Matematică tehnologic, model de subiect 2025

Corectează-te cu baremul

Ai rezolvat lucrarea pe foaie? Deschide baremul fiecărui item, trece-ți punctele și nota apare pe loc. Rămân salvate pe dispozitivul tău.

Subiectul I

1. 1. Arătați că (3 + 3√2) · √2 − 3√2 + 4 = 10.

   −+din 5
   Arată baremul

   (3 + 3√2) · √2 − 3√2 + 4 = 3√2 + 3√2 · √2 − 3√2 + 4 = - 2p = 6 + 4 = 10 - 3p

2. 2. Se consideră funcția f : ℝ → ℝ, f(x) = 3x + 6. Arătați că f(0) + f(2) = f(4).

   −+din 5
   Arată baremul

   f(0) = 6, f(2) = 12 - 2p f(4) = 18, deci f(0) + f(2) = f(4) - 3p

3. 3. Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația √(2x − 1) − 3 = 0.

   −+din 5
   Arată baremul

   Răspuns: 5

   √(2x − 1) = 3, deci 2x − 1 = 9 - 3p x = 5, care convine - 2p

4. 4. Prețul unui obiect este de 400 de lei. Determinați prețul obiectului după o ieftinire cu 25%.

   −+din 5
   Arată baremul

   Răspuns: 300 de lei

   (25/100)·400 = 100 de lei - 2p Prețul obiectului după ieftinire este 400 − 100 = 300 de lei - 3p

5. 5. În reperul cartezian xOy se consideră punctele A(2,3), B(5,6) și C(6,2). Arătați că triunghiul ABC este isoscel.

   −+din 5
   Arată baremul

   AC = √(4² + 1²) = √17 - 2p BC = √(1² + 4²) = √17, deci AC = BC, de unde obținem că triunghiul ABC este isoscel - 3p

6. 6. Se consideră triunghiul ABC, dreptunghic în A, cu AC = 4 și măsura unghiului C egală cu 60°. Arătați că BC = 8.

   −+din 5
   Arată baremul

   cos C = 1/2 ⇒ AC/BC = 1/2 - 3p 4/BC = 1/2, de unde obținem BC = 8 - 2p

Subiectul al II-lea

1. 1. a) Arătați că det(A(3)) = 1.

   −+din 5
   Arată baremul

   A(3) = ⎛1  1⎞
          ⎝2  3⎠

   ⇒ det(A(3)) = |1 1; 2 3| = 1·3 − 1·2 = - 3p = 3 − 2 = 1 - 2p

2. 1. b) Arătați că A(2) + A(6) = 2A(4).

   −+din 5
   Arată baremul

   A(2) + A(6) = ⎛1  1⎞ + ⎛1  1⎞ = ⎛2  2⎞ =
                 ⎝2  2⎠   ⎝2  6⎠   ⎝4  8⎠

   - 3p

   = 2⎛1  1⎞ = 2A(4)
      ⎝2  4⎠

   - 2p

3. 1. c) Determinați numărul real x pentru care A(x)·A(x) = 3I₂.

   −+din 5
   Arată baremul

   Răspuns: -1

   A(x)·A(x) = ⎛3       1 + x ⎞
               ⎝2 + 2x  2 + x²⎠,

   pentru orice număr real x - 3p

   ⎛3       1 + x ⎞ = ⎛3  0⎞
   ⎝2 + 2x  2 + x²⎠   ⎝0  3⎠,

   de unde obținem x = −1 - 2p

4. 2. a) Arătați că 1 ∘ (−3) = 4.

   −+din 5
   Arată baremul

   1 ∘ (−3) = 1 − 3 + 6 = - 3p = 4 - 2p

5. 2. b) Determinați numărul real x pentru care x ∘ 2 = 3x.

   −+din 5
   Arată baremul

   Răspuns: 4

   x ∘ 2 = x + 2 + 6 = x + 8, pentru orice număr real x - 3p x + 8 = 3x, de unde obținem x = 4 - 2p

6. 2. c) Arătați că (x² + 2) ∘ (1 − 6x) ≥ 0, pentru orice număr real x.

   −+din 5
   Arată baremul

   (x² + 2) ∘ (1 − 6x) = x² − 6x + 9, pentru orice număr real x - 2p x² − 6x + 9 = (x − 3)² ≥ 0, pentru orice număr real x - 3p

Subiectul al III-lea

1. 1. a) Arătați că f′(x) = −3/(x − 1)², x ∈ (1, +∞).

   −+din 5
   Arată baremul

   f′(x) = ((5x − 2)′(x − 1) − (5x − 2)(x − 1)′)/(x − 1)² = - 3p = (5(x − 1) − (5x − 2))/(x − 1)² = −3/(x − 1)², x ∈ (1, +∞) - 2p

2. 1. b) Determinați ecuația tangentei la graficul funcției f în punctul de abscisă x = 2, situat pe graficul funcției f.

   −+din 5
   Arată baremul

   Răspuns: y = −3x + 14

   f(2) = 8, f′(2) = −3 - 2p Ecuația tangentei este y − f(2) = f′(2)(x − 2), adică y = −3x + 14 - 3p

3. 1. c) Demonstrați că funcția f este convexă.

   −+din 5
   Arată baremul

   f″(x) = 6/(x − 1)³, pentru orice x ∈ (1, +∞) - 3p f″(x) ≥ 0, pentru orice x ∈ (1, +∞), deci funcția f este convexă - 2p

4. 2. a) Arătați că ∫₀¹ (f(x) − 3) dx = 1.

   −+din 5
   Arată baremul

   ∫₀¹ (f(x) − 3) dx = ∫₀¹ 2x dx = [x²]₀¹ = - 3p = 1 − 0 = 1 - 2p

5. 2. b) Arătați că ∫₀¹ eˣf(x) dx = 3e − 1.

   −+din 5
   Arată baremul

   ∫₀¹ eˣf(x) dx = ∫₀¹ eˣ(2x + 3) dx = [eˣ(2x + 3)]₀¹ − ∫₀¹ 2eˣ dx = 5e − 3 − [2eˣ]₀¹ = - 3p = 5e − 3 − 2e + 2 = 3e − 1 - 2p

6. 2. c) Determinați a ∈ (0, +∞) pentru care ∫₁² f(x)/(x(x + 3)) dx = ln(a/2).

   −+din 5
   Arată baremul

   Răspuns: 5

   ∫₁² f(x)/(x(x + 3)) dx = ∫₁² (2x + 3)/(x² + 3x) dx = ∫₁² (x² + 3x)′/(x² + 3x) dx = [ln(x² + 3x)]₁² = ln(5/2) - 3p ln(5/2) = ln(a/2), de unde obținem a = 5, care convine - 2p