Matematică tehnologic, sesiunea iunie-iulie 2023

Corectează-te cu baremul

Ai rezolvat lucrarea pe foaie? Deschide baremul fiecărui item, trece-ți punctele și nota apare pe loc. Rămân salvate pe dispozitivul tău.

Subiectul I

1. 1. Arătați că 3·(1 + 1/2) − 1/2 = 4.

   −+din 5
   Arată baremul

   3·(1 + 1/2) − 1/2 = 3·3/2 − 1/2 = - 3p = 9/2 − 1/2 = 4 - 2p

2. 2. Se consideră funcția f : ℝ → ℝ, f(x) = x + 2. Determinați numărul real a pentru care f(a) = 6.

   −+din 5
   Arată baremul

   Răspuns: 4

   f(a) = a + 2 - 2p a + 2 = 6, de unde obținem a = 4 - 3p

3. 3. Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația log₇(2x + 1) = log₇9.

   −+din 5
   Arată baremul

   Răspuns: 4

   2x + 1 = 9 - 3p x = 4, care convine - 2p

4. 4. Calculați probabilitatea ca, alegând un număr n din mulțimea A = {1, 2, 3, …, 23}, acesta să verifice inegalitatea n…

   −+din 5
   Arată baremul

   Răspuns: 14/23

   Mulțimea A are 23 de elemente, deci sunt 23 de cazuri posibile - 2p În mulțimea A sunt 14 numere n care verifică inegalitatea n ≥ 10, deci sunt 14 cazuri favorabile, de unde obținem p = 14/23 - 3p

5. 5. În reperul cartezian xOy se consideră punctele A(−1, 2) și B(1, 6). Determinați coordonatele mijlocului segmentului AB.

   −+din 5
   Arată baremul

   Răspuns: M(0, 4)

   x_M = (−1 + 1)/2 = 0, unde punctul M este mijlocul segmentului AB - 3p y_M = (2 + 6)/2 = 4 - 2p

6. 6. Se consideră triunghiul ABC, dreptunghic în A, cu AC = √2 și BC = 2. Arătați că triunghiul ABC este isoscel.

   −+din 5
   Arată baremul

   6. AB = √(BC² − AC²) = √2 - 3p AB = AC, deci triunghiul ABC este isoscel - 2p

Subiectul al II-lea

1. 1. a) Arătați că det A = −1.

   −+din 5
   Arată baremul

   det A = |3 2; 2 1| = 3·1 − 2·2 = - 3p = 3 − 4 = −1 - 2p

2. 1. b) Arătați că 2B − A = 3C.

   −+din 5
   Arată baremul

   2B − A = ⎛0  8⎞ − ⎛3  2⎞ = ⎛−3  6⎞ =
            ⎝8  4⎠   ⎝2  1⎠   ⎝ 6  3⎠ - 3p
   = 3⎛−1  2⎞ = 3C
      ⎝ 2  1⎠ - 2p

3. 1. c) Determinați matricea X ∈ ℳ₂(ℝ) pentru care 2X·A = B + 2C.

   −+din 5
   Arată baremul

   Răspuns: X = ⎛9 −14⎞ ⎝0 2⎠

   B + 2C = ⎛−2  8⎞, A⁻¹ = ⎛−1   2⎞
            ⎝ 8  4⎠        ⎝ 2  −3⎠ - 3p

   X = ½(B + 2C)·A⁻¹, de unde obținem

   X = ⎛9  −14⎞
       ⎝0    2⎠ - 2p

4. 2. a) Arătați că 5 ∗ 4 = 4.

   −+din 5
   Arată baremul

   2.a) 5 ∗ 4 = (5 − 4)(4 − 4) + 4 = - 3p = 1 · 0 + 4 = 4 - 2p

5. 2. b) Determinați numărul real x pentru care x ∗ 6 = 6x.

   −+din 5
   Arată baremul

   Răspuns: -1

   b) x ∗ 6 = 2x − 4, pentru orice număr real x - 3p 2x − 4 = 6x, de unde obținem x = −1 - 2p

6. 2. c) Determinați numerele naturale nenule n pentru care (4/n) ∗ n > 4.

   −+din 5
   Arată baremul

   Răspuns: n = 2 și n = 3

   c) (4/n − 4)(n − 4) + 4 > 4 ⇔ (1/n − 1)(n − 4) > 0, unde n este număr natural nenul - 2p Cum n este număr natural nenul, obținem n = 2 și n = 3 - 3p

Subiectul al III-lea

1. 1. a) Arătați că f′(x) = 3(x² + 4x − 5), x ∈ ℝ.

   −+din 5
   Arată baremul

   f′(x) = 3x² + 6·2x − 15 = - 3p = 3x² + 12x − 15 = 3(x² + 4x − 5), x ∈ ℝ - 2p

2. 1. b) Determinați intervalele de monotonie a funcției f.

   −+din 5
   Arată baremul

   Răspuns: f este crescătoare pe (−∞, −5] și pe [1, +∞) și descrescătoare pe [−5, 1].

   f′(x) = 0 ⇔ x = −5 sau x = 1 - 2p f′(x) ≥ 0, pentru orice x ∈ (−∞, −5], deci f este crescătoare pe (−∞, −5], f′(x) ≤ 0, pentru orice x ∈ [−5, 1], deci f este descrescătoare pe [−5, 1] și f′(x) ≥ 0, pentru orice x ∈ [1, +∞), deci f este crescătoare pe [1, +∞) - 3p

3. 1. c) Arătați că limₓ→₊∞ f′(x)/(eˣf″(x)) = 0.

   −+din 5
   Arată baremul

   f″(x) = 3(2x + 4), x ∈ ℝ, deci limₓ→₊∞ f′(x)/(eˣf″(x)) = limₓ→₊∞ (x² + 4x − 5)/(eˣ(2x + 4)) = limₓ→₊∞ (2x + 4)/(eˣ(2x + 6)) = - 3p = limₓ→₊∞ 2/(eˣ(2x + 8)) = 0 - 2p

4. 2. a) Arătați că ∫₀¹ (x + 9) · f(x) dx = 4.

   −+din 5
   Arată baremul

   2.a) ∫₀¹ (x + 9) · f(x) dx = ∫₀¹ 8x dx = [4x²]₀¹ = - 3p = 4 − 0 = 4 - 2p

5. 2. b) Arătați că ∫₁⁶ (1/(8x)) · f(x) dx = ln(3/2).

   −+din 5
   Arată baremul

   b) ∫₁⁶ (1/(8x)) · f(x) dx = ∫₁⁶ 1/(x + 9) dx = ∫₁⁶ (x + 9)′/(x + 9) dx = [ln(x + 9)]₁⁶ = - 3p = ln 15 − ln 10 = ln(3/2) - 2p

6. 2. c) Determinați numărul real a pentru care ∫₀³ f(x²) dx = 6(4 + aπ).

   −+din 5
   Arată baremul

   Răspuns: -1

   c) ∫₀³ f(x²) dx = ∫₀³ 8x²/(x² + 9) dx = 8∫₀³ (1 − 9/(x² + 9)) dx = [8x]₀³ − 8 · (9/3)[arctg(x/3)]₀³ = 24 − 6π - 3p 24 − 6π = 6(4 + aπ), de unde obținem a = −1 - 2p