Matematică pedagogic, model de subiect 2026

Corectează-te cu baremul

Ai rezolvat lucrarea pe foaie? Deschide baremul fiecărui item, trece-ți punctele și nota apare pe loc. Rămân salvate pe dispozitivul tău.

Subiectul I

1. 1. Arătați că √64 − 4√2 + 2√2 · (2 − √2) = 4.

   −+din 5
   Arată baremul

   √64 − 4√2 + 2√2 · (2 − √2) = 8 − 4√2 + 4√2 − 2√2 · √2 = - 3p = 8 − 4 = 4 - 2p

2. 2. Se consideră funcția f : ℝ → ℝ, f(x) = 7x − 4. Determinați numărul real a pentru care f(a) = 5a.

   −+din 5
   Arată baremul

   Răspuns: 2

   f(a) = 7a − 4, pentru orice număr real a - 2p 7a − 4 = 5a, de unde obținem a = 2 - 3p

3. 3. Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația 9 · 3ˣ = 3⁵.

   −+din 5
   Arată baremul

   Răspuns: 3

   3^(2 + x) = 3⁵, de unde obținem 2 + x = 5 - 3p x = 3 - 2p

4. 4. După o ieftinire cu 15%, prețul unui obiect s-a micșorat cu 75 de lei. Determinați prețul obiectului înainte de…

   −+din 5
   Arată baremul

   Răspuns: 500 de lei

   (15/100) · x = 75, unde x este prețul înainte de ieftinire - 3p x = 500 de lei - 2p

5. 5. În reperul cartezian xOy se consideră punctele A(0, 4), B(2, 0) și C(6, 6). Arătați că MA = MB, unde punctul M este…

   −+din 5
   Arată baremul

   M(3, 3) - 2p MA = √10 și MB = √10, deci MA = MB - 3p

6. 6. Arătați că 4(sin 60°)² − (sin 45°)² − 2(sin 30°)² = 2.

   −+din 5
   Arată baremul

   sin 60° = √3/2, sin 45° = √2/2, sin 30° = 1/2 - 3p 4(sin 60°)² − (sin 45°)² − 2(sin 30°)² = 4 · (√3/2)² − (√2/2)² − 2 · (1/2)² = 3 − 1/2 − 1/2 = 2 - 2p

Subiectul al II-lea

1. 1. Arătați că 7 ∗ 8 = 1.

   −+din 5
   Arată baremul

   7 ∗ 8 = (7 + 8)/3 − 4 = - 3p = 5 − 4 = 1 - 2p

2. 2. Determinați numărul real x pentru care 4 ∗ x = x.

   −+din 5
   Arată baremul

   Răspuns: -4

   4 ∗ x = (4 + x)/3 − 4, pentru orice număr real x - 2p (4 + x)/3 − 4 = x, de unde obținem x = −4 - 3p

3. 3. Determinați numerele reale x pentru care x ∗ x² = 0.

   −+din 5
   Arată baremul

   Răspuns: x = −4 sau x = 3

   x ∗ x² = (x² + x − 12)/3, pentru orice număr real x - 3p x² + x − 12 = 0, de unde obținem x = −4 sau x = 3 - 2p

4. 4. Arătați că (2x) ∗ (2y) = 2·(x ∗ (y + 6)), pentru orice numere reale x și y.

   −+din 5
   Arată baremul

   (2x) ∗ (2y) = (2x + 2y)/3 − 4, pentru orice numere reale x și y - 2p x ∗ (y + 6) = (x + y)/3 − 2 ⇒ 2·(x ∗ (y + 6)) = (2x + 2y)/3 − 4, deci (2x) ∗ (2y) = 2·(x ∗ (y + 6)), pentru orice numere reale x și y - 3p

5. 5. Determinați numerele naturale n pentru care (3n) ∗ ((2n) ∗ n) ≤ −n.

   −+din 5
   Arată baremul

   Răspuns: n ∈ {0, 1, 2}

   (2n) ∗ n = n − 4, (3n) ∗ ((2n) ∗ n) = (4n − 16)/3, pentru orice număr natural n - 2p (4n − 16)/3 ≤ −n, deci 7n ≤ 16 și, cum n este număr natural, obținem n = 0, n = 1, n = 2 - 3p

6. 6. Determinați x ∈ (0, +∞) pentru care lg x ∗ lg x = (−3) ∗ lg(1/x).

   −+din 5
   Arată baremul

   Răspuns: x = 1/10

   lg x ∗ lg x = (2 lg x)/3 − 4, (−3) ∗ lg(1/x) = (−3 − lg x)/3 − 4, pentru orice x ∈ (0, +∞) - 2p (2 lg x)/3 − 4 = (−3 − lg x)/3 − 4, deci lg x = −1, de unde obținem x = 1/10, care convine - 3p

Subiectul al III-lea

1. 1. Arătați că det A = −2.

   −+din 5
   Arată baremul

   det A = │1   6│ = 1 · (−2) − 6 · 0 =
           │0  −2│ - 3p

   = −2 − 0 = −2 - 2p

2. 2. Determinați numărul real a pentru care A + 2I₂ = aB.

   −+din 5
   Arată baremul

   Răspuns: 3

   A + 2I₂ = ⎛1   6⎞ + ⎛2  0⎞ = ⎛3  6⎞ = 3B
             ⎝0  −2⎠   ⎝0  2⎠   ⎝0  0⎠ - 3p

   3B = aB, de unde obținem a = 3 - 2p

3. 3. Arătați că A · A + A = 2I₂.

   −+din 5
   Arată baremul

   A · A = ⎛1  −6⎞
           ⎝0   4⎠ - 3p
   A · A + A = ⎛2  0⎞
               ⎝0  2⎠
   = 2 ⎛1  0⎞
       ⎝0  1⎠

   = 2I₂ - 2p

4. 4. Determinați numerele reale x și y pentru care M(x, y) · A = B.

   −+din 5
   Arată baremul

   Răspuns: x = 0 și y = 1

   M(x, y) = ⎛x + y  6x + 2y⎞
             ⎝  0      −2x  ⎠
   ⇒ M(x, y) · A = ⎛x + y  −6x + 2y⎞
                   ⎝  0       4x   ⎠,

   pentru orice numere reale x și y - 3p

   ⎛x + y  −6x + 2y⎞ = ⎛1  2⎞
   ⎝  0       4x   ⎠   ⎝0  0⎠,

   de unde obținem x = 0 și y = 1 - 2p

5. 5. Arătați că, dacă x și y sunt numere reale distincte astfel încât det(M(x,y)) = det(M(y,x)), atunci x + y = 0.

   −+din 5
   Arată baremul

   det(M(x,y)) = −2x(x + y), det(M(y,x)) = −2y(x + y), pentru orice numere reale x și y - 2p −2x(x + y) = −2y(x + y), deci (x + y)(x − y) = 0 și, cum x și y sunt numere reale distincte, rezultă că x + y = 0 - 3p

6. 6. Determinați numerele reale x pentru care M(x, x) · M(x, −x) = M(−2, 2).

   −+din 5
   Arată baremul

   Răspuns: x = −1 sau x = 1

   M(x, x) · M(x, −x) =

   ⎛2x   8x⎞ ⎛0   4x⎞
   ⎝ 0  −2x⎠ ⎝0  −2x⎠
   = x² ⎛0  −8⎞
        ⎝0   4⎠

   = x²M(−2, 2), pentru orice număr real x - 3p x²M(−2, 2) = M(−2, 2), de unde obținem x = −1 sau x = 1 - 2p