Matematică tehnologic, sesiunea august 2023

Corectează-te cu baremul

Ai rezolvat lucrarea pe foaie? Deschide baremul fiecărui item, trece-ți punctele și nota apare pe loc. Rămân salvate pe dispozitivul tău.

Subiectul I

1. 1. Arătați că 1,5 + 3·(1 − 0,5) = 3.

   −+din 5
   Arată baremul

   Reguli generale:

   1,5 + 3·(1 − 0,5) = 1,5 + 3·0,5 = - 3p = 1,5 + 1,5 = 3 - 2p

2. 2. Se consideră funcția f : ℝ → ℝ, f(x) = 5 − x. Arătați că f(0) − f(1) = 1.

   −+din 5
   Arată baremul

   f(0) = 5 - 2p f(1) = 4, deci f(0) − f(1) = 5 − 4 = 1 - 3p

3. 3. Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația √(3x − 8) = 1.

   −+din 5
   Arată baremul

   Răspuns: 3

   3x − 8 = 1 - 3p x = 3, care convine - 2p

4. 4. Determinați probabilitatea ca, alegând un număr n din mulțimea A = {1, 3, 5, 7, 9}, acesta să verifice inegalitatea…

   −+din 5
   Arată baremul

   Răspuns: 3/5

   Mulțimea A are 5 elemente, deci sunt 5 cazuri posibile - 2p Numerele n, din mulțimea A, pentru care 2n ≥ 9 sunt 5, 7 și 9, deci sunt 3 cazuri favorabile, de unde obținem p = 3/5 - 3p

5. 5. În reperul cartezian xOy se consideră punctele A(1,0), B(1,2) și C(4,1). Arătați că triunghiul ABC este isoscel.

   −+din 5
   Arată baremul

   SUBIECTUL I, 5. AC = √10 - 2p BC = √10, deci triunghiul ABC este isoscel - 3p

6. 6. Se consideră triunghiul ABC dreptunghic în A, cu aria egală cu 50 și AC = 5. Arătați că lungimea laturii AB este…

   −+din 5
   Arată baremul

   SUBIECTUL I, 6. 𝒜△ABC = (AB·AC)/2 ⇒ 50 = (AB·5)/2 - 3p AB = (2·50)/5 = 20 - 2p

Subiectul al II-lea

1. 1. a) Arătați că det(A(1)) = 2.

   −+din 5
   Arată baremul

   SUBIECTUL al II-lea, 1. a)

   A(1) = ⎛  1   1 ⎞
          ⎝ −1   1 ⎠
   ⇒ det(A(1)) = │  1   1 │ = 1·1 − 1·(−1) =
                 │ −1   1 │

   - 3p = 1 + 1 = 2 - 2p

2. 1. b) Arătați că 3A(2) + A(6) = 4A(3).

   −+din 5
   Arată baremul

   SUBIECTUL al II-lea, 1. b)

   3A(2) + A(6) = ⎛  6   3 ⎞ + ⎛  6    1 ⎞ = ⎛  12    4 ⎞ =
                  ⎝ −6   0 ⎠   ⎝ −6   −4 ⎠   ⎝ −12   −4 ⎠

   - 3p

   = 4⎛  3    1 ⎞ = 4A(3)
      ⎝ −3   −1 ⎠

   - 2p

3. 1. c) Determinați numerele reale x pentru care A(x)·A(x) = 2A(x).

   −+din 5
   Arată baremul

   Răspuns: x = 0 sau x = 3

   SUBIECTUL al II-lea, 1. c)

   A(x)·A(x) = ⎛ x² − x       2       ⎞
               ⎝  −2x     x² − 5x + 4 ⎠,

   pentru orice număr real x - 2p

   ⎛ x² − x       2       ⎞ = ⎛  2x     2    ⎞
   ⎝  −2x     x² − 5x + 4 ⎠   ⎝ −2x   4 − 2x ⎠,

   de unde obținem x = 0 sau x = 3 - 3p

4. 2. a) Arătați că 1∗1 = 1.

   −+din 5
   Arată baremul

   SUBIECTUL al II-lea, 2. a) 1∗1 = 1·1 + 2·1 − 1 − 1 = - 3p = 1 + 2 − 1 − 1 = 1 - 2p

5. 2. b) Determinați numărul real x pentru care x∗2 = x.

   −+din 5
   Arată baremul

   Răspuns: 1

   SUBIECTUL al II-lea, 2. b) x∗2 = 4x − 3, pentru orice număr real x - 3p 4x − 3 = x, de unde obținem x = 1 - 2p

6. 2. c) Arătați că (1 − x)∗x ≤ 2, pentru orice număr real x.

   −+din 5
   Arată baremul

   SUBIECTUL al II-lea, 2. c) (1 − x)∗x = −x² − 2x − 1 + 2 = - 3p = −(x + 1)² + 2 ≤ 2, pentru orice număr real x - 2p

Subiectul al III-lea

1. 1. a) Arătați că f′(x) = 2(eˣ − 1)/eˣ, x ∈ ℝ.

   −+din 5
   Arată baremul

   f′(x) = 2 − 2e⁻ˣ = 2 − 2/eˣ = - 3p = (2eˣ − 2)/eˣ = 2(eˣ − 1)/eˣ, x ∈ ℝ - 2p

2. 1. b) Determinați ecuația tangentei la graficul funcției f în punctul de abscisă x = 0, situat pe graficul funcției f.

   −+din 5
   Arată baremul

   Răspuns: y = 1

   f(0) = 1, f′(0) = 0 - 2p Ecuația tangentei este y − f(0) = f′(0)(x − 0), adică y = 1 - 3p

3. 1. c) Determinați numerele reale m și n, știind că dreapta d de ecuație y = mx + n este asimptota oblică spre +∞ la…

   −+din 5
   Arată baremul

   Răspuns: m = 2, n = −1

   lim[x → +∞] f(x)/x = lim[x → +∞] (2x + 2/eˣ − 1)/x = lim[x → +∞] (2 + 2/(xeˣ) − 1/x) = 2, deci m = 2 - 3p lim[x → +∞] (f(x) − 2x) = lim[x → +∞] (2/eˣ − 1) = −1, deci n = −1 - 2p

4. 2. a) Arătați că ∫₁² (f(x) − 3x) dx = 15.

   −+din 5
   Arată baremul

   Reguli generale:

   ∫₁² (f(x) − 3x) dx = ∫₁² 4x³ dx = [x⁴]₁² = - 3p = 16 − 1 = 15 - 2p

5. 2. b) Arătați că ∫₂⁵ 1/(f(x) − 4x³ + 3) dx = (1/3) ln 2.

   −+din 5
   Arată baremul

   Reguli generale:

   ∫₂⁵ 1/(f(x) − 4x³ + 3) dx = (1/3)∫₂⁵ 1/(x + 1) dx = [(1/3) ln(x + 1)]₂⁵ = - 3p = (1/3)(ln 6 − ln 3) = (1/3) ln 2 - 2p

6. 2. c) Demonstrați că volumul corpului obținut prin rotația în jurul axei Ox a graficului funcției g : [1,2] → ℝ, g(x) = (x³…

   −+din 5
   Arată baremul

   Reguli generale:

   g(x) = 5x² + 3, x ∈ [1,2], deci V = π∫₁² (25x⁴ + 30x² + 9) dx = π[5x⁵ + 10x³ + 9x]₁² = 234π - 3p f(3) = 4·3³ + 3·3 = 117, deci V = 2πf(3) - 2p