Matematică tehnologic, sesiunea iunie-iulie 2026

Corectează-te cu baremul

Ai rezolvat lucrarea pe foaie? Deschide baremul fiecărui item, trece-ți punctele și nota apare pe loc. Rămân salvate pe dispozitivul tău.

Subiectul I

1. 1. Determinați termenul a₃ al progresiei aritmetice (aₙ)ₙ≥₁ în care a₁ = 10 și a₂ = 18.

   −+din 5
   Arată baremul

   Răspuns: 26

   r = a₂ − a₁ = 8, unde r este rația progresiei aritmetice - 3p a₃ = 18 + 8 = 26 - 2p

2. 2. Se consideră funcția f : ℝ → ℝ, f(x) = 2x − 2. Arătați că f(4) − f(3) − f(2) = 0.

   −+din 5
   Arată baremul

   f(4) = 6, f(3) = 4, f(2) = 2 - 3p f(4) − f(3) − f(2) = 6 − 4 − 2 = 0 - 2p

3. 3. Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația 7^(3−x) = 7^(4x−2).

   −+din 5
   Arată baremul

   Răspuns: 1

   3 − x = 4x − 2 - 3p x = 1 - 2p

4. 4. Determinați probabilitatea ca, alegând un număr n din mulțimea numerelor naturale de o cifră, acesta să verifice…

   −+din 5
   Arată baremul

   Răspuns: 7/10

   Mulțimea numerelor naturale de o cifră are 10 elemente, deci sunt 10 cazuri posibile - 2p. În mulțimea numerelor naturale de o cifră sunt 7 numere n pentru care 20 − 2n < 15, deci sunt 7 cazuri favorabile, de unde obținem p = 7/10 - 3p.

5. 5. În reperul cartezian xOy se consideră punctele A(1,1), M(2,4) și B(a,b), unde a și b sunt numere reale. Determinați…

   −+din 5
   Arată baremul

   Răspuns: a = 3 și b = 7

   (1 + a)/2 = 2, (1 + b)/2 = 4 - 3p. a = 3 și b = 7 - 2p.

6. 6. Se consideră triunghiul ABC, dreptunghic în A, cu AB = 15 și măsura unghiului B egală cu 30°. Arătați că BC = 10√3.

   −+din 5
   Arată baremul

   cos B = AB/BC, deci √3/2 = 15/BC - 3p BC = (2 · 15)/√3 = 10√3 - 2p

Subiectul al II-lea

1. 1. a) Arătați că det(A(4)) = 5.

   −+din 5
   Arată baremul

   A(4) = ⎛ 4  1 ⎞
          ⎝ 3  2 ⎠

   ⇒ det(A(4)) = |4 1; 3 2| = 4 · 2 − 1 · 3 = - 3p. = 8 − 3 = 5 - 2p.

2. 1. b) Arătați că 2A(1) + A(4) = 3A(2).

   −+din 5
   Arată baremul

   A(1) = ⎛ 1  1 ⎞
          ⎝ 0  2 ⎠,
   2A(1) + A(4) = ⎛ 6  3 ⎞
                   ⎝ 3  6 ⎠ = - 3p.
   = 3 ⎛ 2  1 ⎞ = 3A(2) - 2p.
       ⎝ 1  2 ⎠

3. 1. c) Determinați numerele reale x și y pentru care A(−x) · A(x) = A(y).

   −+din 5
   Arată baremul

   Răspuns: x = 1 și y = −1

   A(−x) = ⎛ −x      1 ⎞
           ⎝ −x − 1  2 ⎠,
   A(−x) · A(x) = ⎛ −x² + x − 1  −x + 2 ⎞
                  ⎝ −x² + x − 2  −x + 3 ⎠,

   pentru orice număr real x - 3p.

   ⎛ −x² + x − 1  −x + 2 ⎞ = ⎛ y      1 ⎞
   ⎝ −x² + x − 2  −x + 3 ⎠   ⎝ y − 1  2 ⎠,

   de unde obținem x = 1 și y = −1 - 2p.

4. 2. a) Arătați că 0 ∗ 3 = 6.

   −+din 5
   Arată baremul

   0 ∗ 3 = (4 − 0)(4 − 3) + 2 = - 3p. = 4 + 2 = 6 - 2p.

5. 2. b) Determinați numărul real x pentru care 2 ∗ x = 2.

   −+din 5
   Arată baremul

   Răspuns: 4

   2 ∗ x = −2x + 10, pentru orice număr real x - 3p. −2x + 10 = 2, de unde obținem x = 4 - 2p.

6. 2. c) Determinați perechile (m, n) de numere întregi pentru care (2m) ∗ (2n + 1) = 10.

   −+din 5
   Arată baremul

   Răspuns: (m, n) ∈ {(−2, 1), (6, 2)}

   (2m) ∗ (2n + 1) = (4 − 2m)(3 − 2n) + 2 - 2p (4 − 2m)(3 − 2n) = 8 și, cum m și n sunt numere întregi, obținem perechile (−2, 1) și (6, 2) - 3p

Subiectul al III-lea

1. 1. a) Arătați că f′(x) = 12x(x + 1)(x − 2), x ∈ ℝ.

   −+din 5
   Arată baremul

   1. a) f′(x) = 12x³ − 12x² − 24x = - 3p = 12x(x² − x − 2) = 12x(x + 1)(x − 2), x ∈ ℝ - 2p

2. 1. b) Determinați ecuația tangentei la graficul funcției f în punctul de abscisă x = 0, situat pe graficul funcției f.

   −+din 5
   Arată baremul

   Răspuns: y = −1

   f(0) = −1, f′(0) = 0 - 2p Ecuația tangentei este y − f(0) = f′(0)(x − 0), adică y = −1 - 3p

3. 1. c) Demonstrați că 3x⁴ + 5 ≥ 4x³ + 12x², pentru orice x ∈ (−∞, 0].

   −+din 5
   Arată baremul

   Pentru x ∈ (−∞, 0], f′(x) = 0 ⇔ x = −1 sau x = 0; pentru orice x ∈ (−∞, −1], f′(x) ≤ 0, deci f este descrescătoare pe (−∞, −1] și, pentru orice x ∈ [−1, 0], f′(x) ≥ 0, deci f este crescătoare pe [−1, 0] - 3p f(x) ≥ f(−1), pentru orice x ∈ (−∞, 0] și, cum f(−1) = −6, obținem 3x⁴ + 5 ≥ 4x³ + 12x², pentru orice x ∈ (−∞, 0] - 2p

4. 2. a) Arătați că ∫₀⁴ (f(x) − xeˣ) dx = 12.

   −+din 5
   Arată baremul

   ∫₀⁴ (f(x) − xeˣ) dx = ∫₀⁴ (x + 1) dx = [x²/2]₀⁴ + [x]₀⁴ = - 3p = 8 + 4 = 12 - 2p

5. 2. b) Arătați că ∫₀¹ (f(x) − x − 1) dx = 1.

   −+din 5
   Arată baremul

   ∫₀¹ (f(x) − x − 1) dx = ∫₀¹ x(eˣ)′ dx = [xeˣ]₀¹ − [eˣ]₀¹ = - 3p. = e − e + 1 = 1 - 2p.

6. 2. c) Se consideră funcția g : [0,1] → ℝ, g(x) = √(f′(x))/f(x). Arătați că volumul corpului obținut prin rotația graficului…

   −+din 5
   Arată baremul

   2. c) V = π∫₀¹(g(x))² dx = π∫₀¹[f′(x)/(f(x))²] dx = π · [−1/f(x)]₀¹ = - 3p = π(−1/(e + 2) + 1) = π(e + 1)/(e + 2) - 2p