Matematică, model de subiect 2022

Corectează-te cu baremul

Ai rezolvat lucrarea pe foaie? Deschide baremul fiecărui item, trece-ți punctele și nota apare pe loc. Rămân salvate pe dispozitivul tău.

Subiectul I

1. 1. Restul împărțirii numărului 24 la 10 este egal cu: a) 1 b) 2 c) 4 d) 6

   −+din 5
   Arată baremul

   Răspuns: c

   SUBIECTUL I 1. c) 5p

2. 2. Numărul care reprezintă 15% din 200 este egal cu: a) 15 b) 30 c) 150 d) 200

   −+din 5
   Arată baremul

   Răspuns: b

   SUBIECTUL I 2. b) 5p

3. 3. Suma numerelor −5, −4, 4 și 6 este egală cu: a) 0 b) 1 c) 11 d) 19

   −+din 5
   Arată baremul

   Răspuns: b

   SUBIECTUL I 3. b) 5p

4. 4. Dintre numerele 9/2; 4,(5); 81/20 și 4,55, cel mai mare este: a) 4,55 b) 81/20 c) 4,(5) d) 9/2

   −+din 5
   Arată baremul

   Răspuns: c

   SUBIECTUL I 4. c) 5p

5. 5. Patru elevi, Andreea, Mihaela, Radu și Vlad, calculează media geometrică a numerelor reale a = 3 + 2√2 și b = 3 − 2√2…

   −+din 5
   Arată baremul

   Răspuns: a

   SUBIECTUL I 5. a) 5p

6. 6. Un spectacol a început la ora 21:45 și s-a finalizat la ora 23:15, în aceeași zi. Marian afirmă că: „Spectacolul are…

   −+din 5
   Arată baremul

   Răspuns: a

   SUBIECTUL I 6. a) 5p

Subiectul al II-lea

1. 1. În figura alăturată, punctele A, B, C, D și E sunt coliniare, în această ordine, astfel încât AB = 1 cm, BC = 2 cm,…

   −+din 5
   Arată baremul

   Răspuns: c

   SUBIECTUL al II-lea 1. c) 5p

2. 2. În figura alăturată, unghiurile MON și POQ sunt opuse la vârf, iar semidreptele OA și OB sunt bisectoarele lor.…

   −+din 5
   Arată baremul

   Răspuns: d

   SUBIECTUL al II-lea 2. d) 5p

3. 3. În figura alăturată este reprezentat triunghiul isoscel ABC de bază BC. Unghiul A are măsura de 30° și AB = 4 cm.…

   −+din 5
   Arată baremul

   Răspuns: b

   SUBIECTUL al II-lea 3. b) 5p

4. 4. În figura alăturată este reprezentat rombul ABCD cu măsura unghiului BAD de 60° și lungimea segmentului BD egală cu 4…

   −+din 5
   Arată baremul

   Răspuns: d

   SUBIECTUL al II-lea 4. d) 5p

5. 5. Punctele A, B și C sunt vârfurile unui triunghi isoscel de bază BC, înscris în cercul de centru O, iar măsura…

   −+din 5
   Arată baremul

   Răspuns: b

   SUBIECTUL al II-lea 5. b) 5p

6. 6. Volumul paralelipipedului dreptunghic ABCDA′B′C′D′, cu AB = 5 dm, BC = 6 dm și înălțimea AA′ = 4 dm, este egal cu: a)…

   −+din 5
   Arată baremul

   Răspuns: c

   SUBIECTUL al II-lea 6. c) 5p

Subiectul al III-lea

1. 1. a) Este posibil ca Radu să aibă în pungă 61 de bomboane? Justifică răspunsul dat.

   −+din 2
   Arată baremul

   SUBIECTUL al III-lea

   1. a) 61 = 21 · 2 + 19 - 1p Cum 19 ≠ 5, deducem că nu este posibil ca Radu să aibă în pungă 61 de bomboane - 1p

2. 1. b) Determină numărul bomboanelor din pungă, știind că este cel mai mic număr natural de trei cifre care îndeplinește…

   −+din 3
   Arată baremul

   Răspuns: 131

   SUBIECTUL al III-lea

   1. b) n = 7 · c₁ + 5, n = 14 · c₂ + 5, n = 21 · c₃ + 5, unde n este numărul bomboanelor din pungă și c₁, c₂ și c₃ sunt numere naturale - 1p Cel mai mic multiplu comun al numerelor 7, 14 și 21 este 42, deci n − 5 este multiplu de 42 - 1p n = 131 - 1p

3. 2. a) Arată că E(x) = (x + 1)², pentru orice număr real x.

   −+din 2
   Arată baremul

   SUBIECTUL al III-lea

   2. a) x² + 2x + 1 = (x + 1)² - 1p E(x) = (x + 1)² − (x + 1)² + (x + 1)² = (x + 1)², pentru orice număr real x - 1p

4. 2. b) Arată că E(x) > x, pentru orice număr real x.

   −+din 3
   Arată baremul

   SUBIECTUL al III-lea

   2. b) E(x) − x = (x + 1)² − x = x² + x + 1 = - 1p = (x + 1/2)² + 3/4 - 1p (x + 1/2)² ≥ 0, deci E(x) − x > 0, pentru orice număr real x - 1p

5. 3. a) Arată că f(−1) · f(2019) = 2021.

   −+din 2
   Arată baremul

   SUBIECTUL al III-lea

   3. a) f(−1) = 1 - 1p f(2019) = 2021 ⇒ f(−1) · f(2019) = 2021 - 1p

6. 3. b) Determină aria triunghiului delimitat de reprezentarea grafică a funcției f și de axele Ox și Oy ale sistemului de…

   −+din 3
   Arată baremul

   Răspuns: 2

   SUBIECTUL al III-lea

   3. b) A(−2, 0) este punctul de intersecție a reprezentării grafice a funcției f cu axa Ox - 1p B(0, 2) este punctul de intersecție a reprezentării grafice a funcției f cu axa Oy - 1p 𝒜△AOB = (OA · OB)/2 = 2 - 1p

7. 4. a) Demonstrează că BN = 2 · MN.

   −+din 2
   Arată baremul

   SUBIECTUL al III-lea

   4. a) ABCD paralelogram ⇒ AB ∥ CD - 1p △ABN ∼ △CMN, BN/MN = AB/CM, deci BN = 2 · MN - 1p

8. 4. b) Determină distanța de la punctul N la dreapta AB.

   −+din 3
   Arată baremul

   Răspuns: 6 cm

   SUBIECTUL al III-lea

   4. b) Cum 12² + 9² = 15², obținem că triunghiul ABC este dreptunghic în B - 1p AN/CN = AB/CM = 2 ⇒ AN/AC = 2/3 - 1p NT ⟂ AB, unde T ∈ AB ⇒ NT ∥ BC, deci △ATN ∼ △ABC, de unde obținem NT/BC = 2/3, deci distanța de la N la AB este NT = 6 cm - 1p

9. 5. a) Arată că MN = 5√3 cm.

   −+din 2
   Arată baremul

   SUBIECTUL al III-lea

   5. a) AM = MC ⇒ ∠AMN = 2 · ∠ACM = 30° - 1p cos(∠AMN) = MN/AM ⇒ MN = (BC/2) · cos 30° = 5√3 cm - 1p

10. 5. b) Știind că punctul P este simetricul punctului A față de dreapta BC și că punctul Q este simetricul punctului M față…

    −+din 3
    Arată baremul

    Răspuns: 50√3 cm²

    SUBIECTUL al III-lea

    5. b) AMPQ este paralelogram și AP ⊥ MQ, deci AMPQ este romb - 1p AN = AM/2 = BC/4 = 5 cm - 1p 𝒜_AMPQ = (AP · MQ)/2 = (2AN · 2MN)/2 = 50√3 cm² - 1p

11. 6. a) Arată că volumul piramidei VABCD este egal cu (256√3)/3 cm³.

    −+din 2
    Arată baremul

    SUBIECTUL al III-lea

    6. a) V = (1/3)𝒜_ABCD · VO = (1/3) · AB² · VO = - 1p = (256√3)/3 cm³ - 1p

12. 6. b) Demonstrează că măsura unghiului planelor (VAD) și (VBC) este egală cu 60°.

    −+din 3
    Arată baremul

    SUBIECTUL al III-lea

    6. b) Construim, prin V, dreapta d, d ∥ AD ∥ BC, de unde (VAD) ∩ (VBC) = d - 1p VS ⊥ AD, unde S ∈ AD, VR ⊥ BC, unde R ∈ BC, deci VS ⊥ d și VR ⊥ d, de unde ∠((VAD), (VBC)) = ∠(VS, VR) - 1p VR = VS = RS = 8 cm, deci triunghiul VRS este echilateral, de unde ∠SVR = 60°, deci ∠((VAD), (VBC)) = 60° - 1p