Matematică tehnologic, sesiunea iunie-iulie 2022

Corectează-te cu baremul

Ai rezolvat lucrarea pe foaie? Deschide baremul fiecărui item, trece-ți punctele și nota apare pe loc. Rămân salvate pe dispozitivul tău.

Subiectul I

1. 1. Arătați că 5 − 3·(1 + 1/3) = 1.

   −+din 5
   Arată baremul

   5 − 3·(1 + 1/3) = 5 − 3·(4/3) = - 3p = 5 − 4 = 1 - 2p

2. 2. Se consideră funcția f : ℝ → ℝ, f(x) = x − 4. Determinați numărul real a pentru care f(a) = 2.

   −+din 5
   Arată baremul

   Răspuns: 6

   2. f(a) = a − 4 - 2p a − 4 = 2, de unde obținem a = 6 - 3p

3. 3. Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația √(4 + 2x) = 2.

   −+din 5
   Arată baremul

   Răspuns: 0

   3. 4 + 2x = 4 - 3p x = 0, care convine - 2p

4. 4. Un produs costă 90 de lei. Determinați prețul produsului după o scumpire cu 10%.

   −+din 5
   Arată baremul

   Răspuns: 99 de lei

   4. (10/100)·90 = 9 lei - 3p Prețul după scumpire este 90 + 9 = 99 de lei - 2p

5. 5. În reperul cartezian xOy se consideră punctele A(1, 4), B(5, 0) și M(a, b), unde a și b sunt numere reale.…

   −+din 5
   Arată baremul

   Răspuns: a = 3, b = 2

   a = (1 + 5)/2, b = (4 + 0)/2 - 3p a = 3, b = 2 - 2p

6. 6. Se consideră triunghiul ABC dreptunghic în A, în care măsura unghiului C este egală cu 30° și AB = 3. Arătați că BC = 6.

   −+din 5
   Arată baremul

   6. sin C = AB/BC - 2p 1/2 = 3/BC, de unde obținem BC = 6 - 3p

Subiectul al II-lea

1. 1. a) Arătați că det A = 2.

   −+din 5
   Arată baremul

   1.a) det A = │2  1│
               │4  3│ = 2 · 3 − 1 · 4 = - 3p

   = 6 − 4 = 2 - 2p

2. 1. b) Arătați că A + 2B = 3C.

   −+din 5
   Arată baremul

   b) 2B = ⎛4  −4⎞
            ⎝2   6⎠
   ⇒ A + 2B = ⎛6  −3⎞
              ⎝6   9⎠ = - 3p
   = 3⎛2  −1⎞
      ⎝2   3⎠ = 3C - 2p

3. 1. c) Determinați numerele reale x pentru care det(B · C + x(A − C)) = 0.

   −+din 5
   Arată baremul

   Răspuns: x = −4 sau x = 4

   c) B · C + x(A − C) = ⎛0       −8 + 2x⎞
                         ⎝8 + 2x   8     ⎠,

   deci det(B · C + x(A − C)) = (8 + 2x)(8 − 2x), pentru orice număr real x - 3p (8 + 2x)(8 − 2x) = 0, de unde obținem x = −4 sau x = 4 - 2p

4. 2. a) Arătați că 1 ∗ 1 = 11.

   −+din 5
   Arată baremul

   1 ∗ 1 = (1 + 2·1)(1 + 2·1) + 2 = - 3p = 3·3 + 2 = 11 - 2p

5. 2. b) Determinați numerele reale x pentru care x ∗ 0 = 4.

   −+din 5
   Arată baremul

   Răspuns: x = −1 sau x = 1

   x ∗ 0 = 2x² + 2, pentru orice număr real x, deci 2x² + 2 = 4 - 3p x² − 1 = 0, de unde obținem x = −1 sau x = 1 - 2p

6. 2. c) Demonstrați că x ∗ (1/x) > 7, pentru orice număr real nenul x.

   −+din 5
   Arată baremul

   x ∗ (1/x) = (x + 2/x)(1/x + 2x) + 2 = 1 + 2x² + 2/x² + 4 + 2 = - 3p = 2(x² + 1/x²) + 7 > 7, pentru orice număr real nenul x - 2p

Subiectul al III-lea

1. 1. a) Arătați că f′(x) = 10x²(x² + 2x − 3), x ∈ ℝ.

   −+din 5
   Arată baremul

   f′(x) = 2·5x⁴ + 5·4x³ − 10·3x² = - 3p = 10x⁴ + 20x³ − 30x² = 10x²(x² + 2x − 3), x ∈ ℝ - 2p

2. 1. b) Determinați ecuația tangentei la graficul funcției f în punctul de abscisă x = 0, situat pe graficul funcției f.

   −+din 5
   Arată baremul

   Răspuns: y = 1

   f(0) = 1, f′(0) = 0 - 2p Ecuația tangentei este y − f(0) = f′(0)(x − 0), adică y = 1 - 3p

3. 1. c) Demonstrați că 2x⁵ + 5x⁴ − 10x³ + 3 ≥ 0, pentru orice x ∈ [−3, +∞).

   −+din 5
   Arată baremul

   f′(x) = 0 ⇔ x = −3 sau x = 0 sau x = 1; f′(x) ≤ 0, pentru orice x ∈ [−3, 1] ⇒ f este descrescătoare pe [−3, 1] și f′(x) ≥ 0, pentru orice x ∈ [1, +∞) ⇒ f este crescătoare pe [1, +∞), deci f(x) ≥ f(1), pentru orice x ∈ [−3, +∞) - 3p f(1) = −2, de unde obținem 2x⁵ + 5x⁴ − 10x³ + 1 ≥ −2, deci 2x⁵ + 5x⁴ − 10x³ + 3 ≥ 0, pentru orice x ∈ [−3, +∞) - 2p

4. 2. a) Arătați că ∫₀² (f(x) − 2/(x + 1)) dx = 12.

   −+din 5
   Arată baremul

   2.a) ∫₀² (f(x) − 2/(x + 1)) dx = ∫₀² 6x dx = 6 · [x²/2]₀² = - 3p = 12 − 0 = 12 - 2p

5. 2. b) Arătați că ∫₀¹ (f(x) − 6x) dx = 2 ln 2.

   −+din 5
   Arată baremul

   b) ∫₀¹ (f(x) − 6x) dx = ∫₀¹ 2/(x + 1) dx = [2 ln(x + 1)]₀¹ = - 3p = 2 ln 2 − 2 ln 1 = 2 ln 2 - 2p

6. 2. c) Determinați numărul real a pentru care ∫₁ᵉ (f(x) − 2/(x + 1)) · ln² x dx = a(e² − 1)/2.

   −+din 5
   Arată baremul

   Răspuns: 3

   c) ∫₁ᵉ (f(x) − 2/(x + 1)) · ln² x dx = ∫₁ᵉ 6x ln² x dx = ∫₁ᵉ (3x²)′ ln² x dx = [3x² ln² x]₁ᵉ − ∫₁ᵉ 6x ln x dx = = 3e² − [3x² ln x]₁ᵉ + [3x²/2]₁ᵉ = 3(e² − 1)/2 - 3p 3(e² − 1)/2 = a(e² − 1)/2, de unde obținem a = 3 - 2p