Matematică pedagogic, sesiunea iunie-iulie 2023

Corectează-te cu baremul

Ai rezolvat lucrarea pe foaie? Deschide baremul fiecărui item, trece-ți punctele și nota apare pe loc. Rămân salvate pe dispozitivul tău.

Subiectul I

1. 1. Arătați că √25 + √64 − √169 = 0.

   −+din 5
   Arată baremul

   √25 + √64 − √169 = 5 + 8 − 13 = - 3p = 13 − 13 = 0 - 2p

2. 2. Se consideră funcțiile f : ℝ → ℝ, f(x) = 2x + 2, și g : ℝ → ℝ, g(x) = x² + 2. Determinați numerele naturale n pentru…

   −+din 5
   Arată baremul

   Răspuns: n ∈ {0, 1, 2}

   2n + 2 ≥ n² + 2 - 2p 2n ≥ n² și, cum n este număr natural, obținem n = 0 sau n = 1 sau n = 2 - 3p

3. 3. Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația 2 + log₃(2x − 1) = log₃27.

   −+din 5
   Arată baremul

   Răspuns: 2

   log₃(2x − 1) = 1, de unde obținem 2x − 1 = 3 - 3p x = 2, care convine - 2p

4. 4. Prețul unui obiect este de 150 de lei. Determinați prețul obiectului după ce se scumpește de două ori, succesiv, cu…

   −+din 5
   Arată baremul

   Răspuns: 216 lei

   După prima scumpire cu 20%, prețul obiectului este 150 + (20/100) · 150 = 180 de lei - 2p După a doua scumpire cu 20%, prețul obiectului este 180 + (20/100) · 180 = 216 lei - 3p

5. 5. În reperul cartezian xOy se consideră punctele A(0,4) și M(3,6). Determinați coordonatele punctului B, știind că…

   −+din 5
   Arată baremul

   Răspuns: B(6,8)

   M mijlocul segmentului AB ⇒ 3 = (0 + x_B)/2, 6 = (4 + y_B)/2 - 3p x_B = 6, y_B = 8 - 2p

6. 6. Arătați că (√3/2) · sin 60° − (1/√3) · cos 30° · cos 60° = 1/2.

   −+din 5
   Arată baremul

   SUBIECTUL I, 6. sin 60° = √3/2, cos 30° = √3/2, cos 60° = 1/2 - 3p (√3/2) · (√3/2) − (1/√3) · (√3/2) · (1/2) = 3/4 − 1/4 = 1/2 - 2p

Subiectul al II-lea

1. 1. Arătați că 2 ∗ (−2) = −4.

   −+din 5
   Arată baremul

   2 ∗ (−2) = 2 + (−2) − 4 = - 3p = 0 − 4 = −4 - 2p

2. 2. Arătați că legea de compoziție „∗” este asociativă.

   −+din 5
   Arată baremul

   (x ∗ y) ∗ z = (x + y − 4) ∗ z = (x + y − 4) + z − 4 = x + y + z − 8, pentru orice numere reale x, y și z - 2p x ∗ (y ∗ z) = x ∗ (y + z − 4) = x + (y + z − 4) − 4 = x + y + z − 8 = (x ∗ y) ∗ z, pentru orice numere reale x, y și z, deci legea de compoziție „∗” este asociativă - 3p

3. 3. Arătați că 1 ∗ 2 ∗ 3 ∗ 4 ∗ 5 ∗ 6 > 0.

   −+din 5
   Arată baremul

   SUBIECTUL al II-lea, 3. (1 ∗ 2 ∗ 3) ∗ (4 ∗ 5 ∗ 6) = (−2) ∗ 7 = - 3p = −2 + 7 − 4 = 1 > 0 - 2p

4. 4. Determinați numărul real x pentru care x ∗ x ∗ x = (x + 1) ∗ x.

   −+din 5
   Arată baremul

   Răspuns: 5

   x ∗ x ∗ x = 3x − 8, (x + 1) ∗ x = 2x − 3, pentru orice număr real x - 2p 3x − 8 = 2x − 3, de unde obținem x = 5 - 3p

5. 5. Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația 4ˣ ∗ 2ˣ = 2.

   −+din 5
   Arată baremul

   Răspuns: 1

   4ˣ ∗ 2ˣ = 4ˣ + 2ˣ − 4, pentru orice număr real x - 2p 4ˣ + 2ˣ − 6 = 0 ⇔ (2ˣ − 2)(2ˣ + 3) = 0, de unde obținem x = 1 - 3p

6. 6. Arătați că x² ∗ (1/x²) ≥ −2, pentru orice număr real nenul x.

   −+din 5
   Arată baremul

   x² + 1/x² − 4 ≥ −2 ⇔ x² + 1/x² − 2 ≥ 0, pentru orice număr real nenul x - 2p (x − 1/x)² ≥ 0, deci x² ∗ (1/x²) ≥ −2, pentru orice număr real nenul x - 3p

Subiectul al III-lea

1. 1. Arătați că det A = −1.

   −+din 5
   Arată baremul

   det A = |1 0; 1 −1| = 1 · (−1) − 0 · 1 = - 3p = −1 − 0 = −1 - 2p

2. 2. Arătați că A · A − B · B = O₂.

   −+din 5
   Arată baremul

   A · A = [[1, 0], [0, 1]] - 2p Cum B · B = [[1, 0], [0, 1]], obținem A · A − B · B = O₂ - 3p

3. 3. Determinați numărul real x pentru care det(A · A − xI₂) = 0.

   −+din 5
   Arată baremul

   Răspuns: 1

   A · A − xI₂ = [[1 − x, 0], [0, 1 − x]], deci det(A · A − xI₂) = (1 − x)², pentru orice număr real x - 3p (1 − x)² = 0, de unde obținem x = 1 - 2p

4. 4. Determinați numărul real x pentru care A − B − xI₂ = [−2 −2; 1 −2].

   −+din 5
   Arată baremul

   Răspuns: 2

   A − B − xI₂ = [−x −2; 1 −x], pentru orice număr real x - 3p [−x −2; 1 −x] = [−2 −2; 1 −2], de unde obținem x = 2 - 2p

5. 5. Determinați numerele reale a pentru care det(a(A + B)) = −6.

   −+din 5
   Arată baremul

   Răspuns: a ∈ {−1, 1}

   a(A + B) = [2a 2a; a −2a], deci det(a(A + B)) = −6a², pentru orice număr real a - 3p −6a² = −6, de unde obținem a = −1 sau a = 1 - 2p

6. 6. Rezolvați în M₂(ℝ) ecuația A · X = B.

   −+din 5
   Arată baremul

   Răspuns: X = [1 2; 1 3]

   A⁻¹ = A ⇒ X = A · B - 3p X = [1 2; 1 3] - 2p