Matematică tehnologic, sesiunea specială 2022

Corectează-te cu baremul

Ai rezolvat lucrarea pe foaie? Deschide baremul fiecărui item, trece-ți punctele și nota apare pe loc. Rămân salvate pe dispozitivul tău.

Subiectul I

1. 1. Arătați că (1,5−0,5)·3−2·0,5=2.

   −+din 5
   Arată baremul

   1. (1,5−0,5)·3−2·0,5=1·3−1= - 3p =3−1=2 - 2p

2. 2. Se consideră funcția f: ℝ → ℝ, f(x)=2x−3. Determinați numărul real a pentru care f(a)=9.

   −+din 5
   Arată baremul

   Răspuns: 6

   2. f(a)=2a−3 - 2p 2a−3=9, de unde obținem a=6 - 3p

3. 3. Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația log₄(3x−1)=log₄5.

   −+din 5
   Arată baremul

   Răspuns: 2

   3x−1=5 - 3p x=2, care convine - 2p

4. 4. Determinați probabilitatea ca, alegând un număr n din mulțimea A = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}, acesta să verifice…

   −+din 5
   Arată baremul

   Răspuns: 1/2

   4. Mulțimea A are 10 elemente, deci sunt 10 cazuri posibile 2p Numerele n din mulțimea A pentru care 5n ≤ 22 sunt 0, 1, 2, 3 și 4, deci sunt 5 cazuri favorabile, de unde obținem p = 5/10 = 1/2 3p

5. 5. În reperul cartezian xOy se consideră punctele A(−2,1) și B(6,3). Determinați coordonatele mijlocului segmentului AB.

   −+din 5
   Arată baremul

   Răspuns: M(2,2)

   x_M=(−2+6)/2, y_M=(1+3)/2, unde M este mijlocul segmentului AB - 3p x_M=2, y_M=2 - 2p

6. 6. Se consideră triunghiul ABC, dreptunghic în A, cu AC = 4 și BC = 5. Arătați că aria triunghiului ABC este egală cu 6.

   −+din 5
   Arată baremul

   6. AB = 3 2p 𝒜△ABC = (AB·AC)/2 = (3·4)/2 = 6 3p

Subiectul al II-lea

1. 1. a) Arătați că det A = 5.

   −+din 5
   Arată baremul

   1.a)

   det A = │ 2  1 │ = 2·3 − 1·1 =
           │ 1  3 │

   3p = 6 − 1 = 5 2p

2. 1. b) Arătați că 2A − B(2) = 2B(0).

   −+din 5
   Arată baremul

   b)

   2A − B(2) = ⎛ 4  2 ⎞ − ⎛ 0  2 ⎞ = ⎛ 4  0 ⎞ =
                ⎝ 2  6 ⎠   ⎝ 2  2 ⎠   ⎝ 0  4 ⎠

   3p

   = 2 ⎛ 2  0 ⎞ = 2B(0)
       ⎝ 0  2 ⎠

   2p

3. 1. c) Determinați numerele reale x pentru care det(B(x)·B(1) − (x + 1)A) = 1.

   −+din 5
   Arată baremul

   Răspuns: x = −1/2 sau x = 1

   c)

   B(1) = ⎛ 1  1 ⎞ ⇒ B(x)·B(1) − (x + 1)A =
          ⎝ 1  2 ⎠
   = ⎛   2    x + 2 ⎞ − ⎛ 2x + 2   x + 1 ⎞ = ⎛ −2x     1    ⎞
     ⎝ x + 2  x + 4 ⎠   ⎝  x + 1  3x + 3 ⎠   ⎝   1   1 − 2x ⎠

   și det(B(x)·B(1) − (x + 1)A) = 4x² − 2x − 1, pentru orice număr real x 3p 4x² − 2x − 1 = 1 ⇔ 2x² − x − 1 = 0, de unde obținem x = −1/2 sau x = 1 2p

4. 2. a) Arătați că 1 ∘ 1 = −4.

   −+din 5
   Arată baremul

   2.a) 1 ∘ 1 = 1 + 1 − 6·1·1 = 3p = 2 − 6 = −4 2p

5. 2. b) Arătați că e = 0 este elementul neutru al legii de compoziție „∘”.

   −+din 5
   Arată baremul

   b) 0 ∘ x = 0 + x − 6·0·x = 0 + x − 0 = x, pentru orice număr real x 2p x ∘ 0 = x + 0 − 6·x·0 = x + 0 − 0 = x, pentru orice număr real x, deci e = 0 este elementul neutru al legii de compoziție „∘” 3p

6. 2. c) Determinați numerele întregi m pentru care m ∘ (3 − m) < 3.

   −+din 5
   Arată baremul

   Răspuns: m ∈ {1, 2}

   c) m ∘ (3 − m) = 3 − 6m(3 − m), pentru orice număr întreg m 2p 3 − 6m(3 − m) < 3 ⇔ m(m − 3) < 0 și, cum m este număr întreg, obținem m = 1 și m = 2 3p

Subiectul al III-lea

1. 1. a) Arătați că f′(x)=6x²(1−2x), x∈ℝ.

   −+din 5
   Arată baremul

   f′(x)=2·3x²−3·4x³= - 3p =6x²−12x³=6x²(1−2x), x∈ℝ - 2p

2. 1. b) Arătați că lim_{x→+∞} (f(x)+3x⁴)/(x³+4)=2.

   −+din 5
   Arată baremul

   lim_{x→+∞} (f(x)+3x⁴)/(x³+4)=lim_{x→+∞} (2x³+2)/(x³+4)=lim_{x→+∞} [x³(2+2/x³)]/[x³(1+4/x³)]= - 2p =lim_{x→+∞} (2+2/x³)/(1+4/x³)=2 - 3p

3. 1. c) Demonstrați că −32≤2x³−3x⁴≤1/16, pentru orice x∈[0,2].

   −+din 5
   Arată baremul

   f′(x)=0 ⇒ x=0 sau x=1/2; f′(x)≥0, pentru orice x∈[0,1/2] ⇒ f este crescătoare pe [0,1/2] și f′(x)≤0, pentru orice x∈[1/2,2] ⇒ f este descrescătoare pe [1/2,2] - 2p f(0)=2, f(1/2)=33/16 și f(2)=−30, deci −30≤f(x)≤33/16, pentru orice x∈[0,2], de unde obținem −32≤2x³−3x⁴≤1/16, pentru orice x∈[0,2] - 3p

4. 2. a) Arătați că ∫₂³ (f(x)−3eˣ) dx=5.

   −+din 5
   Arată baremul

   ∫₂³ (f(x)−3eˣ) dx=∫₂³ 2x dx=[x²]₂³= - 3p =9−4=5 - 2p

5. 2. b) Arătați că ∫₀¹ x(f(x)−2x) dx=3.

   −+din 5
   Arată baremul

   ∫₀¹ x(f(x)−2x) dx=∫₀¹ 3xeˣ dx=[3xeˣ]₀¹−[3eˣ]₀¹= - 3p =3e−0−3e+3=3 - 2p

6. 2. c) Determinați numărul real a, știind că ∫₀¹ [(f′(x)−x)/(2f(x)−x²)] dx=a ln(e+1/2).

   −+din 5
   Arată baremul

   Răspuns: 1/2

   ∫₀¹ [(f′(x)−x)/(2f(x)−x²)] dx=(1/2)∫₀¹ [(2f(x)−x²)′/(2f(x)−x²)] dx=(1/2)[ln|2f(x)−x²|]₀¹=(1/2)ln(e+1/2) - 3p (1/2)ln(e+1/2)=a ln(e+1/2), de unde obținem a=1/2 - 2p