Matematică, model de subiect 2023

Corectează-te cu baremul

Ai rezolvat lucrarea pe foaie? Deschide baremul fiecărui item, trece-ți punctele și nota apare pe loc. Rămân salvate pe dispozitivul tău.

Subiectul I

1. 1. Rezultatul calculului 64 − 56 : 8 este egal cu: a) 0 b) 1 c) 56 d) 57

   −+din 5
   Arată baremul

   Răspuns: d

   SUBIECTUL I 1. d) 5p

2. 2. Știind că a/3 = b/4, atunci rezultatul calculului 4a − 3b este egal cu: a) 0 b) 1 c) 7 d) 12

   −+din 5
   Arată baremul

   Răspuns: a

   SUBIECTUL I 2. a) 5p

3. 3. Suma numerelor întregi din intervalul [−2022, 2022] este egală cu: a) −2022 b) −2021 c) 0 d) 2022

   −+din 5
   Arată baremul

   Răspuns: c

   SUBIECTUL I 3. c) 5p

4. 4. În tabelul de mai jos este prezentată situația notelor obținute de elevii claselor a VIII-a dintr-o școală, la un…

   −+din 5
   Arată baremul

   Răspuns: b

   SUBIECTUL I 4. b) 5p

5. 5. Patru elevi, Ioana, Mara, Petrică și Ștefan, au calculat produsul numerelor a = |√2 − √3| și b = |√3 + √2|, iar…

   −+din 5
   Arată baremul

   Răspuns: c

   SUBIECTUL I 5. c) 5p

6. 6. O mașină se deplasează în intervalul orar 12:56–14:26 cu o viteză medie de 80 km/h. Mihai afirmă că, în acest…

   −+din 5
   Arată baremul

   Răspuns: b

   SUBIECTUL I 6. b) 5p

Subiectul al II-lea

1. 1. În figura alăturată punctele A, B și C sunt coliniare, în această ordine, astfel încât AB = 7 cm și BC = 9 cm. Știind…

   −+din 5
   Arată baremul

   Răspuns: a

   SUBIECTUL al II-lea 1. a) 5p

2. 2. În figura alăturată sunt reprezentate unghiurile opuse la vârf AOC și BOD. Măsura unghiului AOB este egală cu 120°.…

   −+din 5
   Arată baremul

   Răspuns: b

   SUBIECTUL al II-lea 2. b) 5p

3. 3. În figura alăturată este reprezentat triunghiul ABC, dreptunghic în A, cu BC = 6 cm și măsura unghiului B este egală…

   −+din 5
   Arată baremul

   Răspuns: b

   SUBIECTUL al II-lea 3. b) 5p

4. 4. În figura alăturată este reprezentat paralelogramul ABCD, cu AD = BD și cu măsura unghiului DAB este egală cu 45°.…

   −+din 5
   Arată baremul

   Răspuns: b

   SUBIECTUL al II-lea 4. b) 5p

5. 5. În figura alăturată este reprezentat triunghiul AMB, cu AB = 8√2 cm, înscris într-un cerc care are raza egală cu 8…

   −+din 5
   Arată baremul

   Răspuns: c

   SUBIECTUL al II-lea 5. c) 5p

6. 6. În figura alăturată este reprezentat un con circular drept care are secțiunea axială un triunghi echilateral cu…

   −+din 5
   Arată baremul

   Răspuns: b

   SUBIECTUL al II-lea 6. b) 5p

Subiectul al III-lea

1. 1. a) Este posibil ca distanța parcursă de excursionist în a doua zi să reprezinte o pătrime din lungimea întregului…

   −+din 2
   Arată baremul

   1. a) În a doua zi excursionistul a parcurs (1/3) · (30/100)x = x/10, unde x reprezintă lungimea traseului - 1p Cum x/10 ≠ x/4, obținem că nu este posibil ca lungimea parcursă de excursionist în a doua zi să reprezinte o pătrime din lungimea traseului - 1p

2. 1. b) Determină lungimea traseului parcurs de excursionist în cele trei zile.

   −+din 3
   Arată baremul

   Răspuns: 120 km

   1. b) (30/100)x + x/10 + 72 = x - 1p 4x + 720 = 10x - 1p x = 120 km - 1p

3. 2. a) Arată că E(x) = (x + 1)/(x + 2), pentru orice x ∈ ℝ ∖ {−2, −1, 2}.

   −+din 2
   Arată baremul

   2. a) E(x) = ((x² + 4)/((x − 2)(x + 2))) · ((x² − x − 2)/(x² + 4)) = - 1p = ((x − 2)(x + 1))/((x − 2)(x + 2)) = (x + 1)/(x + 2), pentru orice număr real x ∈ ℝ ∖ {−2, −1, 2} - 1p

4. 2. b) Determină numerele întregi a pentru care E(a) ∈ ℤ.

   −+din 3
   Arată baremul

   Răspuns: -3

   2. b) E(a) ∈ ℤ, E(a) = (a + 1)/(a + 2) = 1 − 1/(a + 2) - 1p Cum a + 2 ∈ ℤ și 1/(a + 2) ∈ ℤ ⇒ a + 2 ∈ {−1, 1} - 1p a = −1 care nu convine și a = −3 care convine - 1p

5. 3. a) Rezolvă ecuația 3 · f(x) = −4 − 2x.

   −+din 2
   Arată baremul

   Răspuns: -2

   3. a) 3(x + 2) = −4 − 2x ⇒ 3x + 6 = −4 − 2x - 1p x = −2 - 1p

6. 3. b) Știind că A și B sunt punctele de intersecție a reprezentării grafice a funcției f cu axele Ox respectiv Oy ale…

   −+din 3
   Arată baremul

   Răspuns: C(2, 4)

   3. b) A(−2, 0) și B(0, 2) sunt punctele de intersecție a graficului funcției f cu axele Ox, respectiv Oy - 1p CT ⟂ Ox, T ∈ Ox, B este mijlocul lui AC, deci OB este linie mijlocie în triunghiul ATC - 1p CT = 2 · BO = 4, OT = AO = 2 ⇒ C(2, 4) - 1p

7. 4. a) Arată că măsura unghiului DPB este egală cu 45°.

   −+din 2
   Arată baremul

   4. a) ∠PAD = 90° + 60° = 150°, AD = AP ⇒ triunghiul APD isoscel, deci ∠ADP ≡ ∠APD - 1p ∠APD = 15° ⇒ ∠DPB = 60° − 15° = 45° - 1p

8. 4. b) Demonstrează că AM = 4(2 − √3) cm, unde {M} = AB ∩ PD.

   −+din 3
   Arată baremul

   4. b) În triunghiul echilateral APB, PQ ⟂ AB, Q ∈ AB, deci PQ = 2√3 cm și Q este mijlocul lui AB ⇒ AQ = 2 cm - 1p PQ ∥ AD ⇒ ΔDAM ∼ ΔPQM ⇒ AD/PQ = AM/MQ - 1p ⇒ AM = 4(2 − √3) cm - 1p

9. 5. a) Arată că lungimea segmentului RT este egală cu 5 cm.

   −+din 2
   Arată baremul

   5. a) RT este linie mijlocie în trapezul ABCD - 1p RT = (AB + CD)/2 = 5 cm - 1p

10. 5. b) Arată că aria patrulaterului DRST este egală cu jumătate din aria trapezului ABCD.

    −+din 3
    Arată baremul

    5. b) DQ ⟂ AB, Q ∈ AB, 𝒜_ABCD = RT · DQ - 1p 𝒜_△DRT = (DP · RT)/2 și 𝒜_△RST = (QP · RT)/2, unde {P} = DQ ∩ RT - 1p 𝒜_DRST = 𝒜_△DRT + 𝒜_△RST = (DP · RT)/2 + (QP · RT)/2 = (RT · DQ)/2 = 𝒜_ABCD/2 - 1p

11. 6. a) Arată că volumul cubului ABCDA′B′C′D′ este egal cu 216 cm³.

    −+din 2
    Arată baremul

    6. a) V = D′C′³ = 6³ = - 1p = 216 cm³ - 1p

12. 6. b) Demonstrează că dreapta OO′ este perpendiculară pe planul (A′D′C), unde {O} = AC ∩ BD și {O′} = BC′ ∩ B′C.

    −+din 3
    Arată baremul

    6. b) OO′ este linie mijlocie în triunghiul AB′C ⇒ OO′ ∥ AB′ - 1p AB′ ⟂ A′B, AB′ ⟂ A′D′, A′B ∩ A′D′ = {A′}, deci AB′ ⟂ (A′D′C) - 1p OO′ ∥ AB′ și AB′ ⟂ (A′D′C) ⇒ OO′ ⟂ (A′D′C) - 1p