Matematică tehnologic, subiect de rezervă 2023, sesiunea august

Corectează-te cu baremul

Ai rezolvat lucrarea pe foaie? Deschide baremul fiecărui item, trece-ți punctele și nota apare pe loc. Rămân salvate pe dispozitivul tău.

Subiectul I

1. 1. Arătați că 4·(1 − 4/5) + 1/5 = 1.

   −+din 5
   Arată baremul

   4·(1 − 4/5) + 1/5 = 4·1/5 + 1/5 = - 3p = 4/5 + 1/5 = 1 - 2p

2. 2. Se consideră funcția f : ℝ → ℝ, f(x) = 3x + 2. Arătați că f(0)·f(1) = 10.

   −+din 5
   Arată baremul

   f(0) = 2 - 2p f(1) = 5 ⇒ f(0)·f(1) = 2·5 = 10 - 3p

3. 3. Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația 3^(2x−3) = 3^x.

   −+din 5
   Arată baremul

   Răspuns: 3

   2x − 3 = x - 3p x = 3 - 2p

4. 4. Determinați probabilitatea ca, alegând un număr n din mulțimea A = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}, acesta să verifice…

   −+din 5
   Arată baremul

   Răspuns: 1/2

   4. Mulțimea A are 10 elemente, deci sunt 10 cazuri posibile - 2p Numerele n din mulțimea A pentru care n² ≤ 23 sunt 0, 1, 2, 3 și 4, deci sunt 5 cazuri favorabile, de unde obținem p = 5/10 = 1/2 - 3p

5. 5. În reperul cartezian xOy se consideră punctele A(0,3) și B(4,0). Arătați că perimetrul triunghiului OAB este egal cu 12.

   −+din 5
   Arată baremul

   5. OA = 3, OB = 4 - 2p AB = 5, deci PΔOAB = 3 + 4 + 5 = 12 - 3p

6. 6. Arătați că (1 + 2cos60°)·sin30° = 1.

   −+din 5
   Arată baremul

   cos60° = 1/2, sin30° = 1/2 - 2p (1 + 2cos60°)·sin30° = (1 + 2·1/2)·1/2 = 2·1/2 = 1 - 3p

Subiectul al II-lea

1. 1. a) Arătați că det A = 3.

   −+din 5
   Arată baremul

   det A = det([[1, 0], [1, 3]]) = 1·3 − 0·1 = - 3p = 3 − 0 = 3 - 2p

2. 1. b) Arătați că B(8) − 3B(2) = 2A.

   −+din 5
   Arată baremul

   B(8) − 3B(2) = [[8, 0], [−1, 6]] − 3[[2, 0], [−1, 0]] = [[2, 0], [2, 6]] = - 3p = 2[[1, 0], [1, 3]] = 2A - 2p

3. 1. c) Determinați numărul real x pentru care A·B(x) = B(x).

   −+din 5
   Arată baremul

   Răspuns: 2

   A·B(x) = [[x, 0], [x−3, 3x−6]], pentru orice număr real x - 3p [[x, 0], [x−3, 3x−6]] = [[x, 0], [−1, x−2]], de unde obținem x = 2 - 2p

4. 2. a) Pentru m = 3, arătați că f(1) = 0.

   −+din 5
   Arată baremul

   f = X³ − 2X² − 2X + 3 ⇒ f(1) = 1³ − 2·1² − 2·1 + 3 = - 3p = 1 − 2 − 2 + 3 = 0 - 2p

5. 2. b) Determinați numărul real m pentru care x₁x₂ + x₂x₃ + x₃x₁ + x₁x₂x₃ = 1, unde x₁, x₂ și x₃ sunt rădăcinile polinomului f.

   −+din 5
   Arată baremul

   Răspuns: -3

   x₁x₂ + x₂x₃ + x₃x₁ = −2 și x₁x₂x₃ = −m ⇒ x₁x₂ + x₂x₃ + x₃x₁ + x₁x₂x₃ = −2 − m - 3p −2 − m = 1, de unde obținem m = −3 - 2p

6. 2. c) Determinați numărul real m pentru care polinomul f este divizibil cu polinomul X + 2.

   −+din 5
   Arată baremul

   Răspuns: 12

   f(−2) = m − 12, pentru orice număr real m - 2p m − 12 = 0, de unde obținem m = 12 - 3p

Subiectul al III-lea

1. 1. a) Arătați că f′(x) = 3(1 − x²)/(x² + 1)², x ∈ ℝ.

   −+din 5
   Arată baremul

   f′(x) = [3(x² + 1) − 3x·2x]/(x² + 1)² = - 3p = (3 − 3x²)/(x² + 1)² = 3(1 − x²)/(x² + 1)², x ∈ ℝ - 2p

2. 1. b) Determinați ecuația asimptotei orizontale spre +∞ la graficul funcției f.

   −+din 5
   Arată baremul

   Răspuns: y = 0

   lim(x → +∞) f(x) = lim(x → +∞) 3x/(x² + 1) = lim(x → +∞) 3/[x(1 + 1/x²)] = 0 - 3p Dreapta de ecuație y = 0 este asimptota orizontală spre +∞ la graficul funcției f - 2p

3. 1. c) Determinați intervalele de monotonie a funcției f.

   −+din 5
   Arată baremul

   Răspuns: Descrescătoare pe (−∞, −1] și pe [1, +∞); crescătoare pe [−1, 1].

   f′(x) = 0 ⇔ x = −1 sau x = 1 - 2p f′(x) ≤ 0, pentru orice x ∈ (−∞, −1] ⇒ f este descrescătoare pe (−∞, −1]; f′(x) ≥ 0, pentru orice x ∈ [−1, 1] ⇒ f este crescătoare pe [−1, 1]; f′(x) ≤ 0, pentru orice x ∈ [1, +∞) ⇒ f este descrescătoare pe [1, +∞) - 3p

4. 2. a) Arătați că ∫₀¹ (f(x) − 1) dx = 2/3.

   −+din 5
   Arată baremul

   ∫₀¹ (f(x) − 1) dx = ∫₀¹ 2x² dx = [2x³/3]₀¹ = - 3p = 2·1³/3 − 2·0³/3 = 2/3 - 2p

5. 2. b) Arătați că ∫₀² (4x/f(x)) dx = 2ln3.

   −+din 5
   Arată baremul

   ∫₀² (4x/f(x)) dx = ∫₀² (4x/(2x² + 1)) dx = ∫₀² ((2x² + 1)′/(2x² + 1)) dx = [ln(2x² + 1)]₀² = - 3p = ln9 − ln1 = 2ln3 - 2p

6. 2. c) Determinați numărul natural n, știind că ∫₁ᵉ f(1/x)·ln x dx = f(n) − 4/e.

   −+din 5
   Arată baremul

   Răspuns: 1

   ∫₁ᵉ f(1/x)·ln x dx = ∫₁ᵉ (2/x² + 1)·ln x dx = ∫₁ᵉ (−2/x + x)′·ln x dx = [(−2/x + x)·ln x]₁ᵉ − [2/x + x]₁ᵉ = 3 − 4/e - 3p 3 − 4/e = 2n² + 1 − 4/e și, cum n este număr natural, obținem n = 1 - 2p