Matematică, sesiunea iunie 2023

Corectează-te cu baremul

Ai rezolvat lucrarea pe foaie? Deschide baremul fiecărui item, trece-ți punctele și nota apare pe loc. Rămân salvate pe dispozitivul tău.

Subiectul I

1. 1. Rezultatul calculului 15 − (3 + 4) este egal cu: a) 3 b) 8 c) 16 d) 22

   −+din 5
   Arată baremul

   Răspuns: b

   SUBIECTUL I 1. b) 5p

2. 2. Știind că x/y = 5/2, y ≠ 0, rezultatul calculului 2x − 5y + 10 este egal cu: a) 0 b) 7 c) 10 d) 17

   −+din 5
   Arată baremul

   Răspuns: c

   SUBIECTUL I 2. c) 5p

3. 3. Produsul dintre numărul 3 și opusul numărului 3 este egal cu: a) −9 b) −6 c) 0 d) 1

   −+din 5
   Arată baremul

   Răspuns: a

   SUBIECTUL I 3. a) 5p

4. 4. Numărul care reprezintă 2/3 din 12 este egal cu: a) 2 b) 4 c) 8 d) 12

   −+din 5
   Arată baremul

   Răspuns: c

   SUBIECTUL I 4. c) 5p

5. 5. Profesorul întreabă care este cel mai mare număr întreg din intervalul (−2, 5). Răspunsurile date de elevii Andreea,…

   −+din 5
   Arată baremul

   Răspuns: d

   SUBIECTUL I 5. d) 5p

6. 6. În diagrama de mai jos sunt prezentate rezultatele obținute la un test la matematică, de către elevii unei clase a…

   −+din 5
   Arată baremul

   Răspuns: b

   SUBIECTUL I 6. b) 5p

Subiectul al II-lea

1. 1. În figura alăturată sunt reprezentate punctele coliniare A, B, C și D, în această ordine, astfel încât AB = BC = CD,…

   −+din 5
   Arată baremul

   Răspuns: c

   SUBIECTUL al II-lea 1. c) 5p

2. 2. În figura alăturată sunt reprezentate punctele coliniare A, O și B, în această ordine. Punctele M și N sunt de…

   −+din 5
   Arată baremul

   Răspuns: c

   SUBIECTUL al II-lea 2. c) 5p

3. 3. În figura alăturată este reprezentat triunghiul ABC cu aria de 15 cm². Punctul M se află pe segmentul BC, astfel…

   −+din 5
   Arată baremul

   Răspuns: c

   SUBIECTUL al II-lea 3. c) 5p

4. 4. În figura alăturată este reprezentat pătratul ABCD cu perimetrul egal cu 40 cm. Lungimea segmentului AC este egală…

   −+din 5
   Arată baremul

   Răspuns: b

   SUBIECTUL al II-lea 4. b) 5p

5. 5. În figura alăturată, punctele distincte A, B, C, D, E, F, G și H sunt reprezentate pe cercul de centru O, astfel…

   −+din 5
   Arată baremul

   Răspuns: b

   SUBIECTUL al II-lea 5. b) 5p

6. 6. În figura alăturată este reprezentat cubul ABCDA′B′C′D′ cu AB = 5 cm. Lungimea segmentului BD′ este egală cu: a) 5 cm…

   −+din 5
   Arată baremul

   Răspuns: c

   SUBIECTUL al II-lea 6. c) 5p

Subiectul al III-lea

1. 1. a) Este posibil ca, peste 2 ani, suma dintre vârsta Mariei și vârsta tatălui ei să fie egală cu 60 de ani? Justifică…

   −+din 2
   Arată baremul

   SUBIECTUL al III-lea

   1. a) Peste 2 ani vârsta Mariei va fi de 14 + 2 = 16 ani, iar vârsta tatălui Mariei va fi de 40 + 2 = 42 de ani - 1p Cum 16 + 42 = 58 ≠ 60, deducem că nu este posibil ca peste 2 ani suma dintre vârsta Mariei și vârsta tatălui ei să fie egală cu 60 de ani - 1p

2. 1. b) Determină peste câți ani vârsta Mariei va fi jumătate din vârsta tatălui ei.

   −+din 3
   Arată baremul

   Răspuns: 12 ani

   SUBIECTUL al III-lea

   1. b) 14 + x = ½ · (40 + x), unde x reprezintă numărul de ani care vor trece până când vârsta Mariei va fi jumătate din vârsta tatălui ei - 1p 28 + 2x = 40 + x - 1p x = 12 - 1p

3. 2. a) Arată că 1/((x + 1)(x + 2)) + 1/(x + 2) = 1/(x + 1), pentru orice număr real x, x ≠ −2 și x ≠ −1.

   −+din 2
   Arată baremul

   SUBIECTUL al III-lea

   2. a) 1/((x + 1)(x + 2)) + 1/(x + 2) = (1 + x + 1)/((x + 1)(x + 2)) = - 1p = (x + 2)/((x + 1)(x + 2)) = 1/(x + 1), pentru orice număr real x, x ≠ −2 și x ≠ −1 - 1p

4. 2. b) Determină suma soluțiilor ecuației E(x) = (x − 3)/8, unde x este număr real, x ≠ −3, x ≠ −2 și x ≠ −1.

   −+din 3
   Arată baremul

   Răspuns: 0

   SUBIECTUL al III-lea

   2. b) E(x) = 1/(x + 1) · (5(x + 1))/(x + 3) = 5/(x + 3), unde x este număr real, x ≠ −3, x ≠ −2 și x ≠ −1 - 1p 5/(x + 3) = (x − 3)/8, de unde obținem x² = 49 - 1p x = −7 sau x = 7, care convin, deci suma soluțiilor ecuației este egală cu 0 - 1p

5. 3. a) Arată că f(4) + f(6) = 0.

   −+din 2
   Arată baremul

   SUBIECTUL al III-lea

   3. a) f(4) = 1 - 1p f(6) = −1 ⇒ f(4) + f(6) = 0 - 1p

6. 3. b) Reprezentarea geometrică a graficului funcției f intersectează axele Ox și Oy ale sistemului de axe ortogonale xOy în…

   −+din 3
   Arată baremul

   Răspuns: 4√2

   SUBIECTUL al III-lea

   3. b) A(5, 0) și B(0, 5) - 1p În triunghiul dreptunghic AOB, AB = √(AO² + OB²) = 5√2 - 1p 𝒜_ΔPAB = (d(P, AB) · AB)/2 = (AO · PB)/2 = (5 · 8)/2 = 20, de unde obținem d(P, AB) = 4√2 - 1p

7. 4. a) Determină măsura unghiului BCD.

   −+din 2
   Arată baremul

   Răspuns: 150°

   SUBIECTUL al III-lea

   4. a) BD bisectoarea ∢ABC ⇒ ∢ABC = 30° - 1p ABCD trapez, deci ∢BCD = 150° - 1p

8. 4. b) Arată că AB − AD < 14 cm.

   −+din 3
   Arată baremul

   SUBIECTUL al III-lea

   4. b) CD ∥ AB, BD secantă ⇒ ∢CDB = ∢ABD, deci ΔBCD este isoscel cu CD = BC = 10 cm - 1p CE ⊥ AB, E ∈ AB ⇒ AECD dreptunghi, deci AD = CE, AE = CD Triunghiul CEB este dreptunghic în E, ∢CBE = 30° ⇒ CE = BC/2 = 5 cm, BE = 5√3 cm, deci AB − AD = (5 + 5√3) cm - 1p Cum 5 + 5√3 < 14 ⇔ 5√3 < 9 ⇔ √75 < √81, obținem AB − AD < 14 cm - 1p

9. 5. a) Arată că aria dreptunghiului ABCD este egală cu 270 cm².

   −+din 2
   Arată baremul

   SUBIECTUL al III-lea

   5. a) Triunghiul ABC este dreptunghic, deci BC² = AC² − AB², de unde obținem BC = 3√10 cm - 1p 𝒜_ABCD = AB · BC = 9√10 · 3√10 = 270 cm² - 1p

10. 5. b) Arată că lungimea segmentului SP este egală cu 10 cm, unde S este punctul de intersecție a dreptelor AM și BD.

    −+din 3
    Arată baremul

    SUBIECTUL al III-lea

    5. b) ΔMCE ≡ ΔMDA, de unde obținem ME = MA - 1p CM și EO sunt mediane în triunghiul ACE, CD ∩ EO = {P}, deci punctul P este centrul de greutate al triunghiului ACE ⇒ MP/MC = 1/3 AM și DO sunt mediane în triunghiul ACD, AM ∩ DO = {S}, deci punctul S este centrul de greutate al triunghiului ACD ⇒ MS/MA = 1/3 - 1p MP/MC = MS/MA = 1/3, ∢SMP = ∢AMC ⇒ ΔSMP ∼ ΔAMC ⇒ SP = (1/3)AC = 10 cm - 1p

11. 6. a) Arată că măsura unghiului dreptelor AB′ și BC′ este egală cu 60°.

    −+din 2
    Arată baremul

    SUBIECTUL al III-lea

    6. a) AB′ ∥ DC′, deci ∢(AB′, BC′) = ∢(DC′, BC′) - 1p Cum BC′ = DC′ = DB, obținem că triunghiul BC′D este echilateral, deci ∢(AB′, BC′) = ∢BC′D = 60° - 1p

12. 6. b) Calculează distanța de la punctul C la planul (BDC′).

    −+din 3
    Arată baremul

    SUBIECTUL al III-lea

    6. b) AC ∩ BD = {O}, CC′ ⟂ (ABC), BD ⊂ (ABC), deci BD ⟂ CC′ și, cum BD ⟂ AC, obținem CC′ ∩ AC = {C}, deci BD ⟂ (CC′O) - 1p CP ⟂ C′O, P ∈ C′O, CP ⊂ (CC′O), deci CP ⟂ BD, C′O ∩ BD = {O}, obținem CP ⟂ (BDC′), deci CP reprezintă distanța de la punctul C la planul (BDC′) - 1p Triunghiul C′CO este dreptunghic în C ⇒ C′O = 5√6 cm și CP = (CO · CC′)/C′O = (10√3)/3 cm - 1p