Matematică științele naturii, sesiunea iunie-iulie 2022

Corectează-te cu baremul

Ai rezolvat lucrarea pe foaie? Deschide baremul fiecărui item, trece-ți punctele și nota apare pe loc. Rămân salvate pe dispozitivul tău.

Subiectul I

1. 1. Determinați termenul a₁ al progresiei aritmetice (aₙ)ₙ≥₁, știind că a₂ = 6 și a₃ = 12.

   −+din 5
   Arată baremul

   Răspuns: 0

   1. r = a₃ − a₂ = 6, unde r este rația progresiei aritmetice - 2p a₁ = a₂ − r = 6 − 6 = 0 - 3p

2. 2. Se consideră funcția f : ℝ → ℝ, f(x) = x − 5. Determinați numărul real a pentru care f(a) + f(2a) = 2.

   −+din 5
   Arată baremul

   Răspuns: 4

   2. a − 5 + 2a − 5 = 2 ⇔ 3a = 12 - 3p a = 4 - 2p

3. 3. Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația 5ˣ · (1/5) = 25.

   −+din 5
   Arată baremul

   Răspuns: 3

   3. 5^(x − 1) = 5², deci x − 1 = 2 - 3p x = 3 - 2p

4. 4. Calculați probabilitatea ca, alegând un număr din mulțimea numerelor naturale de două cifre, acesta să fie multiplu…

   −+din 5
   Arată baremul

   Răspuns: 1/15

   4. Mulțimea numerelor naturale de două cifre are 90 de elemente, deci sunt 90 de cazuri posibile - 2p În mulțimea numerelor naturale de două cifre sunt 6 numere care sunt multipli de 16, deci sunt 6 cazuri favorabile, de unde obținem p = 6/90 = 1/15 - 3p

5. 5. În reperul cartezian xOy se consideră punctele A(3,2) și B(1,4). Determinați coordonatele punctului C, astfel încât…

   −+din 5
   Arată baremul

   Răspuns: C(5,0)

   5. A((1 + x_C)/2, (4 + y_C)/2), de unde obținem x_C = 5 - 3p y_C = 0 - 2p

6. 6. Se consideră expresia E(x) = sin x + sin(3x/2) − cos(x/2), unde x este număr real. Arătați că E(π/3) = 1.

   −+din 5
   Arată baremul

   6. sin(π/3) = √3/2, sin(π/2) = 1, cos(π/6) = √3/2 - 3p E(π/3) = √3/2 + 1 − √3/2 = 1 - 2p

Subiectul al II-lea

1. 1. a) Arătați că det A = 0.

   −+din 5
   Arată baremul

   1.a) det A = det([[1, −1], [−1, 1]]) = 1·1 − (−1)·(−1) = - 3p = 1 − 1 = 0 - 2p

2. 1. b) Arătați că B(x) − B(0) = xA, pentru orice număr real x.

   −+din 5
   Arată baremul

   b) B(0) = [[0, 3], [2, 0]] ⇒ B(x) − B(0) = [[x, −x], [−x, x]] = - 3p = x[[1, −1], [−1, 1]] = xA, pentru orice număr real x - 2p

3. 1. c) Arătați că matricea C(a) = B(a)·B(1) − B(a + 1) este inversabilă, pentru orice număr întreg a.

   −+din 5
   Arată baremul

   c) C(a) = [[a, 3 − a], [2 − a, a]]·[[1, 2], [1, 1]] − [[a + 1, 2 − a], [1 − a, a + 1]] = [[2 − a, 2a + 1], [a + 1, 3 − 2a]] ⇒ det(C(a)) = −10a + 5, pentru orice număr întreg a - 3p −10a + 5 = 0 ⇒ a = 1/2 ∉ ℤ, deci matricea C(a) este inversabilă, pentru orice număr întreg a - 2p

4. 2. a) Arătați că 1 ∗ 2 = 4.

   −+din 5
   Arată baremul

   2.a) 1 ∗ 2 = (2·1 − 1)(2·2 − 1) + 1 = - 3p = 1·3 + 1 = 4 - 2p

5. 2. b) Determinați numerele reale x pentru care x ∗ x = 2.

   −+din 5
   Arată baremul

   Răspuns: x = 0 sau x = 1

   b) x ∗ x = 4x² − 4x + 2, pentru orice număr real x - 2p 4x² − 4x + 2 = 2 ⇒ 4x² − 4x = 0, de unde obținem x = 0 sau x = 1 - 3p

6. 2. c) Determinați numărul întreg nenul m pentru care m ∗ (1 + 1/m) = 1.

   −+din 5
   Arată baremul

   Răspuns: -2

   c) m ∗ (1 + 1/m) = (2m − 1)(1 + 2/m) + 1, pentru orice număr întreg nenul m - 2p (2m − 1)(1 + 2/m) = 0 și, cum m este număr întreg nenul, obținem m = −2 - 3p

Subiectul al III-lea

1. 1. a) Arătați că f′(x) = (4x² + 1)/x, x ∈ (0, +∞).

   −+din 5
   Arată baremul

   1.a) f′(x) = (2x²)′ + 1′ + (ln x)′ = - 2p = 4x + 1/x = (4x² + 1)/x, x ∈ (0, +∞) - 3p

2. 1. b) Arătați că lim_{x→+∞} (f(x) − ln x)/(x² + x + 4) = 2.

   −+din 5
   Arată baremul

   b) lim_{x→+∞} (f(x) − ln x)/(x² + x + 4) = lim_{x→+∞} (2x² + 1)/(x² + x + 4) = lim_{x→+∞} [x²(2 + 1/x²)]/[x²(1 + 1/x + 4/x²)] = - 3p = lim_{x→+∞} (2 + 1/x²)/(1 + 1/x + 4/x²) = 2 - 2p

3. 1. c) Demonstrați că funcția f este bijectivă.

   −+din 5
   Arată baremul

   c) f′(x) > 0, pentru orice x ∈ (0, +∞) ⇒ f este strict crescătoare, deci f este injectivă - 2p f este continuă, lim_{x→0} f(x) = −∞ și lim_{x→+∞} f(x) = +∞, deci f este surjectivă, de unde obținem că f este bijectivă - 3p

4. 2. a) Arătați că ∫₀⁴ f(x)/(eˣ + 2x²) dx = 8.

   −+din 5
   Arată baremul

   2.a) ∫₀⁴ f(x)/(eˣ + 2x²) dx = ∫₀⁴ x dx = [x²/2]₀⁴ = - 3p = 16/2 − 0 = 8 - 2p

5. 2. b) Arătați că ∫₀¹ (f(x) − 2x³) dx = 1.

   −+din 5
   Arată baremul

   b) ∫₀¹ (f(x) − 2x³) dx = ∫₀¹ xeˣ dx = [xeˣ]₀¹ − ∫₀¹ eˣ dx = e − [eˣ]₀¹ = - 3p = e − e + 1 = 1 - 2p

6. 2. c) Determinați numărul real a pentru care ∫₁² (1/x) · f(x²) dx = (e⁴ − e)/2 + a.

   −+din 5
   Arată baremul

   Răspuns: 21

   c) ∫₁² (1/x) · f(x²) dx = ∫₁² (1/x) · x²(e^(x²) + 2x⁴) dx = (1/2)∫₁² (x²)′e^(x²) dx + ∫₁² 2x⁵ dx = (1/2)[e^(x²)]₁² + [x⁶/3]₁² = (e⁴ − e)/2 + 21 - 3p (e⁴ − e)/2 + 21 = (e⁴ − e)/2 + a, de unde obținem a = 21 - 2p