Matematică pedagogic, model de subiect 2021

Corectează-te cu baremul

Ai rezolvat lucrarea pe foaie? Deschide baremul fiecărui item, trece-ți punctele și nota apare pe loc. Rămân salvate pe dispozitivul tău.

Subiectul I

1. 1. Arătați că √3·(1/(√3 − 1) + 1/(√3 + 1)) = 3.

   −+din 5
   Arată baremul

   SUBIECTUL I, 1. √3·(1/(√3 − 1) + 1/(√3 + 1)) = √3·((√3 + 1 + √3 − 1)/2) = - 3p = √3·√3 = 3 - 2p

2. 2. Se consideră funcția f : ℝ → ℝ, f(x) = x − 2. Determinați numerele naturale n pentru care f(n) < 0.

   −+din 5
   Arată baremul

   Răspuns: n = 0 sau n = 1

   SUBIECTUL I, 2. f(n) = n − 2, deci n − 2 < 0 - 2p n < 2 și, cum n este număr natural, obținem n = 0 sau n = 1 - 3p

3. 3. Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația log₃(x² − 1) = 1.

   −+din 5
   Arată baremul

   Răspuns: x ∈ {−2, 2}

   3. x² − 1 = 3 ⇒ x² − 4 = 0 - 3p x = −2 sau x = 2, care convin - 2p

4. 4. După o scumpire cu 20%, prețul unui obiect este 660 de lei. Determinați prețul obiectului înainte de scumpire.

   −+din 5
   Arată baremul

   Răspuns: 550 de lei

   SUBIECTUL I, 4. x + (20/100)·x = 660, unde x este prețul obiectului înainte de scumpire - 3p x = 550 de lei - 2p

5. 5. Determinați ecuația dreptei care trece prin punctul M(2, 0) și este paralelă cu dreapta d de ecuație y = 3x.

   −+din 5
   Arată baremul

   Răspuns: y = 3x − 6

   5. Panta unei drepte paralele cu dreapta d este egală cu 3 - 2p Ecuația dreptei care trece prin M și este paralelă cu dreapta d este y − 0 = 3(x − 2), deci y = 3x − 6 - 3p

6. 6. Calculați aria rombului ABCD, știind că AC = 2√5 și BD = 4.

   −+din 5
   Arată baremul

   Răspuns: 4√5

   6. 𝒜_ABCD = (AC · BD)/2 = - 2p = (2√5 · 4)/2 = 4√5 - 3p

Subiectul al II-lea

1. 1. Arătați că (−3) ∗ 3 = −13.

   −+din 5
   Arată baremul

   SUBIECTUL al II-lea, 1. (−3) ∗ 3 = 3·(−3)·3 + 7·((−3) + 3) + 14 = - 3p = −27 + 14 = −13 - 2p

2. 2. Demonstrați că legea de compoziție „∗” este comutativă.

   −+din 5
   Arată baremul

   2. x ∗ y = 3xy + 7(x + y) + 14 = 3yx + 7(y + x) + 14 = - 3p = y ∗ x, pentru orice numere reale x și y, deci legea de compoziție „∗” este comutativă - 2p

3. 3. Arătați că x ∗ y = 3(x + 7/3)(y + 7/3) − 7/3, pentru orice numere reale x și y.

   −+din 5
   Arată baremul

   3. x ∗ y = 3xy + 7x + 7y + 14 = 3xy + 7x + 7y + 49/3 − 7/3 = - 3p = 3x(y + 7/3) + 7(y + 7/3) − 7/3 = 3(x + 7/3)(y + 7/3) − 7/3, pentru orice numere reale x și y - 2p

4. 4. Determinați numerele reale x pentru care x ∗ x = x.

   −+din 5
   Arată baremul

   Răspuns: x ∈ {−7/3, −2}

   4. x ∗ x = 3(x + 7/3)² − 7/3, pentru orice număr real x - 2p 3(x + 7/3)² − 7/3 = x ⇔ (x + 7/3)(3x + 6) = 0, deci x = −7/3 sau x = −2 - 3p

5. 5. Arătați că x ∗ (1/x) ≥ 31, pentru orice număr real x, x > 0.

   −+din 5
   Arată baremul

   5. x ∗ (1/x) ≥ 31 ⇔ 3 · x · (1/x) + 7(x + 1/x) + 14 ≥ 31 ⇔ x + 1/x ≥ 2 - 3p x + 1/x − 2 ≥ 0 ⇔ (x − 1)²/x ≥ 0, adevărat pentru orice număr real x, x > 0 - 2p

6. 6. Determinați numărul real x pentru care 3ˣ ∗ 3ˣ = 83.

   −+din 5
   Arată baremul

   Răspuns: 1

   SUBIECTUL al II-lea, 6. 3(3ˣ + 7/3)² − 7/3 = 83 ⇔ (3ˣ + 7/3)² = 256/9 - 2p Cum 3ˣ > 0, obținem 3ˣ + 7/3 = 16/3 ⇒ 3ˣ = 3, deci x = 1 - 3p

Subiectul al III-lea

1. 1. Arătați că det(A(1)) = 8.

   −+din 5
   Arată baremul

   SUBIECTUL al III-lea, 1.

   A(1) = ⎛3  1⎞ ⇒ det(A(1)) = |3  1| = 3·3 − 1·1 = - 3p
          ⎝1  3⎠               |1  3|

   = 9 − 1 = 8 - 2p

2. 2. Arătați că A(0) · A(2020) = 3A(2020).

   −+din 5
   Arată baremul

   2.

   A(0) = ⎛ 3  0 ⎞
          ⎝ 0  3 ⎠ = 3I₂ - 2p

   A(0) · A(2020) = 3I₂ · A(2020) = 3A(2020) - 3p

3. 3. Determinați numerele reale a pentru care det(A(a)) = −16.

   −+din 5
   Arată baremul

   Răspuns: a ∈ {−5, 5}

   3.

   det(A(a)) = │3  a│
               │a  3│ = 9 − a², pentru orice număr real a - 2p

   9 − a² = −16 ⇔ a² − 25 = 0, de unde obținem a = −5 sau a = 5 - 3p

4. 4. Arătați că A(1) + A(2) + … + A(10) = 10A(11/2).

   −+din 5
   Arată baremul

   SUBIECTUL al III-lea, 4. A(1) + A(2) + … + A(10)

   = ⎛3  1⎞ + ⎛3  2⎞ + … + ⎛ 3  10⎞
     ⎝1  3⎠   ⎝2  3⎠       ⎝10   3⎠
   = ⎛     3·10      1 + 2 + … + 10⎞
     ⎝1 + 2 + … + 10      3·10     ⎠ = - 2p
   = ⎛30  55⎞ = 10⎛  3   11/2⎞ = 10A(11/2) - 3p
     ⎝55  30⎠     ⎝11/2    3 ⎠

5. 5. Determinați numărul natural m pentru care matricea B = A(m) + A(m²) nu este inversabilă.

   −+din 5
   Arată baremul

   Răspuns: 2

   SUBIECTUL al III-lea, 5.

   B = A(m) + A(m²) = ⎛  6     m + m²⎞ ⇒ det B = 36 − (m + m²)², pentru orice număr natural m - 2p
                     ⎝m + m²     6  ⎠

   Matricea B nu este inversabilă ⇔ det B = 0, deci (m + m²)² = 36 și, cum m este număr natural, obținem m = 2 - 3p

6. 6. Determinați perechile de numere întregi (a, b) pentru care suma elementelor matricei A(a) · A(b) este egală cu 2.

   −+din 5
   Arată baremul

   Răspuns: (a, b) ∈ {(−2, −2), (−4, −4)}

   6.

   A(a) · A(b) = ⎛9 + ab   3b + 3a⎞
                 ⎝3a + 3b   ab + 9⎠,

   deci 2(9 + ab) + 6(a + b) = 2 ⇔ ab + 3a + 3b + 9 = 1 - 2p (a + 3)(b + 3) = 1 și, cum a și b sunt numere întregi, obținem (−2, −2) sau (−4, −4) - 3p