Matematică tehnologic, sesiunea iunie-iulie 2021

Corectează-te cu baremul

Ai rezolvat lucrarea pe foaie? Deschide baremul fiecărui item, trece-ți punctele și nota apare pe loc. Rămân salvate pe dispozitivul tău.

Subiectul I

1. 1. Arătați că 2·(2−(3/4):(1/2))=1.

   −+din 5
   Arată baremul

   1. 2·(2−(3/4):(1/2))=2·(2−3/2)= - 3p =2·(1/2)=1 - 2p

2. 2. Arătați că f(1) + g(1) = 0.

   −+din 5
   Arată baremul

   f(1) = 3 - 2p g(1) = −3 ⇒ f(1) + g(1) = 3 + (−3) = 0 - 3p

3. 3. Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația 2^(4−x) = 4.

   −+din 5
   Arată baremul

   Răspuns: 2

   2^(4−x) = 2² ⇔ 4 − x = 2 - 3p x = 2 - 2p

4. 4. Un produs costă 70 de lei. Determinați prețul produsului după o scumpire cu 30%.

   −+din 5
   Arată baremul

   Răspuns: 91 de lei

   4. (30/100)·70=21 de lei - 3p Prețul după scumpire este 70+21=91 de lei - 2p

5. 5. În reperul cartezian xOy se consideră punctele A(−3,4), B(−3,0) și C(0,4). Calculați perimetrul triunghiului ABC.

   −+din 5
   Arată baremul

   Răspuns: 12

   AB = 4, AC = 3 - 2p BC = 5, de unde obținem P_△ABC = AB + BC + AC = 12 - 3p

6. 6. Se consideră triunghiul ABC, în care AC = 2, BC = 4 și unghiul A are măsura egală cu 30°. Arătați că sin B = 1/4.

   −+din 5
   Arată baremul

   AC/sin B = BC/sin A ⇔ 2/sin B = 4/(1/2) - 3p sin B = 1/4 - 2p

Subiectul al II-lea

1. 1. a) Arătați că det A = 7.

   −+din 5
   Arată baremul

   det A = | 3 −2 | | 2 1 | = 3·1 − (−2)·2 = - 3p = 3 + 4 = 7 - 2p

2. 1. b) Arătați că 2B + I₂ = 3A.

   −+din 5
   Arată baremul

   2B + I₂ = 2 ⎛ 4  −3 ⎞ + ⎛ 1  0 ⎞ = ⎛ 9  −6 ⎞ =
               ⎝ 3   1 ⎠   ⎝ 0  1 ⎠   ⎝ 6   3 ⎠ - 3p
   = 3 ⎛ 3  −2 ⎞ = 3A
       ⎝ 2   1 ⎠ - 2p

3. 1. c) Determinați matricea X ∈ ℳ₂(ℝ) pentru care A·X − B·X = I₂ − X.

   −+din 5
   Arată baremul

   Răspuns: X = ⎛ 1 −1 ⎞ ⎝ 1 0 ⎠

   A·X − B·X = I₂ − X ⇔ (A − B + I₂)·X = I₂ - 2p Cum det(A − B + I₂) = | 0 1 | | −1 1 | = 1, obținem X = (A − B + I₂)⁻¹, deci

   X = ⎛ 1  −1 ⎞
       ⎝ 1   0 ⎠ - 3p

4. 2. a) Arătați că 1∗3=3.

   −+din 5
   Arată baremul

   2.a) 1∗3=3−(1−3)(3−3)= - 3p =3−0=3 - 2p

5. 2. b) Arătați că e=2 este elementul neutru al legii de compoziție „∗”.

   −+din 5
   Arată baremul

   b) x∗2=3−(x−3)(2−3)=3+x−3=x, pentru orice număr real x - 2p 2∗x=3−(2−3)(x−3)=3+x−3=x, pentru orice număr real x, deci e=2 este elementul neutru al legii de compoziție „∗” - 3p

6. 2. c) Determinați mulțimea valorilor reale ale lui x pentru care x∗(x+6)≥3.

   −+din 5
   Arată baremul

   Răspuns: [−3,3]

   c) x∗(x+6)=3−(x−3)(x+3), pentru orice număr real x - 2p 3−(x−3)(x+3)≥3 ⇔ (x−3)(x+3)≤0, de unde obținem x∈[−3,3] - 3p

Subiectul al III-lea

1. 1. a) Arătați că f′(x)=(x−4)/x², x∈(0,+∞).

   −+din 5
   Arată baremul

   1.a) f′(x)=−4/x²+1/x−0= - 3p =(−4+x)/x²=(x−4)/x², x∈(0,+∞) - 2p

2. 1. b) Determinați intervalele de monotonie a funcției f.

   −+din 5
   Arată baremul

   Răspuns: f este descrescătoare pe (0,4] și crescătoare pe [4,+∞).

   b) f′(x)=0 ⇔ x=4 - 2p f′(x)≤0, pentru orice x∈(0,4] ⇒ f este descrescătoare pe (0,4] și f′(x)≥0, pentru orice x∈[4,+∞) ⇒ f este crescătoare pe [4,+∞) - 3p

3. 1. c) Arătați că nu există asimptotă spre +∞ la graficul funcției f.

   −+din 5
   Arată baremul

   c) lim_{x→+∞} f(x)/x = lim_{x→+∞} (4/x²+(ln x)/x−5/x)=0 - 3p lim_{x→+∞} f(x) = lim_{x→+∞} (4/x+ln x−5)=+∞, deci nu există asimptotă spre +∞ la graficul funcției f - 2p

4. 2. a) Arătați că ∫₁² (f(x) − eˣ − 3) dx = 7.

   −+din 5
   Arată baremul

   ∫₁² (f(x) − eˣ − 3) dx = ∫₁² 3x² dx = [x³]₁² = - 3p = 8 − 1 = 7 - 2p

5. 2. b) Arătați că ∫₀¹ x(f(x) − 3x²) dx = 5/2.

   −+din 5
   Arată baremul

   ∫₀¹ x(f(x) − 3x²) dx = ∫₀¹ (xeˣ + 3x) dx = [xeˣ − eˣ]₀¹ + [3x²/2]₀¹ = - 3p = 1 + 3/2 = 5/2 - 2p

6. 2. c) Determinați a ∈ (0,1), știind că ∫₀ᵃ 1/(f(x) − f′(x)) dx = 1/6.

   −+din 5
   Arată baremul

   Răspuns: a = 1/3

   f′(x) = eˣ + 6x ⇒ f(x) − f′(x) = 3(x − 1)², deci ∫₀ᵃ 1/(f(x) − f′(x)) dx = (1/3)∫₀ᵃ 1/(x − 1)² dx = = −(1/3)·[1/(x − 1)]₀ᵃ = −(1/3)·(1/(a − 1) + 1), pentru orice a ∈ (0,1) - 3p −(1/3)·(1/(a − 1) + 1) = 1/6, de unde obținem a = 1/3, care convine - 2p