Matematică științele naturii, sesiunea iunie-iulie 2024

Corectează-te cu baremul

Ai rezolvat lucrarea pe foaie? Deschide baremul fiecărui item, trece-ți punctele și nota apare pe loc. Rămân salvate pe dispozitivul tău.

Subiectul I

1. 1. Determinați termenul a₁ al progresiei aritmetice (aₙ)ₙ≥₁, în care a₂ = 8 și a₃ = 12.

   −+din 5
   Arată baremul

   Răspuns: 4

   Rația progresiei este r = a₃ − a₂ = 4 - 3p a₁ = a₂ − r = 4 - 2p

2. 2. Se consideră funcția f : ℝ → ℝ, f(x) = 3x − 2. Determinați numărul real m pentru care f(m) = m.

   −+din 5
   Arată baremul

   Răspuns: 1

   f(m) = 3m − 2, pentru orice număr real m - 2p 3m − 2 = m, de unde obținem m = 1 - 3p

3. 3. Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația log₆(9 − x²) = log₆ 5.

   −+din 5
   Arată baremul

   Răspuns: x ∈ {−2, 2}

   9 − x² = 5, de unde obținem x² − 4 = 0 - 2p x = −2 sau x = 2, care convin - 3p

4. 4. Se consideră mulțimea A = {0, 1, 2, …, 9}. Determinați probabilitatea ca, alegând un număr n din mulțimea A, numărul…

   −+din 5
   Arată baremul

   Răspuns: 1/5

   Mulțimea A are 10 elemente, deci sunt 10 cazuri posibile - 2p Numerele n din mulțimea A pentru care √(2n + 1) aparține mulțimii A sunt 0 și 4, deci sunt 2 cazuri favorabile, de unde obținem p = 2/10 = 1/5 - 3p

5. 5. În reperul cartezian xOy se consideră punctele A(1, 0), B(4, 4) și C(5, 2). Arătați că triunghiul ABC este…

   −+din 5
   Arată baremul

   m_AC = 1/2 - 2p m_BC = −2 ⇒ m_AC · m_BC = −1, deci triunghiul ABC este dreptunghic în C - 3p

6. 6. Se consideră expresia E(x) = 2sin x · cos(x/2) + (sin(3x/4))². Arătați că E(π/3) = 2.

   −+din 5
   Arată baremul

   sin(π/3) = √3/2, cos(π/6) = √3/2, sin(π/4) = √2/2 - 3p E(π/3) = 2 · (√3/2) · (√3/2) + 2/4 = 2 - 2p

Subiectul al II-lea

1. 1. a) Arătați că det(B(1)) = 7.

   −+din 5
   Arată baremul

   1.a) B(1) = [1, 2; −2, 3] ⇒ det(B(1)) = |1, 2; −2, 3| = 1 · 3 − 2 · (−2) = - 3p = 3 + 4 = 7 - 2p

2. 1. b) Arătați că B(2) − B(0) · B(1) = 4A.

   −+din 5
   Arată baremul

   b) B(0) = [0, 1; −3, −1], B(0) · B(1) = [−2, 3; −1, −9] - 3p B(2) − B(0) · B(1) = [4, 0; 0, 16] = 4A - 2p

3. 1. c) Determinați numerele reale a pentru care matricea C(a) = B(a) − aA nu este inversabilă.

   −+din 5
   Arată baremul

   Răspuns: a = −1 sau a = 3

   c) C(a) = [0, a + 1; a − 3, −1] ⇒ det(C(a)) = −(a − 3)(a + 1), pentru orice număr real a - 3p det(C(a)) = 0, de unde obținem a = −1 sau a = 3 - 2p

4. 2. a) Arătați că 2 ∗ 2 = 0.

   −+din 5
   Arată baremul

   2.a) 2 ∗ 2 = 2 · 2 − 2 · 2 − 3 · 2 + 6 = - 3p = 4 − 4 − 6 + 6 = 0 - 2p

5. 2. b) Determinați numărul real x pentru care x ∗ 6 = x.

   −+din 5
   Arată baremul

   Răspuns: 4

   b) x ∗ 6 = 4x − 12, pentru orice număr real x - 3p 4x − 12 = x, de unde obținem x = 4 - 2p

6. 2. c) Determinați mulțimea numerelor reale x pentru care x ∗ (2 ∗ x) ≥ 2.

   −+din 5
   Arată baremul

   Răspuns: [1, 2]

   c) 2 ∗ x = 2 − x, x ∗ (2 ∗ x) = −x² + 3x, pentru orice număr real x - 2p −x² + 3x ≥ 2 ⇔ −x² + 3x − 2 ≥ 0, de unde obținem x ∈ [1, 2] - 3p

Subiectul al III-lea

1. 1. a) Arătați că f′(x) = 2(4 − x²)/(x² + x + 4)², x ∈ ℝ.

   −+din 5
   Arată baremul

   f′(x) = [2(x² + x + 4) − 2x(2x + 1)]/(x² + x + 4)² = - 3p = (8 − 2x²)/(x² + x + 4)² = 2(4 − x²)/(x² + x + 4)², x ∈ ℝ - 2p

2. 1. b) Determinați ecuația asimptotei orizontale spre +∞ la graficul funcției f.

   −+din 5
   Arată baremul

   Răspuns: y = 0

   lim(x → +∞) f(x) = lim(x → +∞) 2x/(x² + x + 4) = lim(x → +∞) 2/[x(1 + 1/x + 4/x²)] = 0 - 3p Dreapta de ecuație y = 0 este asimptota orizontală spre +∞ la graficul funcției f - 2p

3. 1. c) Arătați că f(x) − f(4 − x) ≤ 1, pentru orice x ∈ [4, +∞).

   −+din 5
   Arată baremul

   f′(x) = 0 ⇒ x = −2 sau x = 2; pentru orice x ∈ (−∞, −2], f′(x) ≤ 0, deci f este descrescătoare pe (−∞, −2]; pentru orice x ∈ [−2, 2], f′(x) ≥ 0, deci f este crescătoare pe [−2, 2]; pentru orice x ∈ [2, +∞), f′(x) ≤ 0, deci f este descrescătoare pe [2, +∞) - 2p x ∈ [4, +∞) ⇒ 4 − x ∈ (−∞, 0], deci f(x) ≤ f(4) și f(4 − x) ≥ f(−2) și, cum f(−2) = −2/3 și f(4) = 1/3, obținem f(x) − f(4 − x) ≤ 1, pentru orice x ∈ [4, +∞) - 3p

4. 2. a) Arătați că ∫₀² (x + 1)f(x) dx = 8.

   −+din 5
   Arată baremul

   ∫₀² (x + 1)f(x) dx = ∫₀² (x + 3) dx = [x²/2 + 3x]₀² = - 3p = 2 + 6 = 8 - 2p

5. 2. b) Arătați că ∫₀¹ f(x) dx = 1 + 2ln 2.

   −+din 5
   Arată baremul

   ∫₀¹ f(x) dx = ∫₀¹ (x + 3)/(x + 1) dx = ∫₀¹ (1 + 2/(x + 1)) dx = [x + 2ln(x + 1)]₀¹ = - 3p = 1 + 2ln 2 − 2ln 1 = 1 + 2ln 2 - 2p

6. 2. c) Determinați numărul real a pentru care ∫₁² (x² − 1)eˣf(x) dx = e(e + a).

   −+din 5
   Arată baremul

   Răspuns: 2

   ∫₁² (x² − 1)eˣf(x) dx = ∫₁² (x² + 2x − 3)eˣ dx = [(x² − 3)eˣ]₁² = e² + 2e - 3p e(e + a) = e² + 2e, de unde obținem a = 2 - 2p