Matematică tehnologic, sesiunea august 2022

Corectează-te cu baremul

Ai rezolvat lucrarea pe foaie? Deschide baremul fiecărui item, trece-ți punctele și nota apare pe loc. Rămân salvate pe dispozitivul tău.

Subiectul I

1. 1. Arătați că 1 + 6·(1/2 + 1/3) = 6.

   −+din 5
   Arată baremul

   Reguli generale:

   1. 1 + 6·(1/2 + 1/3) = 1 + 6·(5/6) = - 3p = 1 + 5 = 6 - 2p

2. 2. Se consideră funcția f : ℝ → ℝ, f(x) = x − 2. Arătați că f(3) − f(2) = 1.

   −+din 5
   Arată baremul

   2. f(3) = 1 - 2p f(2) = 0, de unde obținem f(3) − f(2) = 1 − 0 = 1 - 3p

3. 3. Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația √(3x + 1) = 2.

   −+din 5
   Arată baremul

   Răspuns: 1

   3. 3x + 1 = 4 - 3p x = 1, care convine - 2p

4. 4. Determinați probabilitatea ca, alegând un număr n din mulțimea A = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}, numărul 10 − n să fie…

   −+din 5
   Arată baremul

   Răspuns: 4/9

   Reguli generale:

   4. Mulțimea A are 9 elemente, deci sunt 9 cazuri posibile - 2p Numerele n din mulțimea A pentru care numărul 10 − n este par sunt 2, 4, 6 și 8, de unde obținem 4 cazuri favorabile, deci p = 4/9 - 3p

5. 5. În reperul cartezian xOy se consideră punctele A(a, 0) și B(a, 6), unde a este număr real. Arătați că AB = 6, pentru…

   −+din 5
   Arată baremul

   5. Pentru orice număr real a, AB = √((a − a)² + (6 − 0)²) = - 3p = √(6²) = 6 - 2p

6. 6. Se consideră triunghiul ABC dreptunghic în A, cu AB = 5 și AC = 2AB. Arătați că aria triunghiului ABC este egală cu 25.

   −+din 5
   Arată baremul

   Reguli generale:

   6. AC = 10 - 2p 𝒜△ABC = (AB·AC)/2 = (5·10)/2 = 25 - 3p

Subiectul al II-lea

1. 1. a) Arătați că det A = −2.

   −+din 5
   Arată baremul

   1.a)

   det A = │7  3│ = 7·1 − 3·3 =
           │3  1│

   3p = 7 − 9 = −2 2p

2. 1. b) Arătați că A − 4I₂ = 3B.

   −+din 5
   Arată baremul

   b)

   A − 4I₂ = ⎛7  3⎞ − ⎛4  0⎞ = ⎛3   3⎞ =
             ⎝3  1⎠   ⎝0  4⎠   ⎝3  −3⎠

   3p

   = 3⎛1   1⎞ = 3B
      ⎝1  −1⎠

   2p

3. 1. c) Determinați matricea X ∈ M₂(ℝ) pentru care X + X·B = A.

   −+din 5
   Arată baremul

   Răspuns: X = ⎛3 1⎞ ⎝1 1⎠

   c)

   X·(I₂ + B) = A și, cum I₂ + B = ⎛2  1⎞
                                  ⎝1  0⎠

   și det(I₂ + B) ≠ 0, obținem X = A·(I₂ + B)⁻¹ 2p

   (I₂ + B)⁻¹ = ⎛0   1⎞, de unde obținem X = ⎛3  1⎞
                ⎝1  −2⎠                      ⎝1  1⎠

   3p

4. 2. a) Arătați că 2 ∗ 3 = 6.

   −+din 5
   Arată baremul

   2.a) 2 ∗ 3 = 2·3(2 + 3 − 4) = 3p = 6·1 = 6 2p

5. 2. b) Determinați numerele reale x pentru care 1 ∗ x = 4.

   −+din 5
   Arată baremul

   Răspuns: x = −1 sau x = 4

   b) 1 ∗ x = x² − 3x, pentru orice număr real x 2p x² − 3x − 4 = 0, de unde obținem x = −1 sau x = 4 3p

6. 2. c) Determinați numărul real x pentru care 2ˣ ∗ 2ˣ = 2³ˣ.

   −+din 5
   Arată baremul

   Răspuns: 2

   c) 2ˣ ∗ 2ˣ = 2²ˣ(2ˣ + 2ˣ − 4), pentru orice număr real x 2p 2²ˣ(2ˣ + 2ˣ − 4) = 2³ˣ ⇔ 2ˣ + 2ˣ − 4 = 2ˣ ⇔ 2ˣ = 4, de unde obținem x = 2 3p

Subiectul al III-lea

1. 1. a) Arătați că f′(x) = 3x(x − 6), x ∈ ℝ.

   −+din 5
   Arată baremul

   1. a) f′(x) = 3x² − 9·2x = - 3p = 3x² − 18x = 3x(x − 6), x ∈ ℝ - 2p

2. 1. b) Determinați intervalele de monotonie a funcției f.

   −+din 5
   Arată baremul

   Răspuns: Funcția f este crescătoare pe (−∞, 0] și pe [6, +∞) și descrescătoare pe [0, 6].

   b) f′(x) = 0 ⇒ x = 0 sau x = 6 - 2p Pentru orice x ∈ (−∞, 0], f′(x) ≥ 0 ⇒ f este crescătoare pe (−∞, 0], pentru orice x ∈ [0, 6], f′(x) ≤ 0 ⇒ f este descrescătoare pe [0, 6] și pentru orice x ∈ [6, +∞), f′(x) ≥ 0 ⇒ f este crescătoare pe [6, +∞) - 3p

3. 1. c) Arătați că lim(x → 1) [(f′(x) − f′(1))/(3f(x) − x f′(x))] = 2/3.

   −+din 5
   Arată baremul

   c) lim(x → 1) [(f′(x) − f′(1))/(3f(x) − x f′(x))] = lim(x → 1) [3(x² − 6x + 5)/(9(1 − x²))] = - 2p = lim(x → 1) [3(x − 1)(x − 5)/(−9(x − 1)(x + 1))] = lim(x → 1) [(x − 5)/(−3(x + 1))] = 2/3 - 3p

4. 2. a) Arătați că ∫₀² [f(x)/eˣ] dx = 0.

   −+din 5
   Arată baremul

   Reguli generale:

   2. a) ∫₀² [f(x)/eˣ] dx = ∫₀² (x − 1) dx = (x²/2 − x)|₀² = - 3p = 2 − 2 = 0 - 2p

5. 2. b) Arătați că ∫₀¹ f(x) dx = 2 − e.

   −+din 5
   Arată baremul

   Reguli generale:

   2. b) ∫₀¹ f(x) dx = ∫₀¹ (x − 1)eˣ dx = (x − 1)eˣ|₀¹ − eˣ|₀¹ = - 3p = 1 − (e − 1) = 2 − e - 2p

6. 2. c) Determinați numărul natural n, n > 2, pentru care ∫₂ⁿ x/[f(x)·f(−x)] dx = (1/2)ln(3/8).

   −+din 5
   Arată baremul

   Răspuns: 3

   Reguli generale:

   2. c) ∫₂ⁿ x/[f(x)·f(−x)] dx = ∫₂ⁿ x/(1 − x²) dx = −(1/2)∫₂ⁿ (x² − 1)′/(x² − 1) dx = −(1/2)ln|x² − 1| |₂ⁿ = (1/2)ln[3/(n² − 1)] - 3p (1/2)ln[3/(n² − 1)] = (1/2)ln(3/8) și, cum n este număr natural, n > 2, obținem n = 3 - 2p