Matematică tehnologic, model de subiect 2021

Corectează-te cu baremul

Ai rezolvat lucrarea pe foaie? Deschide baremul fiecărui item, trece-ți punctele și nota apare pe loc. Rămân salvate pe dispozitivul tău.

Subiectul I

1. 1. Arătați că (0,25·10 − 1/2)(0,25·10 + 1/2) = 6.

   −+din 5
   Arată baremul

   (0,25·10 − 1/2)(0,25·10 + 1/2) = (2,5 − 0,5)(2,5 + 0,5) = - 2p = 2·3 = 6 - 3p

2. 2. Se consideră funcția f : ℝ → ℝ, f(x) = x² − ax + 1, unde a este număr real. Determinați numărul real a, știind că…

   −+din 5
   Arată baremul

   Răspuns: 2

   2. f(2) = 1 ⇒ 4 − 2a + 1 = 1 - 3p a = 2 - 2p

3. 3. Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația 3^(x + 2) + 3ˣ = 30.

   −+din 5
   Arată baremul

   Răspuns: 1

   3ˣ(3² + 1) = 30 ⇔ 3ˣ = 3 - 3p x = 1 - 2p

4. 4. Un obiect costă 500 de lei. Determinați prețul obiectului după o scumpire cu 20%.

   −+din 5
   Arată baremul

   Răspuns: 600 de lei

   4. (20/100) · 500 = 100 de lei - 3p Prețul după scumpire este 500 + 100 = 600 de lei - 2p

5. 5. În reperul cartezian xOy se consideră punctele A(0, 3) și B(8, 3). Punctul M este mijlocul segmentului AB. Calculați…

   −+din 5
   Arată baremul

   Răspuns: 5

   Mijlocul segmentului AB este punctul M(4, 3) - 2p OM = √((4 − 0)² + (3 − 0)²) = 5 - 3p

6. 6. Se consideră triunghiul ABC dreptunghic în A, cu AB = 5 și AC = 10. Calculați aria triunghiului ABC.

   −+din 5
   Arată baremul

   Răspuns: 25

   𝒜_ΔABC = (AB·AC)/2 = - 2p = (5·10)/2 = 25 - 3p

Subiectul al II-lea

1. 1. a) Arătați că det A = −1.

   −+din 5
   Arată baremul

   1.a) det A = |1 3; 1 2| = 1 · 2 − 1 · 3 = - 3p = 2 − 3 = −1 - 2p

2. 1. b) Arătați că A · A − 3A = I₂.

   −+din 5
   Arată baremul

   b) A · A = [4 9; 3 7] - 3p A · A − 3A = [4 9; 3 7] − [3 9; 3 6] = [1 0; 0 1] = I₂ - 2p

3. 1. c) Se consideră matricea X = [1 x; y 1], unde x și y sunt numere reale. Determinați numerele reale x și y pentru care A…

   −+din 5
   Arată baremul

   Răspuns: x = −1 și y = −1

   c) A · X = [1 + 3y x + 3; 1 + 2y x + 2], X · A = [1 + x 3 + 2x; y + 1 3y + 2], unde x și y sunt numere reale - 2p [1 + 3y x + 3; 1 + 2y x + 2] − [1 + x 3 + 2x; y + 1 3y + 2] = [−2 1; −1 2] ⇔ [3y − x −x; y x − 3y] = [−2 1; −1 2], de unde obținem x = −1 și y = −1 - 3p

4. 2. a) Arătați că 3 ∘ 2 = 29.

   −+din 5
   Arată baremul

   2.a) 3 ∘ 2 = 4 · 3 · 2 + 3 + 2 = - 3p = 24 + 5 = 29 - 2p

5. 2. b) Demonstrați că x ∘ y = ((4x + 1)(4y + 1) − 1)/4, pentru orice numere reale x și y.

   −+din 5
   Arată baremul

   b) x ∘ y = (16xy + 4x + 4y)/4 = (16xy + 4x + 4y + 1 − 1)/4 = - 3p = (4x(4y + 1) + (4y + 1) − 1)/4 = ((4x + 1)(4y + 1) − 1)/4, pentru orice numere reale x și y - 2p

6. 2. c) Determinați mulțimea valorilor reale ale lui x pentru care x ∘ x ≤ 2.

   −+din 5
   Arată baremul

   Răspuns: [−1, 1/2]

   c) x ∘ x = ((4x + 1)² − 1)/4, pentru orice număr real x - 2p ((4x + 1)² − 1)/4 ≤ 2 ⇔ (4x + 1)² ≤ 9 ⇔ −3 ≤ 4x + 1 ≤ 3, de unde obținem x ∈ [−1, 1/2] - 3p

Subiectul al III-lea

1. 1. a) Arătați că f′(x) = eˣ + (1 − x²)/(x² + 1)², x ∈ ℝ.

   −+din 5
   Arată baremul

   f′(x) = eˣ + (1·(x² + 1) − x·2x)/(x² + 1)² = - 3p = eˣ + (x² + 1 − 2x²)/(x² + 1)² = eˣ + (1 − x²)/(x² + 1)², x ∈ ℝ - 2p

2. 1. b) Determinați ecuația asimptotei orizontale spre −∞ la graficul funcției f.

   −+din 5
   Arată baremul

   Răspuns: y = 0

   lim_{x→−∞} f(x) = lim_{x→−∞} (eˣ + x/(x² + 1)) = lim_{x→−∞} (eˣ + 1/(x + 1/x)) = 0 - 3p Dreapta de ecuație y = 0 este asimptota orizontală spre −∞ la graficul funcției f - 2p

3. 1. c) Demonstrați că (2 − e)/(2e) ≤ f(x) ≤ (2e + 1)/2, pentru orice x ∈ [−1, 1].

   −+din 5
   Arată baremul

   x ∈ [−1, 1] ⇒ 1 − x² ≥ 0 ⇒ f′(x) ≥ 0 ⇒ f este crescătoare pe [−1, 1] ⇒ f(−1) ≤ f(x) ≤ f(1), pentru orice x ∈ [−1, 1] - 3p Cum f(−1) = (2 − e)/(2e) și f(1) = (2e + 1)/2, obținem (2 − e)/(2e) ≤ f(x) ≤ (2e + 1)/2, pentru orice x ∈ [−1, 1] - 2p

4. 2. a) Arătați că ∫₁² (f(x)/√x) dx = 5/2.

   −+din 5
   Arată baremul

   2.a) ∫₁² (f(x)/√x) dx = ∫₁² (x+1) dx = [x²/2+x]₁² = - 3p = (2+2)−(1/2+1) = 5/2 - 2p

5. 2. b) Arătați că volumul corpului obținut prin rotația în jurul axei Ox a graficului funcției g : [0,1] → ℝ, g(x) = f(x),…

   −+din 5
   Arată baremul

   2.b) V = π∫₀¹ g²(x) dx = π∫₀¹ x(x+1)² dx = π∫₀¹ (x³+2x²+x) dx = π[x⁴/4+2x³/3+x²/2]₀¹ = - 3p = π(1/4+2/3+1/2) = 17π/12 - 2p

6. 2. c) Determinați numărul real a, știind că ∫₁ᵉ (f(x)√x ln x)/(x+1) dx = (e²+a)/4.

   −+din 5
   Arată baremul

   Răspuns: 1

   2.c) ∫₁ᵉ (f(x)√x ln x)/(x+1) dx = ∫₁ᵉ x ln x dx = ∫₁ᵉ (x²/2)′ ln x dx = [(x²/2) ln x]₁ᵉ − ∫₁ᵉ (x²/2)·(1/x) dx = e²/2 − (1/2)∫₁ᵉ x dx = - 3p = e²/2 − (1/2)[x²/2]₁ᵉ = e²/2 − e²/4 + 1/4 = (e²+1)/4, deci a = 1 - 2p