Matematică tehnologic, subiect de rezervă 2021, sesiunea iunie-iulie

Corectează-te cu baremul

Ai rezolvat lucrarea pe foaie? Deschide baremul fiecărui item, trece-ți punctele și nota apare pe loc. Rămân salvate pe dispozitivul tău.

Subiectul I

1. 1. Arătați că (1/3)·(1 − 2/5) + 4/5 = 1.

   −+din 5
   Arată baremul

   (1/3)·(1 − 2/5) + 4/5 = (1/3)·(3/5) + 4/5 = - 3p = 1/5 + 4/5 = 1 - 2p

2. 2. Se consideră funcția f : ℝ → ℝ, f(x) = 2x − 1. Arătați că f(1) · f(3) = 5.

   −+din 5
   Arată baremul

   2. f(1) = 1 - 2p f(3) = 5 ⇒ f(1) · f(3) = 1 · 5 = 5 - 3p

3. 3. Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația √(5x − 6) = 2.

   −+din 5
   Arată baremul

   Răspuns: 2

   5x − 6 = 2² ⇒ 5x − 6 = 4 - 3p x = 2, care convine - 2p

4. 4. Determinați probabilitatea ca, alegând un număr din mulțimea numerelor naturale de două cifre, acesta să fie multiplu…

   −+din 5
   Arată baremul

   Răspuns: 1/30

   4. Mulțimea numerelor naturale de două cifre are 90 de elemente, deci sunt 90 de cazuri posibile - 2p În mulțimea numerelor naturale de două cifre, multiplii de 25 sunt numerele 25, 50 și 75, deci sunt 3 cazuri favorabile - 2p p = (nr. cazuri favorabile)/(nr. cazuri posibile) = 3/90 = 1/30 - 1p

5. 5. În reperul cartezian xOy se consideră punctele A(4,0), B(0,2) și C(0,−2). Determinați distanța de la punctul A la…

   −+din 5
   Arată baremul

   Răspuns: 4

   5. O(0,0) este mijlocul segmentului BC - 2p AO = 4 - 3p

6. 6. Se consideră x ∈ (0, π/2) astfel încât cos x = 1/4. Arătați că sin x = √15/4.

   −+din 5
   Arată baremul

   6. sin² x + (1/4)² = 1 ⇔ sin² x = 15/16 - 3p Cum x ∈ (0, π/2), obținem sin x = √15/4 - 2p

Subiectul al II-lea

1. 1. a) Arătați că det A = 10.

   −+din 5
   Arată baremul

   1.a)

   det A = │ 4  −3 │ = 4·1 − (−3)·2 =
           │ 2   1 │ - 3p

   = 4 + 6 = 10 - 2p

2. 1. b) Arătați că 2B(5) + B(−1) = 3B(3).

   −+din 5
   Arată baremul

   b)

   B(5) = ⎛  5  1 ⎞
          ⎝ −1  5 ⎠
   și B(−1) = ⎛ −1   1 ⎞
              ⎝ −1  −1 ⎠
   ⇒ 2B(5) + B(−1) = ⎛  9  3 ⎞ = - 3p
                     ⎝ −3  9 ⎠
   = 3⎛  3  1 ⎞ = 3B(3) - 2p
      ⎝ −1  3 ⎠

3. 1. c) Determinați numărul întreg x pentru care det(A·B(x) − B(4x)) = 0.

   −+din 5
   Arată baremul

   Răspuns: 2

   c)

   A·B(x) − B(4x) = ⎛ 4x+3  4−3x ⎞ − ⎛ 4x   1 ⎞ = ⎛  3  3−3x ⎞,
                    ⎝ 2x−1   2+x ⎠   ⎝ −1  4x ⎠   ⎝ 2x  2−3x ⎠

   pentru orice număr întreg x, deci det(A·B(x) − B(4x)) = 6x² − 15x + 6, pentru orice număr întreg x - 3p 6x² − 15x + 6 = 0 și, cum x este număr întreg, obținem x = 2 - 2p

4. 2. a) Arătați că 2 ∗ 4 = 4.

   −+din 5
   Arată baremul

   2 ∗ 4 = 2(4 − 2) + 4(2 − 2) = 2·2 + 4·0 = - 3p = 4 + 0 = 4 - 2p

5. 2. b) Determinați numerele reale x pentru care x ∗ x = 0.

   −+din 5
   Arată baremul

   Răspuns: x = 0 sau x = 2

   x ∗ x = x(x − 2) + x(x − 2) = 2x(x − 2), pentru orice număr real x - 3p 2x(x − 2) = 0, de unde obținem x = 0 sau x = 2 - 2p

6. 2. c) Determinați numărul real x pentru care (x ∗ 1) ∗ (x + 1) = 4.

   −+din 5
   Arată baremul

   Răspuns: -1

   x ∗ 1 = −2, deci (x ∗ 1) ∗ (x + 1) = (−2) ∗ (x + 1) = −6x − 2, pentru orice număr real x - 3p −6x − 2 = 4, de unde obținem x = −1 - 2p

Subiectul al III-lea

1. 1. a) Arătați că f′(x) = −8x/(2x² + 1)², x ∈ ℝ.

   −+din 5
   Arată baremul

   1.a) f′(x) = [2′·(2x² + 1) − 2·(2x² + 1)′]/(2x² + 1)² = - 3p = (−2·4x)/(2x² + 1)² = −8x/(2x² + 1)², x ∈ ℝ - 2p

2. 1. b) Determinați ecuația tangentei la graficul funcției f în punctul de abscisă x = 0, situat pe graficul funcției f.

   −+din 5
   Arată baremul

   Răspuns: y = 2

   b) f(0) = 2, f′(0) = 0 - 2p Ecuația tangentei este y − f(0) = f′(0)(x − 0), adică y = 2 - 3p

3. 1. c) Arătați că limₓ→₊∞ (xf(x) ln x) = 0.

   −+din 5
   Arată baremul

   c) limₓ→₊∞ (xf(x) ln x) = limₓ→₊∞ [2x ln x/(2x² + 1)] = limₓ→₊∞ [(2 ln x + 2)/(4x)] = - 3p = limₓ→₊∞ 1/(2x) = 0 - 2p

4. 2. a) Arătați că ∫₁² (f(x) − x³ − 1) dx = 9.

   −+din 5
   Arată baremul

   ∫₁² (f(x) − x³ − 1) dx = ∫₁² 6x dx = [3x²]₁² = - 3p = 12 − 3 = 9 - 2p

5. 2. b) Arătați că ∫₀¹ [x²/(f(x) − 6x)] dx = (1/3) ln 2.

   −+din 5
   Arată baremul

   ∫₀¹ [x²/(f(x) − 6x)] dx = ∫₀¹ [x²/(x³ + 1)] dx = (1/3)∫₀¹ [(x³ + 1)′/(x³ + 1)] dx = [(1/3) ln(x³ + 1)]₀¹ = - 3p = (1/3) ln 2 − (1/3) ln 1 = (1/3) ln 2 - 2p

6. 2. c) Determinați numărul real a pentru care ∫₀¹ f(√x) dx = a³/5.

   −+din 5
   Arată baremul

   Răspuns: 3

   ∫₀¹ f(√x) dx = ∫₀¹ (x√x + 6√x + 1) dx = [2x²√x/5 + 6·(2x√x/3) + x]₀¹ = 27/5 - 3p a³/5 = 27/5, de unde obținem a = 3 - 2p