Matematică pedagogic, sesiunea iunie-iulie 2022

Corectează-te cu baremul

Ai rezolvat lucrarea pe foaie? Deschide baremul fiecărui item, trece-ți punctele și nota apare pe loc. Rămân salvate pe dispozitivul tău.

Subiectul I

1. 1. Arătați că √18 + √8 = 5√2.

   −+din 5
   Arată baremul

   SUBIECTUL I, 1. √8 = 2√2, √18 = 3√2 - 3p 2√2 + 3√2 = 5√2 - 2p

2. 2. Se consideră funcția f : ℝ → ℝ, f(x) = 3x − 2. Determinați numărul real a pentru care f(a) − f(2) = 12.

   −+din 5
   Arată baremul

   f(a) = 3a − 2, f(−a) = −3a − 2 - 2p 6a = 12, de unde obținem a = 2 - 3p

3. 3. După o reducere cu 20% prețul unui obiect scade cu 28 de lei. Determinați prețul inițial al obiectului.

   −+din 5
   Arată baremul

   Răspuns: 140 de lei

   SUBIECTUL I, 3. (20/100) · x = 28 de lei, deci x/5 = 28 de lei, unde x este prețul inițial al obiectului - 3p x = 140 de lei - 2p

4. 4. Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația 4^(2x − 1) = 64.

   −+din 5
   Arată baremul

   Răspuns: 2

   SUBIECTUL I, 4. 4^(2x − 1) = 4³ - 2p 2x − 1 = 3, deci x = 2 - 3p

5. 5. În reperul cartezian xOy se consideră punctul A(2,3) și dreapta d de ecuație y = 2x + 1. Determinați ecuația dreptei…

   −+din 5
   Arată baremul

   Răspuns: x + 2y − 8 = 0

   SUBIECTUL I, 5. Panta unei drepte perpendiculare pe dreapta d este egală cu −1/2 - 3p Ecuația dreptei care trece prin punctul A și este perpendiculară pe dreapta d este x + 2y − 8 = 0 - 2p

6. 6. Se consideră triunghiul ABC dreptunghic în A cu măsura unghiului B de 30° și BC = 10. Calculați aria triunghiului ABC.

   −+din 5
   Arată baremul

   Răspuns: (25√3)/2 cm²

   SUBIECTUL I, 6.: AC = BC/2 = 5 cm, AB = √(BC² − AC²) = 5√3 cm - 3p A_△ABC = (5 · 5√3)/2 = (25√3)/2 cm² - 2p

Subiectul al II-lea

1. 1. Arătați că 1 ∗ 0 = 3.

   −+din 5
   Arată baremul

   SUBIECTUL al II-lea, 1.: 1 ∗ 0 = 1 · 0 − √3(1 + 0) + √3 + 3 = - 2p = 0 − √3 + √3 + 3 = 3 - 3p

2. 2. Demonstrați că x ∗ y = (x − √3)(y − √3) + √3, pentru orice numere reale x și y.

   −+din 5
   Arată baremul

   SUBIECTUL al II-lea, 2. x ∗ y = xy − √3x − √3y + 3 + √3 = - 3p = x(y − √3) − √3(y − √3) + √3 = (x − √3)(y − √3) + √3, pentru orice numere reale x și y - 2p

3. 3. Determinați numărul real x pentru care x ∗ x = √3.

   −+din 5
   Arată baremul

   (x − √3)² + √3 = 9 + √3, deci x − √3 = ±3 - 2p x = 3 + √3 sau x = −3 + √3 - 3p

4. 4. Arătați că e = √3 + 1 este elementul neutru al legii de compoziție „∗”.

   −+din 5
   Arată baremul

   SUBIECTUL al II-lea, 4. x ∗ (√3 + 1) = (x − √3)(√3 + 1 − √3) + √3 = x, pentru orice număr real x - 2p (√3 + 1) ∗ x = (√3 + 1 − √3)(x − √3) + √3 = x, pentru orice număr real x, deci e = √3 + 1 este elementul neutru al legii de compoziție „∗” - 3p

5. 5. Arătați că √3 ∗ x = √3, pentru orice număr real x.

   −+din 5
   Arată baremul

   SUBIECTUL al II-lea, 5.: √3 ∗ x = (√3 − √3)(x − √3) + √3 = - 2p = 0 · (x − √3) + √3 = √3, pentru orice număr real x - 3p

6. 6. Determinați numărul natural n pentru care √3 ∗ √4 ∗ √5 ∗ … ∗ √2022 = √n.

   −+din 5
   Arată baremul

   Răspuns: 3

   SUBIECTUL al II-lea, 6. √3 ∗ √4 ∗ √5 ∗ … ∗ √2022 = √3 ∗ (√4 ∗ √5 ∗ … ∗ √2022) = - 3p = √3 - 2p

Subiectul al III-lea

1. 1. Arătați că det(A) = 1.

   −+din 5
   Arată baremul

   SUBIECTUL al III-lea, 1.: det A = |1 0; 3 1| = 1 · 1 − 3 · 0 = - 3p = 1 − 0 = 1 - 2p

2. 2. Arătați că A · A − 2A = −I₂.

   −+din 5
   Arată baremul

   SUBIECTUL al III-lea, 2.

   A · A − 2A = ⎛1  0⎞⎛1  0⎞ − ⎛2  0⎞ = ⎛1  0⎞ − ⎛2  0⎞ =
                ⎝3  1⎠⎝3  1⎠   ⎝6  2⎠   ⎝6  1⎠   ⎝6  2⎠

   - 3p

   = ⎛−1   0⎞ = −I₂
     ⎝ 0  −1⎠

   - 2p

3. 3. Arătați că A · B = B · A = I₂.

   −+din 5
   Arată baremul

   A · B = ⎛1  0⎞⎛ 1  0⎞ = ⎛1  0⎞ = I₂
           ⎝3  1⎠⎝−3  1⎠   ⎝0  1⎠

   - 2p

   B · A = ⎛ 1  0⎞⎛1  0⎞ = ⎛1  0⎞ = I₂ = A · B
           ⎝−3  1⎠⎝3  1⎠   ⎝0  1⎠

   - 3p

4. 4. Determinați numărul real a pentru care det(A − aI₂) = 0.

   −+din 5
   Arată baremul

   Răspuns: a = 1

   A − aI₂ = ⎛1  0⎞ − ⎛a  0⎞ = ⎛1 − a      0⎞
             ⎝3  1⎠   ⎝0  a⎠   ⎝  3    1 − a⎠

   - 3p det(A − aI₂) = 0 ⇔ (1 − a)² = 0, deci a = 1 - 2p

5. 5. Determinați numerele reale m pentru care det(m(A + B)) = m · det(A + B).

   −+din 5
   Arată baremul

   Răspuns: m = 0 sau m = 1

   m · (A + B) = ⎛2m   0⎞, det(m(A + B)) = 4m²
                 ⎝ 0  2m⎠

   - 3p m · det(A + B) = 4m, deci 4m² = 4m, de unde obținem m = 0 sau m = 1 - 2p

6. 6. Determinați numerele reale x și y, știind că xA + yB = 2I₂.

   −+din 5
   Arată baremul

   Răspuns: x = y = 1

   x · A + y · B = x⎛1  0⎞ + y⎛ 1  0⎞ = ⎛ x + y         0⎞
                    ⎝3  1⎠    ⎝−3  1⎠   ⎝3x − 3y    x + y⎠

   - 3p

   ⎛ x + y         0⎞ = ⎛2  0⎞, de unde obținem x = y = 1
   ⎝3x − 3y    x + y⎠   ⎝0  2⎠

   - 2p