Matematică, sesiunea iunie 2024

Corectează-te cu baremul

Ai rezolvat lucrarea pe foaie? Deschide baremul fiecărui item, trece-ți punctele și nota apare pe loc. Rămân salvate pe dispozitivul tău.

Subiectul I

1. 1. Rezultatul calculului 8 + 14 : 2 este egal cu: a) 22 b) 15 c) 11 d) 6

   −+din 5
   Arată baremul

   Răspuns: b

   SUBIECTUL I 1. b) 5p

2. 2. Un album costă 200 de lei. După o reducere cu 20%, prețul albumului este egal cu: a) 20 de lei b) 40 de lei c) 160 de…

   −+din 5
   Arată baremul

   Răspuns: c

   SUBIECTUL I 2. c) 5p

3. 3. Se consideră intervalele de numere reale I = (−∞,6] și J = (4,+∞). Intersecția intervalelor I și J este intervalul:…

   −+din 5
   Arată baremul

   Răspuns: d

   SUBIECTUL I 3. d) 5p

4. 4. Cel mai mare număr din mulțimea A = {5,(024); 5,(24); 5,2(4); 5,24} este: a) 5,(024) b) 5,(24) c) 5,2(4) d) 5,24

   −+din 5
   Arată baremul

   Răspuns: c

   SUBIECTUL I 4. c) 5p

5. 5. Patru elevi, Alin, Ioana, Dana și Vlad, calculează suma numerelor reale a și b pentru care |a + 3| + |b − 4| = 0.…

   −+din 5
   Arată baremul

   Răspuns: c

   SUBIECTUL I 5. c) 5p

6. 6. Afirmația: „Numărul 1 este soluția ecuației 2x + 3 = 4x + 1.” este: a) adevărată b) falsă

   −+din 5
   Arată baremul

   Răspuns: a

   SUBIECTUL I 6. a) 5p

Subiectul al II-lea

1. 1. În figura alăturată punctele A, B, C și D sunt coliniare, în această ordine, astfel încât BC = 4 cm, AD = 4 · BC și…

   −+din 5
   Arată baremul

   Răspuns: b

   SUBIECTUL al II-lea 1. b) 5p

2. 2. În figura alăturată este reprezentat triunghiul isoscel ABC, cu AB = AC și măsura unghiului C egală cu 40°. Punctele…

   −+din 5
   Arată baremul

   Răspuns: c

   SUBIECTUL al II-lea 2. c) 5p

3. 3. În figura alăturată este reprezentat triunghiul ABC cu măsura unghiului A egală cu 43° și măsura unghiului C egală cu…

   −+din 5
   Arată baremul

   Răspuns: c

   SUBIECTUL al II-lea 3. c) 5p

4. 4. În figura alăturată este reprezentat paralelogramul ABCD. Punctul M este mijlocul segmentului AB și aria triunghiului…

   −+din 5
   Arată baremul

   Răspuns: d

   SUBIECTUL al II-lea 4. d) 5p

5. 5. În figura alăturată este reprezentat cercul cu centrul în punctul O și raza egală cu 6 cm. Punctele A, B și C aparțin…

   −+din 5
   Arată baremul

   Răspuns: a

   SUBIECTUL al II-lea 5. a) 5p

6. 6. În figura alăturată este reprezentat cubul ABCDA′B′C′D′. Unghiul dreptelor AC și AD′ are măsura egală cu: a) 45° b)…

   −+din 5
   Arată baremul

   Răspuns: b

   SUBIECTUL al II-lea 6. b) 5p

Subiectul al III-lea

1. 1. a) Verifică dacă în acea clasă pot fi 30 de elevi. Justifică răspunsul dat.

   −+din 2
   Arată baremul

   1. a) 30 − 3 = 27 de elevi ar trebui așezați câte doi în fiecare bancă - 1p Cum 27 este număr impar, obținem că nu pot fi 30 de elevi - 1p

2. 1. b) Determină numărul băncilor din laboratorul de fizică.

   −+din 3
   Arată baremul

   Răspuns: 13 bănci

   1. b) a = 2b + 3, unde a reprezintă numărul elevilor și b reprezintă numărul băncilor din laboratorul de fizică - 1p a = 4(b − 6) + 1 - 1p b = 13 - 1p

3. 2. a) Arată că x² − 3x + 2 = (x − 1)(x − 2), pentru orice număr real x.

   −+din 2
   Arată baremul

   2. a) x² − 3x + 2 = x² − 2x − x + 2 = - 1p = x(x − 2) − (x − 2) = (x − 2)(x − 1), pentru orice număr real x - 1p

4. 2. b) Determină numerele întregi n, n ≠ 1 și n ≠ 2, pentru care N = 5/E(n) este număr natural.

   −+din 3
   Arată baremul

   Răspuns: n ∈ {−1, 3}

   2. b) E(x) = (1/((x − 1)(x − 2)) + 1/(x − 1)) · (x² − 4) = ((x − 1)/((x − 1)(x − 2))) · (x² − 4) = - 1p = ((x − 1)/((x − 1)(x − 2))) · (x − 2)(x + 2) = x + 2, pentru orice număr real x, x ≠ 1 și x ≠ 2 - 1p N = 5/(n + 2) este număr natural, deci n + 2 ∈ {1, 5}, de unde obținem n = −1 și n = 3 - 1p

5. 3. a) Arată că f(0) + f(1) = 0.

   −+din 2
   Arată baremul

   3. a) f(0) = −1 - 1p f(1) = 1, de unde obținem f(0) + f(1) = 0 - 1p

6. 3. b) Reprezentarea geometrică a graficului funcției f intersectează axele Ox și Oy ale sistemului de axe ortogonale xOy în…

   −+din 3
   Arată baremul

   Răspuns: 2√5/5

   3. b) A(1/2, 0) și B(0, −1) - 1p Triunghiul AOB este dreptunghic în O, deci AB = √5/2 - 1p CD ⟂ AB, D ∈ AB și, cum AC = 1, obținem CD = (AC · OB)/AB = 2√5/5 - 1p

7. 4. a) Arată că unghiurile DAC și EBC au aceeași măsură.

   −+din 2
   Arată baremul

   4. a) ∢DAC + ∢ACB = 90° - 1p ∢ACB + ∢EBC = 90°, de unde rezultă ∢DAC = ∢EBC - 1p

8. 4. b) Demonstrează că AH = 3 · HD.

   −+din 3
   Arată baremul

   4. b) Triunghiul ABC este isoscel și AD ⟂ BC, deci BD = DC = BC/2 = AD/2 - 1p ∢HBD = ∢DAC, ∢BDH = ∢ADC = 90°, deci △BHD ∼ △ACD, de unde obținem HD/DC = BD/AD - 1p HD/(AD/2) = (AD/2)/AD ⇒ HD = AD/4, de unde obținem AH = (3 · AD)/4, deci AH = 3 · HD - 1p

9. 5. a) Arată că măsura unghiului CMD este egală cu 90°.

   −+din 2
   Arată baremul

   SUBIECTUL al III-lea

   5. a) CD este diametru, deci arcul CD = 180° - 1p ∢CMD = ½·arcul CD = 90° - 1p

10. 5. b) Calculează aria triunghiului DON.

    −+din 3
    Arată baremul

    Răspuns: 8√3 cm²

    SUBIECTUL al III-lea

    5. b) cos(∢NDO) = OD/ND, cos(∢MDC) = MD/CD, deci OD/ND = MD/CD - 1p ND = 8 cm, MD = 12 cm ⇒ OD/8 = 12/(2·OD) ⇒ OD = 4√3 cm - 1p ON = √(DN² − OD²) = 4 cm și obținem 𝒜△DON = (ON·OD)/2 = 8√3 cm² - 1p

11. 6. a) Arată că aria laterală a prismei ABCA′B′C′ este egală cu 108√3 cm².

    −+din 2
    Arată baremul

    SUBIECTUL al III-lea

    6. a) 𝒜_ABB′A′ = AB·AA′ = 36√3 cm² - 1p 𝒜_laterală = 3·𝒜_ABB′A′ = 3·36√3 = 108√3 cm² - 1p

12. 6. b) Determină distanța de la punctul M la planul (A′B′C).

    −+din 3
    Arată baremul

    Răspuns: (6√15)/5 cm

    SUBIECTUL al III-lea

    6. b) A′C = B′C, deci CN ⟂ A′B′, unde punctul N este mijlocul segmentului A′B′ și, cum MN ⟂ A′B′, CN ∩ MN = {N} și CN, MN ⊂ (CMN), obținem A′B′ ⟂ (CMN) - 1p MP ⟂ CN, P ∈ CN; A′B′ ⟂ (CMN), MP ⊂ (CMN), deci A′B′ ⟂ MP; cum A′B′ ∩ CN = {N}, A′B′ și CN ⊂ (A′B′C), obținem MP ⟂ (A′B′C), deci d(M, (A′B′C)) = MP - 1p Triunghiul MNC este dreptunghic în M, MN = 3√3 cm, CM = 6√3 cm, deci CN = 3√15 cm, de unde obținem MP = (6√15)/5 cm - 1p