Matematică tehnologic, sesiunea august 2024

Corectează-te cu baremul

Ai rezolvat lucrarea pe foaie? Deschide baremul fiecărui item, trece-ți punctele și nota apare pe loc. Rămân salvate pe dispozitivul tău.

Subiectul I

1. 1. Arătați că (0,3 + 0,4)·10 + 2·0,5 = 8.

   −+din 5
   Arată baremul

   1. (0,3 + 0,4)·10 + 2·0,5 = 0,7·10 + 1 = - 3p = 7 + 1 = 8 - 2p

2. 2. Se consideră funcția f : ℝ → ℝ, f(x) = 2x − 1. Arătați că f(1) + f(2) = 4.

   −+din 5
   Arată baremul

   2. f(1) = 1 - 2p f(2) = 3, de unde obținem f(1) + f(2) = 4 - 3p

3. 3. Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația log₅(2x + 1) = log₅5.

   −+din 5
   Arată baremul

   Răspuns: 2

   3. 2x + 1 = 5, de unde obținem 2x = 4 - 3p x = 2, care convine - 2p

4. 4. Calculați probabilitatea ca, alegând un număr din mulțimea A = {11, 21, 31, 41, 51, 61, 71, 81, 91}, acesta să fie…

   −+din 5
   Arată baremul

   Răspuns: 1/3

   4. Mulțimea A are 9 elemente, deci sunt 9 cazuri posibile - 2p Numerele, din mulțimea A, care sunt divizibile cu 3 sunt 21, 51 și 81, deci sunt 3 cazuri favorabile, de unde obținem p = 3/9 = 1/3 - 3p

5. 5. În reperul cartezian xOy se consideră punctele A(3,1), B(m,2) și C(5,3), unde m este număr real. Determinați numărul…

   −+din 5
   Arată baremul

   Răspuns: 4

   5. m = (3 + 5)/2 = - 3p = 4 - 2p

6. 6. Se consideră triunghiul ABC, dreptunghic în A, cu BC = 20 și AC = 16. Arătați că perimetrul triunghiului ABC este…

   −+din 5
   Arată baremul

   6. AB = 12 - 3p P_△ABC = AB + AC + BC = 48 - 2p

Subiectul al II-lea

1. 1. a) Arătați că det(A(1)) = 2.

   −+din 5
   Arată baremul

   1.a)

   det(A(1)) = │3  1│ = 3·1 − 1·1 =
               │1  1│

   - 3p = 3 − 1 = 2 - 2p

2. 1. b) Arătați că A(1) + A(5) = 2A(3).

   −+din 5
   Arată baremul

   b)

   A(1) + A(5) = ⎛3  1⎞ + ⎛11  1⎞ = ⎛14  2⎞ =
                 ⎝1  1⎠   ⎝ 1  5⎠   ⎝ 2  6⎠

   - 3p

   = 2⎛7  1⎞ = 2A(3)
      ⎝1  3⎠

   - 2p

3. 1. c) Determinați matricea X ∈ ℳ₂(ℝ) pentru care X·A(1) = A(3).

   −+din 5
   Arată baremul

   Răspuns: X = ⎛ 3 −2⎞ ⎝−1 4⎠

   c) Inversa matricei A(1) este matricea

   ⎛ 1/2  −1/2⎞
   ⎝−1/2   3/2⎠

   - 3p

   X = ⎛7  1⎞⎛ 1/2  −1/2⎞ = ⎛ 3  −2⎞
       ⎝1  3⎠⎝−1/2   3/2⎠   ⎝−1   4⎠

   - 2p

4. 2. a) Arătați că f(0) = −5, pentru orice număr real m.

   −+din 5
   Arată baremul

   2.a) f(0) = 0³ + m·0² + 2·0 − 5 = - 3p = 0 + 0 + 0 − 5 = −5, pentru orice număr real m - 2p

5. 2. b) Determinați numărul real m, știind că 1 este rădăcină a polinomului f.

   −+din 5
   Arată baremul

   Răspuns: 2

   2.b) f(1) = 0 ⇒ 1³ + m·1² + 2·1 − 5 = 0 - 3p m − 2 = 0, de unde obținem m = 2 - 2p

6. 2. c) Determinați numărul natural m pentru care x₁² + x₂² + x₃² = 5, unde x₁, x₂ și x₃ sunt rădăcinile polinomului f.

   −+din 5
   Arată baremul

   Răspuns: 3

   2.c) x₁ + x₂ + x₃ = −m, x₁x₂ + x₁x₃ + x₂x₃ = 2 - 2p x₁² + x₂² + x₃² = (x₁ + x₂ + x₃)² − 2(x₁x₂ + x₁x₃ + x₂x₃) = m² − 4, deci m² − 4 = 5 și, cum m este număr natural, obținem m = 3 - 3p

Subiectul al III-lea

1. 1. a) Arătați că f′(x) = 2x/(x² + 1)², x ∈ ℝ.

   −+din 5
   Arată baremul

   1.a) f′(x) = [(x²)′·(x² + 1) − x²·(x² + 1)′]/(x² + 1)² = - 2p = [2x(x² + 1) − x²·2x]/(x² + 1)² = 2x/(x² + 1)², x ∈ ℝ - 3p

2. 1. b) Determinați ecuația asimptotei orizontale spre +∞ la graficul funcției f.

   −+din 5
   Arată baremul

   Răspuns: y = 1

   1.b) lim_{x→+∞} f(x) = lim_{x→+∞} x²/(x² + 1) = lim_{x→+∞} x²/[x²(1 + 1/x²)] = 1 - 3p Dreapta de ecuație y = 1 este asimptota orizontală spre +∞ la graficul funcției f - 2p

3. 1. c) Determinați intervalele de monotonie a funcției f.

   −+din 5
   Arată baremul

   Răspuns: f este descrescătoare pe (−∞, 0] și crescătoare pe [0, +∞).

   1.c) f′(x) = 0 ⇔ x = 0, f′(x) ≤ 0, pentru orice x ∈ (−∞, 0] ⇒ f este descrescătoare pe (−∞, 0]; - 3p f′(x) ≥ 0, pentru orice x ∈ [0, +∞) ⇒ f este crescătoare pe [0, +∞) - 2p

4. 2. a) Arătați că ∫₀¹ f(x)/(x + 1) dx = e − 1.

   −+din 5
   Arată baremul

   2.a) ∫₀¹ f(x)/(x + 1) dx = ∫₀¹ eˣ dx = eˣ|₀¹ = - 3p = e − 1 - 2p

5. 2. b) Arătați că ∫₀¹ f(x) dx = e.

   −+din 5
   Arată baremul

   b) ∫₀¹ f(x) dx = ∫₀¹ eˣ(x + 1) dx = eˣ(x + 1)|₀¹ − ∫₀¹ eˣ dx = eˣ(x + 1)|₀¹ − eˣ|₀¹ = - 3p = 2e − 1 − e + 1 = e - 2p

6. 2. c) Determinați numărul real a, a > 1, pentru care ∫₁ᵃ [2x f(x²)/(x² + 1)] dx = e(e³ − 1).

   −+din 5
   Arată baremul

   Răspuns: 2

   c) ∫₁ᵃ [2x f(x²)/(x² + 1)] dx = ∫₁ᵃ 2x e^(x²) dx = ∫₁ᵃ e^(x²)(x²)′ dx = e^(x²)|₁ᵃ = e^(a²) − e - 3p e^(a²) − e = e(e³ − 1) ⇒ e^(a²) = e⁴ și, cum a > 1, obținem a = 2 - 2p