Matematică științele naturii, simulare 2024

Corectează-te cu baremul

Ai rezolvat lucrarea pe foaie? Deschide baremul fiecărui item, trece-ți punctele și nota apare pe loc. Rămân salvate pe dispozitivul tău.

Subiectul I

1. 1. Se consideră numerele complexe z₁ = 3 − i și z₂ = 1 + i. Arătați că z₁ + iz₂ = 2.

   −+din 5
   Arată baremul

   SUBIECTUL I, 1. z₁ + iz₂ = 3 − i + i(1 + i) = 3 − i + i + i² = - 3p = 3 + (−1) = 2 - 2p

2. 2. Se consideră funcțiile f : ℝ → ℝ, f(x) = 5 − x și g : ℝ → ℝ, g(x) = x + 2. Determinați numărul real a pentru care…

   −+din 5
   Arată baremul

   Răspuns: 1

   f(a) = 5 − a, g(a + 1) = a + 3 - 2p 5 − a = a + 3, de unde obținem a = 1 - 3p

3. 3. Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația log₃(4x − x²) = 1.

   −+din 5
   Arată baremul

   Răspuns: x = 1 sau x = 3

   SUBIECTUL I, 3. 4x − x² = 3, de unde obținem x² − 4x + 3 = 0 - 3p x = 1 sau x = 3, care convin - 2p

4. 4. Determinați câte numere naturale impare, de două cifre, cu cifra zecilor număr par, se pot forma cu elementele…

   −+din 5
   Arată baremul

   Răspuns: 12

   Cifra unităților se poate alege în 4 moduri - 2p Pentru fiecare alegere a cifrei unităților, cifra zecilor se poate alege în câte 3 moduri, deci se pot forma 4 · 3 = 12 numere - 3p

5. 5. În reperul cartezian xOy se consideră punctele A(0, 3), B(2, 0) și C. Știind că punctul B este mijlocul segmentului…

   −+din 5
   Arată baremul

   Răspuns: 5

   C(4, 0) - 2p AC = √(4² + 3²) = 5 - 3p

6. 6. Se consideră triunghiul ABC, dreptunghic în A, cu B = π/6 și mediana AM = 4. Arătați că aria triunghiului ABC este…

   −+din 5
   Arată baremul

   AC = 4 - 2p AB = 4√3, deci 𝒜_△ABC = (4√3 · 4)/2 = 8√3 - 3p

Subiectul al II-lea

1. 1. a) Arătați că det(A(0)) = 3.

   −+din 5
   Arată baremul

   SUBIECTUL al II-lea, 1. a)

   A(0) = ⎡0  −3⎤
          ⎣1  −2⎦

   ⇒ det(A(0)) = |0 −3; 1 −2| = 0 · (−2) − (−3) · 1 = - 3p = 0 + 3 = 3 - 2p

2. 1. b) Determinați numărul real m pentru care A(2) · A(0) + A(5) = mI₂.

   −+din 5
   Arată baremul

   Răspuns: 8

   SUBIECTUL al II-lea, 1. b)

   A(2) = ⎡ 2  3⎤
          ⎣−1  4⎦,
   A(5) = ⎡ 5  12⎤
          ⎣−4  13⎦,
   A(2) · A(0) + A(5) = ⎡3  −12⎤ + ⎡ 5  12⎤ = ⎡8  0⎤ = 8I₂
                        ⎣4   −5⎦   ⎣−4  13⎦   ⎣0  8⎦ - 3p

   8I₂ = mI₂, de unde obținem m = 8 - 2p

3. 1. c) Determinați numerele reale x pentru care det(A(x) − A(0) · A(1 − x)) = 3.

   −+din 5
   Arată baremul

   Răspuns: x = −1/2 sau x = 1/2

   SUBIECTUL al II-lea, 1. c)

   A(1 − x) = ⎡1 − x    −3x ⎤
              ⎣  x     1 − 3x⎦,
   A(x) − A(0) · A(1 − x) = ⎡4x  −6x⎤
                            ⎣2x    0⎦,

   de unde obținem det(A(x) − A(0) · A(1 − x)) = 12x², pentru orice număr real x - 3p 12x² = 3, de unde obținem x = −1/2 sau x = 1/2 - 2p

4. 2. a) Arătați că 1 ∘ 8 = 7.

   −+din 5
   Arată baremul

   1 ∘ 8 = 1 + 8 + 1 − √(1 · 8 + 1) = - 3p = 10 − 3 = 7 - 2p

5. 2. b) Determinați x ∈ M pentru care x ∘ (3/x) = x.

   −+din 5
   Arată baremul

   Răspuns: 3

   x ∘ (3/x) = x + 3/x − 1, pentru orice x ∈ M - 3p x + 3/x − 1 = x, de unde obținem x = 3, care convine - 2p

6. 2. c) Determinați numerele naturale nenule n pentru care (n ∘ (n + 2)) ∘ (n + 4) > n²/2.

   −+din 5
   Arată baremul

   Răspuns: n ∈ {1, 2, 3}

   n ∘ (n + 2) = n + 2, (n ∘ (n + 2)) ∘ (n + 4) = n + 4, pentru orice număr natural nenul n - 3p n + 4 > n²/2 și, cum n este număr natural nenul, obținem n = 1 sau n = 2 sau n = 3 - 2p

Subiectul al III-lea

1. 1. a) Arătați că f′(x) = x(x² + 5x + 4)eˣ, x ∈ ℝ.

   −+din 5
   Arată baremul

   SUBIECTUL al III-lea, 1. a) f′(x) = (3x² + 4x)eˣ + (x³ + 2x²)eˣ = - 3p = (x³ + 5x² + 4x)eˣ = x(x² + 5x + 4)eˣ, x ∈ ℝ - 2p

2. 1. b) Determinați ecuația tangentei la graficul funcției f în punctul de abscisă x = 0, situat pe graficul funcției f.

   −+din 5
   Arată baremul

   Răspuns: y = 0

   SUBIECTUL al III-lea, 1. b) f(0) = 0, f′(0) = 0 - 2p Ecuația tangentei este y − f(0) = f′(0)(x − 0), adică y = 0 - 3p

3. 1. c) Arătați că −32/e^(x+4) ≤ x²(x + 2) ≤ 1/e^(x+1), pentru orice x ∈ [−4, 0].

   −+din 5
   Arată baremul

   SUBIECTUL al III-lea, 1. c) f′(x) = 0 ⇔ x = −4 sau x = −1 sau x = 0; pentru x ∈ [−4, −1] ⇒ f′(x) ≥ 0, deci f este crescătoare pe [−4, −1] și pentru x ∈ [−1, 0] ⇒ f′(x) ≤ 0, deci f este descrescătoare pe [−1, 0] - 2p f(−4) = −32/e⁴, f(−1) = 1/e și f(0) = 0, deci −32/e⁴ ≤ f(x) ≤ 1/e, de unde obținem −32/e^(x+4) ≤ x²(x + 2) ≤ 1/e^(x+1), pentru orice x ∈ [−4, 0] - 3p

4. 2. a) Arătați că ∫₁² (f(x) + 2/(x + 1)) dx = 7.

   −+din 5
   Arată baremul

   2. a) ∫₁² (f(x) + 2/(x + 1)) dx = ∫₁² 3x² dx = [x³]₁² = - 3p = 8 − 1 = 7 - 2p

5. 2. b) Arătați că ∫₁⁵ (3x² − f(x)) dx = 2 ln 3.

   −+din 5
   Arată baremul

   2. b) ∫₁⁵ (3x² − f(x)) dx = ∫₁⁵ 2/(x + 1) dx = 2∫₁⁵ (x + 1)′/(x + 1) dx = [2 ln(x + 1)]₁⁵ = - 3p = 2 ln 6 − 2 ln 2 = 2 ln 3 - 2p

6. 2. c) Se consideră funcția g : (0, +∞) → ℝ, g(x) = f(√x − 1). Arătați că ∫₁⁴ (a + bg(x))g′(x) dx = 4a, pentru orice numere…

   −+din 5
   Arată baremul

   2. c) ∫₁⁴ (a + bg(x))g′(x) dx = ∫₁⁴ ag′(x) dx + ∫₁⁴ bg(x)g′(x) dx = [ag(x)]₁⁴ + [bg²(x)/2]₁⁴ = = a(g(4) − g(1)) + (b/2)(g²(4) − g²(1)), pentru orice numere reale a și b - 3p

   g(1) = f(0) = −2, g(4) = f(1) = 2, deci ∫₁⁴ (a + bg(x))g′(x) dx = 4a, pentru orice numere reale a și b - 2p