Matematică, model de subiect 2024

Corectează-te cu baremul

Ai rezolvat lucrarea pe foaie? Deschide baremul fiecărui item, trece-ți punctele și nota apare pe loc. Rămân salvate pe dispozitivul tău.

Subiectul I

1. 1. Rezultatul calculului 3 + 2 · 5 este egal cu: a) 25 b) 13 c) 10 d) 1

   −+din 5
   Arată baremul

   Răspuns: b

   SUBIECTUL I / 1. b) 5p

2. 2. Dacă x/2 = 3/4, atunci 4 · x este egal cu: a) 3/2 b) 8/3 c) 6 d) 12

   −+din 5
   Arată baremul

   Răspuns: c

   SUBIECTUL I / 2. c) 5p

3. 3. Soluția ecuației 2 − x = 2 este numărul: a) −4 b) 0 c) 2 d) 4

   −+din 5
   Arată baremul

   Răspuns: b

   SUBIECTUL I / 3. b) 5p

4. 4. Cel mai mic element al mulțimii A = {1/9, 1/99, 1/999, 1/9999} este: a) 1/9 b) 1/99 c) 1/999 d) 1/9999

   −+din 5
   Arată baremul

   Răspuns: d

   SUBIECTUL I / 4. d) 5p

5. 5. Patru elevi, Andra, Marius, Ioana și David, au calculat produsul numerelor a = √5 și b = √20. Rezultatele obținute…

   −+din 5
   Arată baremul

   Răspuns: a

   SUBIECTUL I / 5. a) 5p

6. 6. Alina afirmă că: „ În intervalul de numere reale [−3, 2] sunt 7 numere întregi.” Afirmația Alinei este: a) adevărată…

   −+din 5
   Arată baremul

   Răspuns: b

   SUBIECTUL I / 6. b) 5p

Subiectul al II-lea

1. 1. În figura alăturată sunt reprezentate punctele coliniare A, B, C și D, în această ordine, astfel încât AB = BC = CD,…

   −+din 5
   Arată baremul

   Răspuns: a

   SUBIECTUL al II-lea / 1. a) 5p

2. 2. În figura alăturată sunt reprezentate unghiurile opuse la vârf AOB și COD, cu punctele A, O și D coliniare. Măsura…

   −+din 5
   Arată baremul

   Răspuns: d

   SUBIECTUL al II-lea / 2. d) 5p

3. 3. În figura alăturată este reprezentat triunghiul isoscel ABC cu AB = AC și ∠BAC = 50°. Punctul D aparține segmentului…

   −+din 5
   Arată baremul

   Răspuns: b

   SUBIECTUL al II-lea / 3. b) 5p

4. 4. În figura alăturată este reprezentat paralelogramul ABCD cu AB = 10 cm și BC = 6 cm. Perimetrul paralelogramului ABCD…

   −+din 5
   Arată baremul

   Răspuns: c

   SUBIECTUL al II-lea / 4. c) 5p

5. 5. În figura alăturată este reprezentat cercul de centru O. Punctele A și B aparțin cercului, astfel încât măsura…

   −+din 5
   Arată baremul

   Răspuns: b

   SUBIECTUL al II-lea / 5. b) 5p

6. 6. În figura alăturată este reprezentat un con circular drept cu secțiunea axială triunghiul dreptunghic VAB. Înălțimea…

   −+din 5
   Arată baremul

   Răspuns: c

   SUBIECTUL al II-lea / 6. c) 5p

Subiectul al III-lea

1. 1. a) Verifică dacă Mihai a cheltuit în a doua zi un sfert din întreaga sumă de bani. Justifică răspunsul dat.

   −+din 2
   Arată baremul

   SUBIECTUL al III-lea

   1. a) (30/100)(x − (20/100)·x) = 24x/100 este suma cheltuită de Mihai în a doua zi, unde x reprezintă întreaga sumă de bani - 1p 24x/100 < 25x/100 = (1/4)·x, de unde obținem că Mihai nu a cheltuit în a doua zi un sfert din întreaga sumă de bani - 1p

2. 1. b) Determină suma de bani cheltuită de Mihai, în total, în cele patru zile.

   −+din 3
   Arată baremul

   Răspuns: 200 de lei

   SUBIECTUL al III-lea

   1. b) x/5 + 6x/25 + (6x/25 + 20) + 44 = x - 1p 17x/25 + 64 = x - 1p x = 200 de lei - 1p

3. 2. a) Arată că x/(9 + 3x) − 2/(x + 3) + 3/(x² + 3x) = (x − 3)²/(3x(x + 3)), pentru orice număr real x, x ≠ −3 și x ≠ 0.

   −+din 2
   Arată baremul

   SUBIECTUL al III-lea

   2. a) x/(9 + 3x) − 2/(x + 3) + 3/(x² + 3x) = x/(3(x + 3)) − 2/(x + 3) + 3/(x(x + 3)) = - 1p = (x² − 6x + 9)/(3x(x + 3)) = (x − 3)²/(3x(x + 3)), pentru orice număr real x, x ≠ −3 și x ≠ 0 - 1p

4. 2. b) Determină numărul natural n pentru care 5·E(n) este număr natural.

   −+din 3
   Arată baremul

   Răspuns: 2

   SUBIECTUL al III-lea

   2. b) x/3 + 3/x − 2 = (x² + 9 − 6x)/(3x) = (x − 3)²/(3x) - 1p E(x) = ((x − 3)²/(3x(x + 3)))·(3x/(x − 3)²) = 1/(x + 3), pentru orice număr real x, x ≠ −3, x ≠ 0, x ≠ 3 - 1p 5·E(n) = 5/(n + 3) este număr natural, deci n + 3 = 1 sau n + 3 = 5 și, cum n este număr natural, obținem n = 2 - 1p

5. 3. a) Arată că 2023·f(−2) = 0.

   −+din 2
   Arată baremul

   SUBIECTUL al III-lea

   3. a) f(−2) = 0 - 1p 2023·f(−2) = 2023·0 = 0 - 1p

6. 3. b) Punctele A și B sunt punctele de intersecție a reprezentării geometrice a graficului funcției f cu axele Ox,…

   −+din 3
   Arată baremul

   SUBIECTUL al III-lea

   3. b) A(−2, 0) și B(0, 2) sunt punctele de intersecție a graficului funcției f cu axele Ox, respectiv Oy - 1p În triunghiul dreptunghic isoscel AOB, OM mediană, deci OM bisectoare ⇒ ∠MOB = 45° - 1p NP ⟂ Ox, P ∈ Ox ⇒ P(3, 0), iar ∠MON = ∠MOB + ∠BOP + ∠PON = 45° + 90° + 45° = 180°, de unde rezultă că punctele N, O și M sunt coliniare - 1p

7. 4. a) Arată că AC = 15 cm.

   −+din 2
   Arată baremul

   SUBIECTUL al III-lea

   4. a) În triunghiul dreptunghic ABC, AC = √(AB² + BC²) = √(12² + 9²) = - 1p = √225 = 15 cm - 1p

8. 4. b) Arată că aria patrulaterului AMEQ este de patru ori mai mare decât aria patrulaterului CNEP.

   −+din 3
   Arată baremul

   SUBIECTUL al III-lea

   4. b) QN ∥ AB ∥ CD, PM ∥ BC ∥ AD și ∠QAM = ∠PCN = 90°, deci AMEQ și CNEP sunt dreptunghiuri - 1p PC ∥ AM ⇒ △PEC ∼ △MEA ⇒ PE/ME = PC/AM = EC/EA = 1/2 - 1p ME = 2·PE, AM = 2·PC ⇒ A_AMEQ = AM·ME = 4·PC·PE = 4·A_CNEP - 1p

9. 5. a) Arată că perimetrul triunghiului ABC este egal cu 2√2(3 + √3) cm.

   −+din 2
   Arată baremul

   SUBIECTUL al III-lea

   5. a) În triunghiul dreptunghic ABC, AC = √(AB² + BC²) = 4√2 cm - 1p P_△ABC = AB + AC + BC = 2√2 + 4√2 + 2√6 = 2√2(3 + √3) cm - 1p

10. 5. b) Calculează distanța de la punctul E la dreapta AC.

    −+din 3
    Arată baremul

    Răspuns: (√6 − √2)/2 cm

    SUBIECTUL al III-lea

    5. b) EM mediană în triunghiul dreptunghic isoscel AEB ⇒ EM = AB/2 = √2 cm, BE bisectoarea ∠ABC, EM ⟂ AB, M ∈ AB și EN ⟂ BC, N ∈ BC, de unde obținem EM = EN = √2 cm - 1p 𝒜_△AEC = 𝒜_△ABC − 𝒜_△AEB − 𝒜_△BEC = (AB · BC)/2 − (AB · EM)/2 − (BC · EN)/2 = 2(√3 − 1) cm² - 1p 𝒜_△AEC = (AC · EP)/2, unde EP ⟂ AC, P ∈ AC, de unde EP = (√3 − 1)/√2 = (√6 − √2)/2 cm - 1p

11. 6. a) Arată că aria totală a paralelipipedului dreptunghic ABCDA′B′C′D′ este egală cu 64 cm².

    −+din 2
    Arată baremul

    SUBIECTUL al III-lea

    6. a) 𝒜_t = 2 · (AB · AA′ + BC · AA′ + AB · BC) = 2 · (16 + 8 + 8) = - 1p = 2 · 32 = 64 cm² - 1p

12. 6. b) Arată că dreapta NP este paralelă cu planul (ACD′), unde punctul N este proiecția punctului C′ pe dreapta B′D′ și…

    −+din 3
    Arată baremul

    SUBIECTUL al III-lea

    6. b) △B′C′D′ ≡ △B′C′C ⇒ B′D′ = B′C - 1p În triunghiul B′C′D′ dreptunghic, B′N = B′C′²/B′D′ și în triunghiul B′C′C dreptunghic, B′P = B′C′²/B′C, de unde B′N = B′P - 1p În triunghiul B′D′C, B′N/B′D′ = B′P/B′C ⇒ NP ∥ D′C, D′C ⊂ (ACD′) ⇒ NP ∥ (ACD′) - 1p