Matematică științele naturii, subiect de rezervă 2024, sesiunea iunie-iulie

Corectează-te cu baremul

Ai rezolvat lucrarea pe foaie? Deschide baremul fiecărui item, trece-ți punctele și nota apare pe loc. Rămân salvate pe dispozitivul tău.

Subiectul I

1. 1. Arătați că 2·(1,2+0,1)+0,4=3.

   −+din 5
   Arată baremul

   1. 2·(1,2+0,1)+0,4=2·1,3+0,4= - 2p =2,6+0,4=3 - 3p

2. 2. Se consideră funcția f : ℝ → ℝ, f(x) = 2x + 1. Determinați numărul real a pentru care f(a) − f(2) = a.

   −+din 5
   Arată baremul

   Răspuns: 4

   2. f(a) = 2a + 1, f(2) = 5 - 2p 2a + 1 − 5 = a, de unde obținem a = 4 - 3p

3. 3. Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația log₈(x² − 5x + 5) = log₈ x.

   −+din 5
   Arată baremul

   Răspuns: x = 1 sau x = 5

   3. x² − 5x + 5 = x, de unde obținem x² − 6x + 5 = 0 - 2p x = 1 sau x = 5, care convin - 3p

4. 4. Determinați câte numere naturale impare, de două cifre distincte, se pot forma cu elementele mulțimii A = {1, 3, 4,…

   −+din 5
   Arată baremul

   Răspuns: 8

   4. Cifra unităților se poate alege în 2 moduri - 2p Pentru fiecare alegere a cifrei unităților, cifra zecilor se poate alege în câte 4 moduri, deci se pot forma 2 · 4 = 8 numere - 3p

5. 5. În reperul cartezian xOy se consideră punctele A(0,8), B(4,2) și C, mijlocul segmentului OA. Determinați coordonatele…

   −+din 5
   Arată baremul

   Răspuns: (2,3)

   5. C(0,4) - 2p Mijlocul segmentului BC are coordonatele (2,3) - 3p

6. 6. Se consideră triunghiul ABC, dreptunghic în A, cu AB = 8 și C = π/4. Arătați că aria triunghiului ABC este egală cu 32.

   −+din 5
   Arată baremul

   6. AC = 8 - 3p 𝒜△ABC = (8 · 8)/2 = 32 - 2p

Subiectul al II-lea

1. 1. a) Arătați că det(B(5))=12.

   −+din 5
   Arată baremul

   1.a)

   B(5) = ⎛3  3⎞
          ⎝1  5⎠
   ⇒ det(B(5)) = │3  3│
                 │1  5│ = 3·5−3·1= - 3p

   =15−3=12 - 2p

2. 1. b) Determinați numărul real a pentru care (B(4)−B(2))·A=aA.

   −+din 5
   Arată baremul

   Răspuns: 4

   b)

   B(4)−B(2) = ⎛2  2⎞ − ⎛ 0  0⎞ = ⎛2  2⎞
               ⎝0  4⎠   ⎝−2  2⎠   ⎝2  2⎠,
   (B(4)−B(2))·A = ⎛4  12⎞ = 4A - 3p
                   ⎝4  12⎠

   4A=aA, de unde obținem a=4 - 2p

3. 1. c) Determinați numerele reale x pentru care det(A·B(x)−4xI₂)=0.

   −+din 5
   Arată baremul

   Răspuns: x=0 sau x=4

   c)

   A·B(x) = ⎛4x−14  4x−2⎞
            ⎝4x−14  4x−2⎠,
   A·B(x)−4xI₂ = ⎛  −14  4x−2⎞
                 ⎝4x−14    −2⎠,

   de unde obținem det(A·B(x)−4xI₂)=−16x(x−4), pentru orice număr real x - 3p −16x(x−4)=0, de unde obținem x=0 sau x=4 - 2p

4. 2. a) Arătați că 3 ∘ 3 = 6.

   −+din 5
   Arată baremul

   2. a) 3 ∘ 3 = 3(3 − 2) + 3(3 − 2) = - 3p = 3 + 3 = 6 - 2p

5. 2. b) Determinați numărul real x pentru care 2 ∘ x = x² + 2.

   −+din 5
   Arată baremul

   Răspuns: -1

   2. b) 2 ∘ x = x² − 2x și obținem −2x = 2 - 3p x = −1 - 2p

6. 2. c) Arătați că x ∘ y ≥ −2, pentru orice numere reale x și y.

   −+din 5
   Arată baremul

   2. c) x ∘ y = x² − 2x + y² − 2y = - 2p = x² − 2x + 1 + y² − 2y + 1 − 2 = (x − 1)² + (y − 1)² − 2 ≥ −2, pentru orice numere reale x și y - 3p

Subiectul al III-lea

1. 1. a) Arătați că f′(x)=(x√x+1)/x², x∈(0,+∞).

   −+din 5
   Arată baremul

   1.a) f′(x)=1/√x+1/x²= - 3p =√x/x+1/x²=(x√x+1)/x², x∈(0,+∞) - 2p

2. 1. b) Determinați ecuația tangentei la graficul funcției f în punctul de abscisă x=1, situat pe graficul funcției f.

   −+din 5
   Arată baremul

   Răspuns: y=2x−4

   b) f(1)=−2, f′(1)=2 - 2p Ecuația tangentei este y−f(1)=f′(1)(x−1), adică y=2x−4 - 3p

3. 1. c) Demonstrați că funcția f este bijectivă.

   −+din 5
   Arată baremul

   c) f′(x)>0, pentru orice x∈(0,+∞) ⇒ f este strict crescătoare pe (0,+∞), deci f este injectivă - 2p lim_{x→0} f(x)=−∞, lim_{x→+∞} f(x)=+∞ și f este continuă, deci f este surjectivă, de unde obținem că f este bijectivă - 3p

4. 2. a) Arătați că ∫₁² (x² + 1)f(x) dx = 6.

   −+din 5
   Arată baremul

   2. a) ∫₁² (x² + 1)f(x) dx = ∫₁² 4x dx = [2x²]₁² = - 3p = 8 − 2 = 6 - 2p

5. 2. b) Arătați că ∫₂³ f(x) dx = 2 ln 2.

   −+din 5
   Arată baremul

   2. b) ∫₂³ f(x) dx = ∫₂³ 4x/(x² + 1) dx = 2∫₂³ (x² + 1)′/(x² + 1) dx = [2 ln(x² + 1)]₂³ = - 3p = 2 ln 10 − 2 ln 5 = 2 ln 2 - 2p

6. 2. c) Determinați m ∈ (1, +∞) pentru care ∫₁ᵐ (f(√x)/√x)³ dx = 6.

   −+din 5
   Arată baremul

   Răspuns: 3

   2. c) ∫₁ᵐ (f(√x)/√x)³ dx = ∫₁ᵐ 64/(x + 1)³ dx = [−32/(x + 1)²]₁ᵐ = −32/(m + 1)² + 8 - 3p −32/(m + 1)² + 8 = 6 și, cum m ∈ (1, +∞), obținem m = 3 - 2p