Matematică tehnologic, model de subiect 2024

Corectează-te cu baremul

Ai rezolvat lucrarea pe foaie? Deschide baremul fiecărui item, trece-ți punctele și nota apare pe loc. Rămân salvate pe dispozitivul tău.

Subiectul I

1. 1. Arătați că 1/8 + 3·(1 − 3/8) = 2.

   −+din 5
   Arată baremul

   1/8 + 3·(1 − 3/8) = 1/8 + 3·5/8 = - 3p = 1/8 + 15/8 = 2 - 2p

2. 2. Se consideră funcția f: ℝ → ℝ, f(x) = 2x − 2. Determinați numărul real a pentru care f(a) = 0.

   −+din 5
   Arată baremul

   Răspuns: 1

   f(a) = 2a − 2, pentru orice număr real a - 3p 2a − 2 = 0, de unde obținem a = 1 - 2p

3. 3. Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația 5^(2x) = 5^(2+x).

   −+din 5
   Arată baremul

   Răspuns: 2

   2x = 2 + x - 3p x = 2 - 2p

4. 4. Calculați probabilitatea ca, alegând un număr n din mulțimea A = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}, acesta să verifice…

   −+din 5
   Arată baremul

   Răspuns: 2/3

   Mulțimea A are 9 elemente, deci sunt 9 cazuri posibile - 2p În mulțimea A sunt 6 numere n pentru care n + 9 ≤ 15, deci sunt 6 cazuri favorabile, de unde obținem p = 6/9 = 2/3 - 3p

5. 5. În reperul cartezian xOy se consideră punctele A(0, 5), B(4, −5) și C(a, b), unde a și b sunt numere reale.…

   −+din 5
   Arată baremul

   Răspuns: a = 2, b = 0

   5. a = (0 + 4)/2 = 2 - 3p b = (5 + (−5))/2 = 0 - 2p

6. 6. Arătați că √2·(sin 45° + cos 45°)·sin 30° = 1.

   −+din 5
   Arată baremul

   6. sin 45° = √2/2, cos 45° = √2/2, sin 30° = 1/2 - 3p √2·(sin 45° + cos 45°)·sin 30° = √2·(√2/2 + √2/2)·1/2 = 2·1/2 = 1 - 2p

Subiectul al II-lea

1. 1. a) Arătați că det A = 2.

   −+din 5
   Arată baremul

   1.a)

   det A = │ 3   2 │ = 3·0 − 2·(−1) =
           │ −1  0 │

   3p = 0 + 2 = 2 2p

2. 1. b) Arătați că B + 3I₂ = 2A.

   −+din 5
   Arată baremul

   b)

   B + 3I₂ = ⎛ 3   4 ⎞ + ⎛ 3  0 ⎞ = ⎛ 6  4 ⎞ =
             ⎝ −2 −3 ⎠   ⎝ 0  3 ⎠   ⎝ −2 0 ⎠

   3p

   = 2⎛ 3   2 ⎞ = 2A
      ⎝ −1  0 ⎠

   2p

3. 1. c) Determinați numărul real x pentru care A·(xA + B) = 2xI₂.

   −+din 5
   Arată baremul

   Răspuns: -1

   c)

   xA + B = ⎛ 3x + 3  2x + 4 ⎞ ⇒ A·(xA + B) = ⎛ 7x + 5   6x + 6 ⎞, pentru orice număr real x
            ⎝ −x − 2  −3     ⎠                 ⎝ −3x − 3  −2x − 4 ⎠

   3p

   ⎛ 7x + 5   6x + 6 ⎞ = ⎛ 2x  0  ⎞, de unde obținem x = −1
   ⎝ −3x − 3  −2x − 4 ⎠   ⎝ 0   2x ⎠

   2p

4. 2. a) Arătați că 1 ∘ 0 = −2.

   −+din 5
   Arată baremul

   2.a) 1 ∘ 0 = 2·1·0 − 3(1 + 0) + 1 = 3p = 0 − 3 + 1 = −2 2p

5. 2. b) Arătați că legea de compoziție „∘” este comutativă.

   −+din 5
   Arată baremul

   b) y ∘ x = 2yx − 3(y + x) + 1 = 2p = 2xy − 3(x + y) + 1 = x ∘ y, pentru orice numere reale x și y, deci legea de compoziție „∘” este comutativă 3p

6. 2. c) Determinați mulțimea numerelor reale x pentru care x ∘ (−2x) ≥ 0.

   −+din 5
   Arată baremul

   Răspuns: [−1/4, 1]

   c) x ∘ (−2x) = −4x² + 3x + 1, pentru orice număr real x 2p −4x² + 3x + 1 ≥ 0, de unde obținem x ∈ [−1/4, 1] 3p

Subiectul al III-lea

1. 1. a) Arătați că f′(x) = −8/(x − 4)², x ∈ (4, +∞).

   −+din 5
   Arată baremul

   1.a) f′(x) = [3(x − 4) − (3x − 4)]/(x − 4)² = - 3p = (3x − 12 − 3x + 4)/(x − 4)² = −8/(x − 4)², x ∈ (4, +∞) - 2p

2. 1. b) Determinați ecuația asimptotei orizontale spre +∞ la graficul funcției f.

   −+din 5
   Arată baremul

   Răspuns: y = 3

   b) lim_{x→+∞} f(x) = lim_{x→+∞} (3x − 4)/(x − 4) = lim_{x→+∞} (3 − 4/x)/(1 − 4/x) = 3 - 3p Dreapta de ecuație y = 3 este asimptota orizontală spre +∞ la graficul funcției f - 2p

3. 1. c) Demonstrați că funcția g : (4, +∞) → ℝ, g(x) = f′(x) este crescătoare.

   −+din 5
   Arată baremul

   c) g′(x) = f″(x) = 16/(x − 4)³, x ∈ (4, +∞) - 3p g′(x) > 0, pentru orice x ∈ (4, +∞), deci funcția g este crescătoare - 2p

4. 2. a) Arătați că ∫₀² (f(x) − (x + 3)²) dx = 2.

   −+din 5
   Arată baremul

   2.a) ∫₀² (f(x) − (x + 3)²) dx = ∫₀² x dx = [x²/2]₀² = - 3p = 4/2 − 0 = 2 - 2p

5. 2. b) Arătați că ∫₋₂⁰ 1/(f(x) − x) dx = 2/3.

   −+din 5
   Arată baremul

   b) ∫₋₂⁰ 1/(f(x) − x) dx = ∫₋₂⁰ 1/(x + 3)² dx = ∫₋₂⁰ (x + 3)′/(x + 3)² dx = [−1/(x + 3)]₋₂⁰ = - 3p = −1/3 + 1 = 2/3 - 2p

6. 2. c) Determinați numărul real a pentru care ∫₀⁶ f(x)/(x + 3) dx = 3(a − ln 3).

   −+din 5
   Arată baremul

   Răspuns: 14

   c) ∫₀⁶ f(x)/(x + 3) dx = ∫₀⁶ [x + (x + 3)²]/(x + 3) dx = ∫₀⁶ (x + 4 − 3/(x + 3)) dx = [x²/2]₀⁶ + [4x]₀⁶ − [3ln(x + 3)]₀⁶ = 42 − 3ln 3 - 3p 42 − 3ln 3 = 3(a − ln 3), de unde obținem a = 14 - 2p