Matematică mate-info, sesiunea august 2023

Corectează-te cu baremul

Ai rezolvat lucrarea pe foaie? Deschide baremul fiecărui item, trece-ți punctele și nota apare pe loc. Rămân salvate pe dispozitivul tău.

Subiectul I

1. 1. Determinați termenul a₆ al progresiei aritmetice (aₙ)ₙ≥₁, cu a₁ = 3 și a₅ = 23.

   −+din 5
   Arată baremul

   Răspuns: 28

   4r = a₅ − a₁ = 20, deci r = 5, unde r este rația progresiei aritmetice - 3p a₆ = a₅ + r ⇒ a₆ = 28 - 2p

2. 2. Se consideră funcția f : ℝ → ℝ, f(x) = x² − 6x + 8. Determinați numărul real m, știind că punctul A(m, −1) aparține…

   −+din 5
   Arată baremul

   Răspuns: 3

   2. f(m) = −1, de unde obținem m² − 6m + 9 = 0 - 3p m = 3 - 2p

3. 3. Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația 3^(2x − 1) = 9 · 3^(x + 1).

   −+din 5
   Arată baremul

   Răspuns: 4

   3. 3^(2x − 1) = 3^(x + 3), de unde obținem 2x − 1 = x + 3 - 3p x = 4 - 2p

4. 4. Se consideră mulțimea A = {1, 2, 3, 4, 5}. Determinați numărul submulțimilor nevide ale mulțimii A, care au cel mult…

   −+din 5
   Arată baremul

   Răspuns: 15

   4. C₅¹ + C₅² = - 3p = 5 + 10 = 15 - 2p

5. 5. În reperul cartezian xOy se consideră punctele A(3, 1) și B(4, 4). Determinați coordonatele punctului C, știind că…

   −+din 5
   Arată baremul

   Răspuns: C(7, 5)

   5. OA⃗ = 3i⃗ + j⃗, BC⃗ = (x_C − 4)i⃗ + (y_C − 4)j⃗ - 3p x_C = 7 și y_C = 5 - 2p

6. 6. Se consideră triunghiul ABC, dreptunghic în A, cu AB = 6 și înălțimea AD = 3. Arătați că raza cercului circumscris…

   −+din 5
   Arată baremul

   Triunghiul ADB este dreptunghic în D, deci BD = 3√3 - 2p BC = 4√3, deci R = 2√3 - 3p

Subiectul al II-lea

1. 1. a) Arătați că det(A(1)) = 0.

   −+din 5
   Arată baremul

   A(1) = ⎛ 1   1   1 ⎞
          ⎜ 1   1   1 ⎟
          ⎝−1  −1  −1 ⎠

   ⇒ det(A(1)) =

   │ 1   1   1 │
   │ 1   1   1 │
   │−1  −1  −1 │ = - 2p

   = −1 − 1 − 1 + 1 + 1 + 1 = 0 - 3p

2. 1. b) Arătați că A(x)·A(y) − A(xy) = (x + y − 2)A(0), pentru orice numere reale x și y.

   −+din 5
   Arată baremul

   A(x)·A(y) − A(xy) =

   ⎛     0       0       0     ⎞
   ⎜  y + x − 2  0   y + x − 2 ⎟
   ⎝ −y − x + 2  0  −y − x + 2 ⎠ = - 3p
   = (y + x − 2) ⎛ 0   0   0 ⎞
                 ⎜ 1   0   1 ⎟
                 ⎝−1   0  −1 ⎠

   = (x + y − 2)A(0), pentru orice numere reale x și y - 2p

3. 1. c) Determinați numerele reale x și y pentru care A(−1)·A(3)·A(x) = A(y).

   −+din 5
   Arată baremul

   Răspuns: x = 5 și y = −15

   A(−1)·A(3)·A(x) = A(−3)·A(x) = A(−3x) + (x − 5)A(0), pentru orice număr real x - 2p A(−3x) + (x − 5)A(0) = A(y), de unde obținem x = 5 și y = −15 - 3p

4. 2. a) Pentru m = 2, arătați că f(1) = 3.

   −+din 5
   Arată baremul

   2.a) f = X⁴ + 2X³ − 8X² + 6X + 2 ⇒ f(1) = 1⁴ + 2 · 1³ − 8 · 1² + 6 · 1 + 2 = - 3p = 1 + 2 − 8 + 6 + 2 = 3 - 2p

5. 2. b) Pentru m = 0, determinați rădăcinile polinomului f.

   −+din 5
   Arată baremul

   Răspuns: x₁ = x₂ = 0, x₃ = −4, x₄ = 2

   2.b) f = X⁴ + 2X³ − 8X² = X²(X² + 2X − 8) - 2p Rădăcinile polinomului f sunt x₁ = x₂ = 0, x₃ = −4, x₄ = 2 - 3p

6. 2. c) Determinați numărul rațional m pentru care polinomul f are rădăcina x₁ = 1 + √3.

   −+din 5
   Arată baremul

   Răspuns: -4

   2.c) Polinomul f are coeficienți raționali, deci x₂ = 1 − √3 este rădăcină a polinomului f - 2p x₁ + x₂ + x₃ + x₄ = −2 și x₁x₂ + x₁x₃ + x₁x₄ + x₂x₃ + x₂x₄ + x₃x₄ = −8, unde x₃ și x₄ sunt celelalte rădăcini ale polinomului f, de unde obținem x₃ + x₄ = −4 și x₃x₄ = 2 și, cum x₁x₂x₃x₄ = m, rezultă m = −4, care convine - 3p

Subiectul al III-lea

1. 1. a) Arătați că f′(x) = 3eˣ(x² − x)/(x² + x + 1)², x ∈ ℝ.

   −+din 5
   Arată baremul

   1.a) f′(x) = [3eˣ(x² + x + 1) − 3eˣ(2x + 1)]/(x² + x + 1)² = - 3p = 3eˣ(x² + x + 1 − 2x − 1)/(x² + x + 1)² = 3eˣ(x² − x)/(x² + x + 1)², x ∈ ℝ - 2p

2. 1. b) Arătați că lim_{x→+∞} [f(2x)/f(x)] = +∞.

   −+din 5
   Arată baremul

   1.b) lim_{x→+∞} [f(2x)/f(x)] = lim_{x→+∞} [3e²ˣ/(4x² + 2x + 1) · (x² + x + 1)/(3eˣ)] = - 2p = lim_{x→+∞} [eˣ · (x² + x + 1)/(4x² + 2x + 1)] = lim_{x→+∞} [eˣ · (1 + 1/x + 1/x²)/(4 + 2/x + 1/x²)] = +∞ - 3p

3. 1. c) Demonstrați că ecuația f(x) = m are exact trei soluții, pentru orice m ∈ (e, 3).

   −+din 5
   Arată baremul

   1.c) f′(x) = 0 ⇔ x = 0 sau x = 1; pentru orice x ∈ (−∞, 0), f′(x) > 0 ⇒ f este strict crescătoare pe (−∞, 0); pentru orice x ∈ (0, 1), f′(x) < 0 ⇒ f este strict descrescătoare pe (0, 1); pentru orice x ∈ (1, +∞), f′(x) > 0 ⇒ f este strict crescătoare pe (1, +∞) - 2p lim_{x→−∞} f(x) = 0, f(0) = 3, f(1) = e, lim_{x→+∞} f(x) = +∞ și, cum f este continuă, obținem că ecuația f(x) = m are exact trei soluții, pentru orice m ∈ (e, 3) - 3p

4. 2. a) Arătați că ∫₁² (f(x) − ln(x + 1)) dx = 9.

   −+din 5
   Arată baremul

   ∫₁² (f(x) − ln(x + 1)) dx = ∫₁² 6x dx = [3x²]₁² = - 3p = 12 − 3 = 9 - 2p

5. 2. b) Arătați că ∫₀^(e−1) ((f(x) − 6x)/(x + 1)) dx = 1/2.

   −+din 5
   Arată baremul

   ∫₀^(e−1) ((f(x) − 6x)/(x + 1)) dx = ∫₀^(e−1) ln(x + 1)(ln(x + 1))′ dx = [ln²(x + 1)/2]₀^(e−1) = - 3p = (ln² e)/2 − (ln² 1)/2 = 1/2 - 2p

6. 2. c) Determinați numărul real a, știind că aria suprafeței plane delimitate de graficul funcției g : ℝ → ℝ, g(x) = f(x²),…

   −+din 5
   Arată baremul

   Răspuns: 1/2

   g(x) = 6x² + ln(x² + 1) ⇒ A = ∫₀¹ |g(x)| dx = [2x³]₀¹ + ∫₀¹ x′ln(x² + 1) dx = 2 + ln 2 − ∫₀¹ (2x²/(x² + 1)) dx = - 3p = 2 + ln 2 − [2x]₀¹ + [2arctg x]₀¹ = π/2 + ln 2, deci π/2 + ln 2 = aπ + ln 2, de unde obținem a = 1/2 - 2p