Matematică tehnologic, sesiunea iunie-iulie 2025

Corectează-te cu baremul

Ai rezolvat lucrarea pe foaie? Deschide baremul fiecărui item, trece-ți punctele și nota apare pe loc. Rămân salvate pe dispozitivul tău.

Subiectul I

1. 1. Arătați că 1/10 + 3·(1/2 − 1/5) = 1.

   −+din 5
   Arată baremul

   1/10 + 3·(1/2 − 1/5) = 1/10 + 3·3/10 = - 3p = 1/10 + 9/10 = 1 - 2p

2. 2. Se consideră funcția f: ℝ → ℝ, f(x) = 6x − 3. Determinați numărul real a pentru care f(2) = a + f(0).

   −+din 5
   Arată baremul

   Răspuns: 12

   2. f(2) = 9, f(0) = −3 - 2p 9 = a − 3, de unde obținem a = 12 - 3p

3. 3. Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația 5^(2x) = 5^(3−x).

   −+din 5
   Arată baremul

   Răspuns: 1

   3. 2x = 3 − x - 3p x = 1 - 2p

4. 4. Determinați probabilitatea ca, alegând un număr n din mulțimea A = {0,1,2,3,4,5,6,7,8,9}, acesta să verifice…

   −+din 5
   Arată baremul

   Răspuns: 1/2

   4. Mulțimea A are 10 elemente, deci sunt 10 cazuri posibile - 2p În mulțimea A sunt 5 numere n pentru care 6n > 25, deci sunt 5 cazuri favorabile, de unde obținem p = 5/10 = 1/2 - 3p

5. 5. În reperul cartezian xOy se consideră punctele A(2,0), B(2,1) și C(6,4). Determinați numărul real a pentru care BC =…

   −+din 5
   Arată baremul

   Răspuns: 5

   BC = 5 - 2p AB = 1 și, cum BC = 5·AB, obținem a = 5 - 3p

6. 6. Se consideră triunghiul MNP, dreptunghic în M, cu MN = 4·MP și MN = 8. Arătați că aria triunghiului MNP este egală cu 8.

   −+din 5
   Arată baremul

   6. MP = 2 - 2p 𝒜△MNP = (MN·MP)/2 = (8·2)/2 = 8 - 3p

Subiectul al II-lea

1. 1. a) Arătați că det A = 1.

   −+din 5
   Arată baremul

   det A = det [5 2; 2 1] = 5·1 − 2·2 = - 3p = 5 − 4 = 1 - 2p

2. 1. b) Determinați numărul real x pentru care 3A − 5I₂ = xB.

   −+din 5
   Arată baremul

   Răspuns: 2

   3A − 5I₂ = [15 6; 6 3] − [5 0; 0 5] = [10 6; 6 −2] = 2[5 3; 3 −1] = 2B - 3p 2B = xB, de unde obținem x = 2 - 2p

3. 1. c) Determinați mulțimea numerelor reale x pentru care det(A·(B − A) + xI₂) ≤ 2.

   −+din 5
   Arată baremul

   Răspuns: [−3,1]

   A·(B − A) = [2 1; 1 0], A·(B − A) + xI₂ = [2 + x 1; 1 x], det(A·(B − A) + xI₂) = x² + 2x − 1, pentru orice număr real x - 3p x² + 2x − 1 ≤ 2, deci x² + 2x − 3 ≤ 0, de unde obținem x ∈ [−3,1] - 2p

4. 2. a) Pentru m = 1, arătați că f(1) = 0.

   −+din 5
   Arată baremul

   2.a) f = X³ − 3X² + X + 1 ⇒ f(1) = 1³ − 3·1² + 1 + 1 = - 3p = 1 − 3 + 1 + 1 = 0 - 2p

5. 2. b) Determinați numărul real m pentru care 2x₁ + 2x₂ + 2x₃ = 1 + x₁x₂x₃, unde x₁, x₂ și x₃ sunt rădăcinile polinomului f.

   −+din 5
   Arată baremul

   Răspuns: -5

   b) x₁ + x₂ + x₃ = 3, x₁x₂x₃ = −m, deci 2·3 = 1 − m - 3p m = −5 - 2p

6. 2. c) Știind că restul împărțirii polinomului f la polinomul X − 2 este −5, arătați că f este divizibil cu polinomul X² + 1.

   −+din 5
   Arată baremul

   c) f(2) = −2 + m, deci −2 + m = −5, de unde obținem m = −3 - 3p f = X³ − 3X² + X − 3 = (X − 3)(X² + 1), de unde rezultă că polinomul f este divizibil cu X² + 1 - 2p

Subiectul al III-lea

1. 1. a) Arătați că f′(x) = (3 − x)/eˣ, x ∈ ℝ.

   −+din 5
   Arată baremul

   f′(x) = (eˣ − (x − 2)eˣ)/(eˣ)² = - 3p = eˣ(1 − x + 2)/(eˣ)² = (3 − x)/eˣ, x ∈ ℝ - 2p

2. 1. b) Determinați ecuația tangentei la graficul funcției f în punctul de abscisă x = 0, situat pe graficul funcției f.

   −+din 5
   Arată baremul

   Răspuns: y = 3x − 2

   f(0) = −2, f′(0) = 3 - 2p Ecuația tangentei este y − f(0) = f′(0)(x − 0), adică y = 3x − 2 - 3p

3. 1. c) Demonstrați că −e^(x−1) ≤ x − 2 ≤ e^(x−3), pentru orice x ∈ [1,4].

   −+din 5
   Arată baremul

   f′(x) = 0 ⇔ x = 3; pentru orice x ∈ [1,3], f′(x) ≥ 0, deci f este crescătoare pe [1,3] și, pentru orice x ∈ [3,4], f′(x) ≤ 0, deci f este descrescătoare pe [3,4] - 2p f(1) = −1/e, f(3) = 1/e³ și f(4) = 2/e⁴, deci −1/e ≤ f(x) ≤ 1/e³, pentru orice x ∈ [1,4], de unde obținem −e^(x−1) ≤ x − 2 ≤ e^(x−3), pentru orice x ∈ [1,4] - 3p

4. 2. a) Arătați că ∫₀¹ (f(x) − x² − 8) dx = 2.

   −+din 5
   Arată baremul

   2.a) ∫₀¹ (f(x) − x² − 8) dx = ∫₀¹ 4x dx = [2x²]₀¹ = - 3p = 2 − 0 = 2 - 2p

5. 2. b) Arătați că ∫₀⁸ x/(f(x) − 4x) dx = ln 3.

   −+din 5
   Arată baremul

   b) ∫₀⁸ x/(f(x) − 4x) dx = ∫₀⁸ x/(x² + 8) dx = (1/2)∫₀⁸ (x² + 8)′/(x² + 8) dx = [(1/2)ln(x² + 8)]₀⁸ = - 3p = (ln 72)/2 − (ln 8)/2 = ln 3 - 2p

6. 2. c) Determinați a ∈ (0,+∞) pentru care ∫₀ᵃ 1/(f(x) − 4) dx = 1/4.

   −+din 5
   Arată baremul

   Răspuns: 2

   c) ∫₀ᵃ 1/(f(x) − 4) dx = ∫₀ᵃ 1/(x + 2)² dx = [−1/(x + 2)]₀ᵃ = −1/(a + 2) + 1/2, pentru orice a ∈ (0,+∞) - 3p −1/(a + 2) + 1/2 = 1/4, de unde obținem a = 2 - 2p