Matematică tehnologic, subiect de rezervă 2026, sesiunea iunie-iulie

Corectează-te cu baremul

Ai rezolvat lucrarea pe foaie? Deschide baremul fiecărui item, trece-ți punctele și nota apare pe loc. Rămân salvate pe dispozitivul tău.

Subiectul I

1. 1. Arătați că 3·(2,9−1,7)+0,4 = 4.

   −+din 5
   Arată baremul

   1. 3·(2,9−1,7)+0,4 = 3·1,2+0,4 = - 2p = 3,6+0,4 = 4 - 3p

2. 2. Se consideră funcția f : ℝ → ℝ, f(x) = 2x − 1. Determinați numărul real m pentru care f(0) + f(m) = 0.

   −+din 5
   Arată baremul

   Răspuns: 1

   f(0) = −1, f(m) = 2m − 1, pentru orice număr real m - 3p −1 + 2m − 1 = 0, de unde obținem m = 1 - 2p

3. 3. Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația √(3x + 6) = 6.

   −+din 5
   Arată baremul

   Răspuns: 10

   3. 3x + 6 = 36 - 3p x = 10, care convine - 2p

4. 4. Prețul unui obiect este de 500 de lei. Determinați prețul obiectului după o scumpire cu 30%.

   −+din 5
   Arată baremul

   Răspuns: 650 de lei

   4. (30/100)·500 = 150 - 3p Prețul obiectului după scumpire este 500 + 150 = 650 de lei - 2p

5. 5. În reperul cartezian xOy se consideră punctele M(0,4), N(2,8) și P(4,0). Determinați distanța dintre mijlocul…

   −+din 5
   Arată baremul

   Răspuns: 6

   5. Mijlocul segmentului MP este punctul Q(2,2) - 2p QN = 6 - 3p

6. 6. Se consideră triunghiul ABC, dreptunghic în A, cu BC = 10 și 2BC = 5AB. Arătați că AC = 2√21.

   −+din 5
   Arată baremul

   AB = 4 - 3p AC² = 10² − 4² = 84, de unde obținem AC = 2√21 - 2p

Subiectul al II-lea

1. 1. a) Arătați că det(A(1)) = 2.

   −+din 5
   Arată baremul

   1. a)

   A(1) = ⎛1  0⎞
          ⎝2  2⎠ ⇒ det(A(1)) = │1  0│
                               │2  2│ = 1·2−0·2 = - 3p

   = 2−0 = 2 - 2p

2. 1. b) Arătați că 2A(1)+A(7) = 3A(3).

   −+din 5
   Arată baremul

   1. b)

   A(7) = ⎛7  6⎞
          ⎝8  8⎠,
   2A(1)+A(7) = ⎛ 9   6⎞
                 ⎝12  12⎠ = - 3p
   = 3⎛3  2⎞
      ⎝4  4⎠ = 3A(3) - 2p

3. 1. c) Determinați numerele reale x și y pentru care (A(x)−(2x+1)I₂)·A(2) = yI₂.

   −+din 5
   Arată baremul

   Răspuns: x = 2 și y = −3

   1. c)

   A(x)−(2x+1)I₂ = ⎛−x−1   x−1⎞
                    ⎝ x+1   −x ⎠,
   (A(x)−(2x+1)I₂)·A(2) = ⎛ x−5    2x−4⎞
                          ⎝−x+2   −2x+1⎠,

   pentru orice număr real x - 3p

   ⎛ x−5    2x−4⎞   ⎛y  0⎞
   ⎝−x+2   −2x+1⎠ = ⎝0  y⎠,

   de unde obținem x = 2 și y = −3 - 2p

4. 2. a) Arătați că 2 ∗ 3 = 0.

   −+din 5
   Arată baremul

   2 ∗ 3 = 2 + 3 − 2·3 + 1 = - 3p = 2 + 3 − 6 + 1 = 0 - 2p

5. 2. b) Determinați numărul real x pentru care x ∗ 5 = 10.

   −+din 5
   Arată baremul

   Răspuns: -1

   x ∗ 5 = −4x + 6, pentru orice număr real x - 3p −4x + 6 = 10, de unde obținem x = −1 - 2p

6. 2. c) Determinați numerele naturale nenule n pentru care numărul N = (3/n) ∗ (3 + n) este natural.

   −+din 5
   Arată baremul

   Răspuns: n ∈ {2, 3, 6}

   N = (3/n) ∗ (3 + n) = −6/n + n + 1, pentru orice număr natural nenul n - 2p N și n sunt numere naturale, de unde obținem n = 2, n = 3 și n = 6 - 3p

Subiectul al III-lea

1. 1. a) Arătați că f′(x) = 3(x − 1)/x², x ∈ (0, +∞).

   −+din 5
   Arată baremul

   f′(x) = 3(−1/x²) + 3·1/x = - 3p = (3x − 3)/x² = 3(x − 1)/x², x ∈ (0, +∞) - 2p

2. 1. b) Arătați că lim_{x→+∞} f(x)/x = 0.

   −+din 5
   Arată baremul

   lim_{x→+∞} f(x)/x = lim_{x→+∞} f′(x)/x′ = lim_{x→+∞} 3(x − 1)/x² = - 3p = lim_{x→+∞} 3(1/x − 1/x²) = 0 - 2p

3. 1. c) Demonstrați că ln x ≥ 1 − 1/x, pentru orice x ∈ (0, +∞).

   −+din 5
   Arată baremul

   f′(x) = 0 ⇔ x = 1; pentru orice x ∈ (0, 1], f′(x) ≤ 0, deci f este descrescătoare pe (0, 1] și, pentru orice x ∈ [1, +∞), f′(x) ≥ 0, deci f este crescătoare pe [1, +∞) - 2p f(x) ≥ f(1), pentru orice x ∈ (0, +∞) și, cum f(1) = 2, obținem f(x) ≥ 2, deci ln x ≥ 1 − 1/x, pentru orice x ∈ (0, +∞) - 3p

4. 2. a) Arătați că ∫₁²(f(x)−3+6√x) dx = 6.

   −+din 5
   Arată baremul

   2. a) ∫₁²(f(x)−3+6√x) dx = ∫₁²4x dx = [2x²]₁² = - 3p = 8−2 = 6 - 2p

5. 2. b) Arătați că ∫₁⁴((4x−f(x))/√x) dx = 12.

   −+din 5
   Arată baremul

   2. b) ∫₁⁴((4x−f(x))/√x) dx = ∫₁⁴((−3+6√x)/√x) dx = ∫₁⁴(−3/√x+6) dx = [−6√x]₁⁴+[6x]₁⁴ = - 3p = −6+18 = 12 - 2p

6. 2. c) Demonstrați că orice primitivă G : (0,+∞) → ℝ a funcției g : (0,+∞) → ℝ, g(x) = f(x)·√x este convexă.

   −+din 5
   Arată baremul

   2. c) G′(x) = g(x), x ∈ (0,+∞); G″(x) = g′(x) = 4√x+(4x+3)·1/(2√x)−6 = - 3p = (12x−12√x+3)/(2√x) = 3(2√x−1)²/(2√x) ≥ 0, pentru orice x ∈ (0,+∞), de unde rezultă că G este convexă - 2p