z}{ˉ} = a - bi$ ; $z + \overset{z}{ˉ} = 2 a$ ; $z \overset{z}{ˉ} = a^{2} + b^{2} = ∣ z ∣^{2}$ ; $\overline{z_{1} z_{2}} = \overset{z}{ˉ}_{1} \overset{z}{ˉ}_{2}$ ; $\frac{z _{1}}{z _{2}} = \frac{z _{1} z ˉ _{2}}{∣ z _{2} ∣ ^{2}}$ .
$∣ z ∣ = a^{2} + b^{2}$ ; $∣ z_{1} z_{2} ∣ = ∣ z_{1} ∣∣ z_{2} ∣$ ; $z \in R \Leftrightarrow z = \overset{z}{ˉ}$ ; imaginea lui $z$ este $M (a, b)$ ; $∣ z_{1} - z_{2} ∣ = M_{1} M_{2}$ (interpretarea geometrică: nu la tehnologic).
$a x^{2} + b x + c = 0$ , $a, b, c \in R$ , $Δ < 0$ : $x_{1, 2} = \frac{- b \pm i - Δ}{2 a}$ ; ecuația bipătrată $a x^{4} + b x^{2} + c = 0$ (nu la tehnologic): se notează $x^{2} = t$ .

Funcții și ecuații

$n x$ : $D = [0, + \infty)$ pentru $n$ par, $D = R$ pentru $n$ impar; $a^{x}$ și $lo g_{a} x$ sunt strict crescătoare pentru $a > 1$ , strict descrescătoare pentru $0 < a < 1$ .
Injectivă: $f (x_{1}) = f (x_{2}) \Rightarrow x_{1} = x_{2}$ ; surjectivă: $\forall y \in B$ , $\exists x \in A$ cu $f (x) = y$ ; inversabilă $\Leftrightarrow$ bijectivă; $G_{f^{- 1}}$ este simetricul lui $G_{f}$ față de $y = x$ .
$arcsin : [- 1, 1] \to [- \frac{π}{2}, \frac{π}{2}]$ , $arccos : [- 1, 1] \to [0, π]$ , $arctg : R \to (- \frac{π}{2}, \frac{π}{2})$ , $arcctg : R \to (0, π)$ .
$arcsin (- x) = - arcsin x$ ; $arccos (- x) = π - arccos x$ ; $arctg (- x) = - arctg x$ ; $arcsin x + arccos x = arctg x + arcctg x = \frac{π}{2}$ .
$f (x) = g (x) \Leftrightarrow f (x) = g^{2} (x), g (x) \geq 0$ ; $a^{f (x)} = b \Leftrightarrow f (x) = lo g_{a} b$ ( $b > 0$ ); $lo g_{a} f (x) = lo g_{a} g (x) \Leftrightarrow f (x) = g (x) > 0$ .
Ecuații trigonometrice (nu la tehnologic), $k \in Z$ : $sin x = a \Leftrightarrow x = (- 1)^{k} arcsin a + kπ$ ; $cos x = a \Leftrightarrow x = \pm arccos a + 2 kπ$ ( $a \in [- 1, 1]$ ); $tg x = a \Leftrightarrow x = arctg a + kπ$ ; $ctg x = a \Leftrightarrow x = arcctg a + kπ$ .
$sin u = sin v \Leftrightarrow u = (- 1)^{k} v + kπ$ ; $cos u = cos v \Leftrightarrow u = \pm v + 2 kπ$ ; $tg u = tg v \Leftrightarrow u = v + kπ$ (la fel pentru $ctg$ ).

Metode de numărare

Funcții $f : A \to B$ : $n^{m}$ ( $card A = m$ , $card B = n$ ); bijective: $P_{n} = n!$ , $0! = 1$ ; injective ( $card A = k$ ): $A_{n}^{k} = \frac{n !}{( n - k )!} = n (n - 1) \dots (n - k + 1)$ .
$C_{n}^{k} = \frac{n !}{k ! ( n - k )!} = \frac{A _{n}^{k}}{P _{k}}$ ; $C_{n}^{k} = C_{n}^{n - k}$ ; $C_{n}^{k} = C_{n - 1}^{k} + C_{n - 1}^{k - 1}$ ; $C_{n}^{0} + C_{n}^{1} + \dots + C_{n}^{n} = 2^{n}$ (numărul submulțimilor).
Binomul lui Newton (nu la tehnologic): $(a + b)^{n} = \sum_{k = 0}^{n} C_{n}^{k} a^{n - k} b^{k}$ ; $T_{k + 1} = C_{n}^{k} a^{n - k} b^{k}$ ; pentru $(a - b)^{n}$ : $T_{k + 1} = (- 1)^{k} C_{n}^{k} a^{n - k} b^{k}$ .

Matematici financiare

$p %$ din $x$ : $\frac{p}{100} x$ ; după o creștere cu $p %$ : $x (1 + \frac{p}{100})$ ; preț cu TVA $=$ preț fără TVA $\cdot (1 + \frac{t}{100})$ ; dobândă simplă: $D = S_{0} \frac{p}{100} n$ ; compusă: $S_{n} = S_{0} (1 + \frac{p}{100})^{n}$ .
Medii: $\overset{x}{ˉ} = \frac{x _{1} + \dots + x _{n}}{n}$ ; ponderată $\frac{f _{1} x _{1} + \dots + f _{k} x _{k}}{f _{1} + \dots + f _{k}}$ ; geometrică $n x_{1} \dots x_{n}$ ; armonică $\frac{n}{\frac{1}{x _{1}} + \dots + \frac{1}{x _{n}}}$ ; dispersia (nu la tehnologic) $σ^{2} = \frac{1}{n} \sum (x_{i} - \overset{x}{ˉ})^{2}$ ; $σ = σ^{2}$ .
$P (A) = \frac{nr. cazuri favorabile}{nr. cazuri posibile}$ ; $P (\overset{ˉ}{A}) = 1 - P (A)$ ; $P (A \cup B) = P (A) + P (B) - P (A \cap B)$ .

Geometrie

$A B = (x_{B} - x_{A})^{2} + (y_{B} - y_{A})^{2}$ ; $A B = (x_{B} - x_{A}) i + (y_{B} - y_{A}) j$ ; $x_{1} i + y_{1} j ∥ x_{2} i + y_{2} j \Leftrightarrow x_{1} y_{2} = x_{2} y_{1}$ .
Mijloc: $M (\frac{x _{A} + x _{B}}{2}, \frac{y _{A} + y _{B}}{2})$ ; centrul de greutate: $G (\frac{x _{A} + x _{B} + x _{C}}{3}, \frac{y _{A} + y _{B} + y _{C}}{3})$ ; panta: $m_{A B} = \frac{y _{B} - y _{A}}{x _{B} - x _{A}} = tg α$ .
Dreapta: $y - y_{A} = m (x - x_{A})$ ; $\frac{y - y _{A}}{y _{B} - y _{A}} = \frac{x - x _{A}}{x _{B} - x _{A}}$ ; cu vectorul director $p i + q j$ : $\frac{x - x _{A}}{p} = \frac{y - y _{A}}{q}$ ; $a x + b y + c = 0$ , $m = - \frac{a}{b}$ .
$d_{1} ∥ d_{2} \Leftrightarrow m_{1} = m_{2}$ ; $d_{1} ⊥ d_{2} \Leftrightarrow m_{1} m_{2} = - 1$ ( $a_{1} a_{2} + b_{1} b_{2} = 0$ ); distanța de la $M_{0} (x_{0}, y_{0})$ la $a x + b y + c = 0$ : $\frac{∣ a x _{0} + b y _{0} + c ∣}{a ^{2} + b ^{2}}$ .

Matrice. Determinanți (clasa a XI-a)

$(A B)_{ij} = \sum_{k} a_{ik} b_{kj}$ ; în general $A B \neq = B A$ ; $(A B) C = A (BC)$ ; $A (B + C) = A B + A C$ ; $A I_{n} = I_{n} A = A$ ; $(A^{t})^{t} = A$ .

a c b d = a d - b c, a_{11} a_{21} a_{31} a_{12} a_{22} a_{32} a_{13} a_{23} a_{33} = a_{11} a_{22} a_{33} + a_{12} a_{23} a_{31} + a_{13} a_{21} a_{32} - a_{13} a_{22} a_{31} - a_{11} a_{23} a_{32} - a_{12} a_{21} a_{33}

$det A^{t} = det A$ ; $det (A B) = det A det B$ ; $det (α A) = α^{n} det A$ , $A \in M_{n}$ ; $1 a a^{2} 1 b b^{2} 1 c c^{2} = (b - a) (c - a) (c - b)$ .
Schimbarea a două linii schimbă semnul; linii egale sau proporționale $\Rightarrow det A = 0$ ; adunarea la o linie a altei linii înmulțite cu un număr nu schimbă $det A$ (la fel pentru coloane).

Sisteme de ecuații liniare

$A$ inversabilă $\Leftrightarrow det A \neq = 0$ ; $A^{- 1} = \frac{1}{d e t A} A^{*}$ ( $A^{*}$ : în $A^{t}$ , fiecare element se înlocuiește cu complementul său algebric $(- 1)^{i + j} d_{ij}$ ); $A A^{- 1} = A^{- 1} A = I_{n}$ .
$(a c b d)^{- 1} = \frac{1}{a d - b c} (d - c - b a)$ ; $A X = B \Rightarrow X = A^{- 1} B$ ; $X A = B \Rightarrow X = B A^{- 1}$ .
Cramer: $Δ = det A \neq = 0 \Rightarrow$ soluție unică $x = \frac{Δ _{x}}{Δ}$ , $y = \frac{Δ _{y}}{Δ}$ , $z = \frac{Δ _{z}}{Δ}$ ( $Δ_{x}$ : coloana lui $x$ înlocuită cu coloana termenilor liberi); sistemul omogen are și soluții nenule $\Leftrightarrow Δ = 0$ .

A B : x x_{A} x_{B} y y_{A} y_{B} 111 = 0, A_{A BC} = \frac{1}{2} ∣Δ∣, Δ = x_{A} x_{B} x_{C} y_{A} y_{B} y_{C} 111, A, B, C coliniare \Leftrightarrow Δ = 0

Limite de funcții

$x \to + \infty lim a^{x} = + \infty$ și $x \to - \infty lim a^{x} = 0$ ( $a > 1$ ); $x \to + \infty lim a^{x} = 0$ și $x \to - \infty lim a^{x} = + \infty$ ( $0 < a < 1$ ).
$a > 1$ : $x \to + \infty lim lo g_{a} x = + \infty$ , $x ↘ 0 lim lo g_{a} x = - \infty$ ; $0 < a < 1$ : $x \to + \infty lim lo g_{a} x = - \infty$ , $x ↘ 0 lim lo g_{a} x = + \infty$ .
$x \to \pm \infty lim (a_{n} x^{n} + \dots + a_{0}) = x \to \pm \infty lim a_{n} x^{n}$ ; $x \to - \infty lim x^{n} = + \infty$ ( $n$ par), $- \infty$ ( $n$ impar); $\frac{1}{0 _{+}} = + \infty$ , $\frac{1}{0 _{-}} = - \infty$ .
Raport de polinoame de grade $p$ , $q$ , la $\pm \infty$ : $0$ ( $p < q$ ); raportul coeficienților dominanți ( $p = q$ ); $\pm \infty$ ( $p > q$ ).
Cazuri exceptate: $\frac{0}{0}$ , $\frac{\infty}{\infty}$ , $0 \cdot \infty$ ; limita în $x_{0}$ există $\Leftrightarrow l_{s} (x_{0}) = l_{d} (x_{0})$ ; $x \to + \infty lim \frac{l n x}{x} = 0$ , $x \to + \infty lim \frac{x}{e ^{x}} = 0$ .
Asimptote: orizontală $y = ℓ$ , dacă $x \to \pm \infty lim f (x) = ℓ \in R$ ; verticală $x = a$ , dacă o limită laterală în $a$ este infinită; oblică $y = m x + n$ : $m = x \to \pm \infty lim \frac{f ( x )}{x} \in R^{*}$ , $n = x \to \pm \infty lim (f (x) - m x) \in R$ .

Funcții continue

$f$ continuă în $x_{0}$ $\Leftrightarrow l_{s} (x_{0}) = l_{d} (x_{0}) = f (x_{0})$ ; funcțiile elementare sunt continue pe domeniu; operațiile cu funcții continue dau funcții continue.
Darboux: $f$ continuă pe $[a, b]$ , $f (a) f (b) < 0 \Rightarrow \exists c \in (a, b)$ cu $f (c) = 0$ ; o funcție continuă fără zerouri pe un interval are semn constant pe el.

Funcții derivabile

$f^{'} (x_{0}) = x \to x_{0} lim \frac{f ( x ) - f ( x _{0} )}{x - x _{0}}$ ; tangenta în $(x_{0}, f (x_{0}))$ : $y - f (x_{0}) = f^{'} (x_{0}) (x - x_{0})$ ; derivabilă $\Rightarrow$ continuă.

$f (x)$	$f^{'} (x)$	$f (x)$	$f^{'} (x)$	$f (x)$	$f^{'} (x)$
$c$	$0$	$e^{x}$	$e^{x}$	$tg x$	$\frac{1}{c o s ^{2} x}$
$x^{n}$	$n x^{n - 1}$	$a^{x}$	$a^{x} ln a$	$ctg x$	$- \frac{1}{s i n ^{2} x}$
$x^{α}$ ( $x > 0$ )	$α x^{α - 1}$	$ln x$	$\frac{1}{x}$	$arcsin x$	$\frac{1}{1 - x ^{2}}$
$x$	$\frac{1}{2 x}$	$lo g_{a} x$	$\frac{1}{x l n a}$	$arccos x$	$- \frac{1}{1 - x ^{2}}$
$3 x$	$\frac{1}{3 3 x ^{2}}$	$sin x$	$cos x$	$arctg x$	$\frac{1}{1 + x ^{2}}$
$\frac{1}{x}$	$- \frac{1}{x ^{2}}$	$cos x$	$- sin x$	$arcctg x$	$- \frac{1}{1 + x ^{2}}$

$(f \pm g)^{'} = f^{'} \pm g^{'}$ ; $(c f)^{'} = c f^{'}$ ; $(f g)^{'} = f^{'} g + f g^{'}$ ; $(\frac{f}{g})^{'} = \frac{f ^{'} g - f g ^{'}}{g ^{2}}$ ; $(f \circ u)^{'} = (f^{'} \circ u) \cdot u^{'}$ , de exemplu $(e^{u})^{'} = e^{u} u^{'}$ , $(ln u)^{'} = \frac{u ^{'}}{u}$ , $(u^{n})^{'} = n u^{n - 1} u^{'}$ .
$f^{'} > 0$ ( $f^{'} < 0$ ) pe un interval $\Rightarrow f$ strict crescătoare (descrescătoare) pe el; punct de extrem: $f^{'}$ se anulează și își schimbă semnul.
$f^{''} \geq 0$ : convexă; $f^{''} \leq 0$ : concavă; punct de inflexiune: $f$ continuă în $x_{0}$ , cu tangentă, și $f^{''}$ își schimbă semnul în $x_{0}$ .
Regulile lui l'Hospital ( $\frac{0}{0}$ , $\frac{\infty}{\infty}$ ): $lim \frac{f}{g} = lim \frac{f ^{'}}{g ^{'}}$ , dacă ultima limită există; $0 \cdot \infty$ se scrie $f \cdot g = \frac{f}{1/ g}$ .
Numărul soluțiilor ecuației $f (x) = m$ = numărul punctelor comune ale lui $G_{f}$ cu dreapta $y = m$ (din tabelul de variație).

Grupuri (clasa a XII-a)

Lege de compoziție pe $M$ : $x, y \in M \Rightarrow x * y \in M$ (parte stabilă); asociativă: $(x * y) * z = x * (y * z)$ ; comutativă: $x * y = y * x$ .
Element neutru: $x * e = e * x = x$ ; simetric: $x * x^{'} = x^{'} * x = e$ ; monoid: asociativă, cu element neutru; grup: monoid în care orice element este simetrizabil.
$(x * y)^{'} = y^{'} * x^{'}$ ; $a * x = b \Leftrightarrow x = a^{'} * b$ ; $x * y = k (x - h) (y - h) + h$ ( $k \neq = 0$ ): asociativă, comutativă, $e = h + \frac{1}{k}$ .
Morfism: $f (x * y) = f (x) \circ f (y)$ , deci $f (e) = e^{'}$ , $f (x^{'}) = (f (x))^{'}$ ; izomorfism: morfism bijectiv.
$Z_{n} = {\hat{0}, \hat{1}, \dots, n - 1}$ : $\overset{x}{^} + \overset{y}{^} = x + y$ , $\overset{x}{^} \cdot \overset{y}{^} = x y$ ; $\overset{x}{^}$ inversabil în $(Z_{n}, \cdot) \Leftrightarrow (x, n) = 1$ .

Inele și corpuri

Inel: $(A, +)$ grup abelian, înmulțirea asociativă, cu element neutru, distributivă față de adunare; divizori ai lui zero: $a, b \neq = 0$ , $ab = 0$ (de exemplu $\hat{2} \cdot \hat{3} = \hat{0}$ în $Z_{6}$ ).
Corp: inel comutativ în care orice element nenul este inversabil; $Z_{p}$ este corp pentru $p$ prim; morfism de inele: $f (x + y) = f (x) + f (y)$ , $f (x y) = f (x) f (y)$ , $f (1) = 1$ .

Inele de polinoame

$f = g \cdot q + r$ , $grad r < grad g$ ; restul împărțirii la $X - a$ este $f (a)$ ; Bézout: $(X - a) ∣ f \Leftrightarrow f (a) = 0$ ; $f (1)$ = suma coeficienților.
Horner (împărțirea la $X - a$ ): $b_{n - 1} = a_{n}$ , $b_{k - 1} = a b_{k} + a_{k}$ , restul $r = a b_{0} + a_{0}$ .
Viète, $a X^{3} + b X^{2} + c X + d$ : $x_{1} + x_{2} + x_{3} = - \frac{b}{a}$ , $x_{1} x_{2} + x_{1} x_{3} + x_{2} x_{3} = \frac{c}{a}$ , $x_{1} x_{2} x_{3} = - \frac{d}{a}$ ; $\sum x_{i}^{2} = s_{1}^{2} - 2 s_{2}$ .
Viète, $a X^{4} + b X^{3} + c X^{2} + d X + e$ (nu la tehnologic): $s_{1} = - \frac{b}{a}$ , $s_{2} = \frac{c}{a}$ , $s_{3} = - \frac{d}{a}$ , $s_{4} = \frac{e}{a}$ .

Doar științele naturii (nu la tehnologic):

$a$ rădăcină de ordin $k$ : $(X - a)^{k} ∣ f$ , $(X - a)^{k + 1} ∤ f$ ; ireductibile peste $R$ : gradul 1 și gradul 2 cu $Δ < 0$ ; c.m.m.d.c.: produsul factorilor ireductibili comuni, la puterea cea mai mică.
Coeficienți reali: $z$ rădăcină $\Rightarrow \overset{z}{ˉ}$ rădăcină; coeficienți raționali: $a + b d$ rădăcină $\Rightarrow a - b d$ rădăcină ( $d \in / Q$ ); coeficienți întregi: rădăcina $\frac{p}{q}$ , $(p, q) = 1$ , are $p ∣ a_{0}$ , $q ∣ a_{n}$ .
Ecuații reciproce: $a x^{3} + b x^{2} + b x + a = 0$ are rădăcina $- 1$ ; gradul 4: se împarte la $x^{2}$ , $t = x + \frac{1}{x}$ , $x^{2} + \frac{1}{x ^{2}} = t^{2} - 2$ ; ecuații binome: $x^{3} = 1 \Leftrightarrow x = 1$ sau $x^{2} + x + 1 = 0$ .

Primitive

$F^{'} = f$ ; două primitive diferă printr-o constantă; funcțiile continue admit primitive; $\int (α f + β g) = α \int f + β \int g$ .

$f (x)$	$\int f (x) d x$	$f (x)$	$\int f (x) d x$
$x^{n}$	$\frac{x ^{n + 1}}{n + 1} + C$	$\frac{1}{c o s ^{2} x}$	$tg x + C$
$x^{α}$ ( $x > 0$ , $α \neq = - 1$ )	$\frac{x ^{α + 1}}{α + 1} + C$	$\frac{1}{s i n ^{2} x}$	$- ctg x + C$
$\frac{1}{x}$	$ln ∣ x ∣ + C$	$tg x$	$- ln ∣ cos x ∣ + C$
$e^{x}$	$e^{x} + C$	$ctg x$	$ln ∣ sin x ∣ + C$
$a^{x}$	$\frac{a ^{x}}{l n a} + C$	$\frac{1}{x ^{2} + a ^{2}}$	$\frac{1}{a} arctg \frac{x}{a} + C$
$sin x$	$- cos x + C$	$\frac{1}{x ^{2} - a ^{2}}$	$\frac{1}{2 a} ln \frac{x - a}{x + a} + C$
$cos x$	$sin x + C$	$\frac{1}{a ^{2} - x ^{2}}$	$arcsin \frac{x}{a} + C$
$\frac{1}{x ^{2} + a ^{2}}$	$ln (x + x^{2} + a^{2}) + C$	$\frac{1}{x ^{2} - a ^{2}}$	$ln x + x^{2} - a^{2} + C$

În tabel $a > 0$ ; $\int \frac{u ^{'}}{u} d x = ln ∣ u ∣ + C$ ; $\int u^{α} u^{'} d x = \frac{u ^{α + 1}}{α + 1} + C$ ( $α \neq = - 1$ ); $\int e^{u} u^{'} d x = e^{u} + C$ .

Integrala definită

Leibniz-Newton: $\int_{a}^{b} f (x) d x = F (b) - F (a) = F (x)_{a}^{b}$ , $F$ o primitivă a lui $f$ (continuă).
$\int_{a}^{b} (α f + β g) = α \int_{a}^{b} f + β \int_{a}^{b} g$ ; $\int_{a}^{b} f = \int_{a}^{c} f + \int_{c}^{b} f$ ; $f \geq 0 \Rightarrow \int_{a}^{b} f \geq 0$ ; $f \leq g \Rightarrow \int_{a}^{b} f \leq \int_{a}^{b} g$ .
Prin părți: $\int_{a}^{b} f g^{'} d x = f g_{a}^{b} - \int_{a}^{b} f^{'} g d x$ ; schimbare de variabilă: $\int_{a}^{b} f (φ (t)) φ^{'} (t) d t = \int_{φ (a)}^{φ (b)} f (x) d x$ .
$\frac{P}{Q}$ , $grad Q \leq 4$ ( $grad Q \leq 2$ la tehnologic): fracții simple $\frac{A}{x - a}$ , $\frac{B}{( x - a ) ^{k}}$ , $\frac{C x + D}{x ^{2} + p x + q}$ ( $p^{2} - 4 q < 0$ ); $\int \frac{2 x + p}{x ^{2} + p x + q} d x = ln (x^{2} + p x + q) + C$ .
Aria dintre $G_{f}$ , $O x$ și dreptele $x = a$ , $x = b$ : $\int_{a}^{b} ∣ f (x) ∣ d x$ ; între $G_{f}$ și $G_{g}$ : $\int_{a}^{b} ∣ f (x) - g (x) ∣ d x$ ; volumul corpului de rotație: $V = π \int_{a}^{b} f^{2} (x) d x$ .

După Programa de examen pentru disciplina Matematică, programele M_șt-nat, M_tehnologic și M_pedagogic - Anexa nr. 2 la OMEN nr. 4.430/29.08.2014 (în vigoare pentru sesiunile 2026-2029). Ai găsit o greșeală? Scrie-ne la [email protected].

Fișă de formule - Matematică științele naturii