Matematică, sesiunea iunie 2025

Corectează-te cu baremul

Ai rezolvat lucrarea pe foaie? Deschide baremul fiecărui item, trece-ți punctele și nota apare pe loc. Rămân salvate pe dispozitivul tău.

Subiectul I

1. 1. Rezultatul calculului 4 + 12 : 2 este egal cu: a) 6 b) 8 c) 10 d) 12

   −+din 5
   Arată baremul

   Răspuns: c

   SUBIECTUL I 1. c) 5p

2. 2. Știind că a/2 = 2/3, atunci a/4 este egal cu: a) 1/3 b) 4/3 c) 2 d) 3

   −+din 5
   Arată baremul

   Răspuns: a

   SUBIECTUL I 2. a) 5p

3. 3. Produsul numerelor −2 și 5 este egal cu: a) −10 b) −3 c) 3 d) 10

   −+din 5
   Arată baremul

   Răspuns: a

   SUBIECTUL I 3. a) 5p

4. 4. Soluția ecuației 6x − 2 = 1 este numărul: a) −1/3 b) −1/2 c) 1/3 d) 1/2

   −+din 5
   Arată baremul

   Răspuns: d

   SUBIECTUL I 4. d) 5p

5. 5. Patru elevi, Ana, Maria, Dan și Vlad, calculează suma numerelor a = √(3² + 4²) și b = √(3² · 4²). Rezultatele…

   −+din 5
   Arată baremul

   Răspuns: a

   SUBIECTUL I 5. a) 5p

6. 6. În diagrama de mai jos, sunt prezentate rezultatele obținute de elevii participanți la un concurs. Afirmația „Conform…

   −+din 5
   Arată baremul

   Răspuns: b

   SUBIECTUL I 6. b) 5p

Subiectul al II-lea

1. 1. În figura alăturată, punctul B este mijlocul segmentului AC și punctul D este simetricul punctului B față de C.…

   −+din 5
   Arată baremul

   Răspuns: d

   SUBIECTUL al II-lea 1. d) 5p

2. 2. În figura alăturată sunt reprezentate unghiurile adiacente AOB și BOC, ∢BOC = 2 · ∢AOB. Măsura unghiului AOC este…

   −+din 5
   Arată baremul

   Răspuns: d

   SUBIECTUL al II-lea 2. d) 5p

3. 3. În figura alăturată este reprezentat triunghiul isoscel ABC, cu ∢BAC = 120°. Punctul E aparține segmentului BC,…

   −+din 5
   Arată baremul

   Răspuns: b

   SUBIECTUL al II-lea 3. b) 5p

4. 4. În figura alăturată este reprezentat dreptunghiul ABCD, cu AB = 3 · BC. Perimetrul dreptunghiului ABCD este egal cu…

   −+din 5
   Arată baremul

   Răspuns: c

   SUBIECTUL al II-lea 4. c) 5p

5. 5. În figura alăturată este reprezentat triunghiul echilateral ABC, înscris în cercul de centru O. Punctul D aparține…

   −+din 5
   Arată baremul

   Răspuns: c

   SUBIECTUL al II-lea 5. c) 5p

6. 6. În figura alăturată este reprezentat conul circular drept cu secțiunea axială triunghiul echilateral VAB, cu AB = 6…

   −+din 5
   Arată baremul

   Răspuns: a

   SUBIECTUL al II-lea 6. a) 5p

Subiectul al III-lea

1. 1. a) Este posibil ca prețul a opt pixuri să fie egal cu prețul a cinci caiete? Justifică răspunsul dat.

   −+din 2
   Arată baremul

   SUBIECTUL al III-lea

   1. a) Prețul unui pix este (75/100) · x = (3/4) · x, unde x reprezintă prețul unui caiet - 1p Opt pixuri costă 8 · (3/4) · x = 6x și, cum 6x ≠ 5x, nu este posibil ca prețul a opt pixuri să fie egal cu prețul a cinci caiete - 1p

2. 1. b) Dacă Ana a plătit pentru trei caiete, patru pixuri și cinci creioane suma de 45 de lei, determină prețul unui caiet.

   −+din 3
   Arată baremul

   Răspuns: 6 lei

   SUBIECTUL al III-lea

   1. b) Prețul unui creion este (40/100) · (3/4) · x = (3/10) · x, unde x reprezintă prețul unui caiet - 1p 3x + 4 · (3/4) · x + 5 · (3/10) · x = 45 - 1p 15x = 90, de unde obținem x = 6, deci prețul unui caiet este 6 lei - 1p

3. 2. a) Arată că 2/(x − 3) − 3/x + 2/(x + 3) = (x² + 27)/(x(x − 3)(x + 3)), pentru orice număr real x, x ≠ −3, x ≠ 0 și x ≠ 3.

   −+din 2
   Arată baremul

   SUBIECTUL al III-lea

   2. a) 2/(x − 3) − 3/x + 2/(x + 3) = (2x(x + 3) − 3(x − 3)(x + 3) + 2x(x − 3))/(x(x − 3)(x + 3)) = - 1p = (2x² + 6x − 3x² + 27 + 2x² − 6x)/(x(x − 3)(x + 3)) = (x² + 27)/(x(x − 3)(x + 3)), pentru orice număr real x, x ≠ −3, x ≠ 0 și x ≠ 3 - 1p

4. 2. b) Demonstrează că E(n) > 6, pentru orice număr natural n, n ≠ 0, n ≠ 3.

   −+din 3
   Arată baremul

   SUBIECTUL al III-lea

   2. b) E(x) = ((x² + 27)/(x(x − 3)(x + 3))) · (x(x − 3)/1) = (x² + 27)/(x + 3), pentru orice număr real x, x ≠ −3, x ≠ 0, x ≠ 3 - 1p E(n) − 6 = (n − 3)²/(n + 3), pentru orice număr natural n, n ≠ 0 și n ≠ 3 - 1p Cum n + 3 > 0 și (n − 3)² > 0, rezultă că E(n) − 6 > 0, deci E(n) > 6, pentru orice număr natural n, n ≠ 0 și n ≠ 3 - 1p

5. 3. a) Arată că f(2) − f(0) = 4.

   −+din 2
   Arată baremul

   SUBIECTUL al III-lea

   3. a) f(2) = 0 - 1p f(0) = −4, deci f(2) − f(0) = 0 − (−4) = 4 - 1p

6. 3. b) Reprezentarea geometrică a graficului funcției f intersectează axele Ox și Oy ale sistemului de axe ortogonale xOy în…

   −+din 3
   Arată baremul

   SUBIECTUL al III-lea

   3. b) A(2, 0), B(0, −4) - 1p Punctul C este simetricul punctului A față de axa Oy ⇒ OC = OA = 2, deci CA = 4 - 1p AB = BC = 2√5, de unde rezultă că P_ΔABC = 2√5 + 2√5 + 4 = 4(√5 + 1) - 1p

7. 4. a) Arată că perimetrul triunghiului ACE este egal cu 36√2 cm.

   −+din 2
   Arată baremul

   SUBIECTUL al III-lea

   4. a) AB = 12 cm, AC = 12√2 cm - 1p P_ΔACE = 3 · AC = 36√2 cm - 1p

8. 4. b) Arată că distanța de la punctul D la dreapta AE este egală cu 3√2(√3 − 1) cm.

   −+din 3
   Arată baremul

   SUBIECTUL al III-lea

   4. b) ΔADE ≡ ΔCDE, deci 𝒜_ΔADE = (𝒜_ΔACE − 𝒜_ΔACD)/2 = 36(√3 − 1) cm² - 1p DM ⟂ AE, M ∈ AE, deci d(D, AE) = DM și 𝒜_ΔADE = (AE · DM)/2 - 1p DM = (2 · 𝒜_ΔADE)/AE = 3√2(√3 − 1) cm - 1p

9. 5. a) Arată că BC = 4√2 cm.

   −+din 2
   Arată baremul

   5. a) CN ⟂ AB, N ∈ AB, deci CN = 4 cm și NB = 4 cm - 1p BC = √(CN² + BN²) = 4√2 cm - 1p

10. 5. b) Calculează aria patrulaterului MPBC.

    −+din 3
    Arată baremul

    Răspuns: 36/5 cm² = 7,2 cm²

    5. b) DM ∥ AB ⇒ ΔDPM ∼ ΔBPA ⇒ PM/PA = DM/BA = 1/4 - 1p EF ⟂ AB, P ∈ EF, E ∈ CD, F ∈ AB, ΔPME ∼ ΔPAF ⇒ PE/PF = PM/PA = 1/4, de unde obținem că PF = 16/5 cm, deci 𝒜_ΔAPB = (AB · PF)/2 = 64/5 cm² - 1p 𝒜_ABCM = 20 cm², deci 𝒜_MPBC = 𝒜_ABCM − 𝒜_ΔAPB = 36/5 = 7,2 cm² - 1p

11. 6. a) Arată că volumul cubului ABCDA′B′C′D′ este egal cu 512 cm³.

    −+din 2
    Arată baremul

    6. a) V_ABCDA′B′C′D′ = AB³ = - 1p = 8³ = 512 cm³ - 1p

12. 6. b) Demonstrează că dreptele FO și DE sunt perpendiculare.

    −+din 3
    Arată baremul

    6. b) FO este linie mijlocie în triunghiul ACC′ ⇒ FO ∥ AC′, deci ∠(FO, DE) = ∠(AC′, DE) - 1p AB′ ∥ DC′, deci ΔAQE ∼ ΔC′QD ⇒ AQ/C′Q = QE/QD = AE/C′D = 1/2, unde {Q} = DE ∩ AC′, de unde obținem QD = (2/3) · DE și C′Q = (2/3) · C′A - 1p DE = 4√6 cm, C′A = 8√3 cm ⇒ QD = (8√6)/3 cm, C′Q = (16√3)/3 cm și, cum C′D = 8√2 cm și QD² + C′Q² = 128 = C′D² ⇒ ∠DQC′ = 90°, obținem că ∠(FO, DE) = 90°, deci dreptele FO și DE sunt perpendiculare - 1p