Matematică pedagogic, subiect de rezervă 2026, sesiunea iunie-iulie

Corectează-te cu baremul

Ai rezolvat lucrarea pe foaie? Deschide baremul fiecărui item, trece-ți punctele și nota apare pe loc. Rămân salvate pe dispozitivul tău.

Subiectul I

1. 1. Arătați că √6(2 + 3√6) − √36 − √24 = 12.

   −+din 5
   Arată baremul

   √6(2 + 3√6) − √36 − √24 = 2√6 + √6 · 3√6 − 6 − 2√6 = - 3p = 18 − 6 = 12 - 2p

2. 2. Se consideră funcția f : ℝ → ℝ, f(x) = 4x + 16. Determinați abscisa punctului de intersecție a graficului funcției f…

   −+din 5
   Arată baremul

   Răspuns: -4

   f(x) = 0, de unde obținem 4x + 16 = 0 - 3p x = −4 - 2p

3. 3. Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația √(x² + 3x − 15) = x.

   −+din 5
   Arată baremul

   Răspuns: 5

   x² + 3x − 15 = x², de unde obținem 3x − 15 = 0 - 3p x = 5, care convine - 2p

4. 4. Determinați probabilitatea ca, alegând un număr n din mulțimea A = {0, 1, 2, …, 9}, n³ să fie număr natural de două…

   −+din 5
   Arată baremul

   Răspuns: 1/5

   4. Mulțimea A are 10 elemente, deci sunt 10 cazuri posibile - 2p În mulțimea A sunt 2 numere n pentru care n³ este număr natural de două cifre, deci sunt 2 cazuri favorabile, de unde obținem p = 2/10 = 1/5 - 3p

5. 5. În reperul cartezian xOy se consideră punctele A(2,4) și B(5,2). Determinați distanța dintre punctele B și M, unde M…

   −+din 5
   Arată baremul

   Răspuns: 4

   5. M(1,2) - 3p BM = 4 - 2p

6. 6. Arătați că √3 sin 30° + 2cos 60° − sin 60° = 1.

   −+din 5
   Arată baremul

   6. sin 30° = 1/2, cos 60° = 1/2, sin 60° = √3/2 - 3p √3 sin 30° + 2cos 60° − sin 60° = √3·(1/2) + 2·(1/2) − √3/2 = 1 - 2p

Subiectul al II-lea

1. 1. Arătați că 1 ∗ 4 = 4.

   −+din 5
   Arată baremul

   1 ∗ 4 = (1 · 4)/4 + 8 − 1 − 4 = - 3p = 1 + 3 = 4 - 2p

2. 2. Determinați numărul real x pentru care x ∗ 5 = 6.

   −+din 5
   Arată baremul

   Răspuns: 12

   x ∗ 5 = x/4 + 3, pentru orice număr real x - 3p x/4 + 3 = 6, de unde obținem x = 12 - 2p

3. 3. Arătați că x ∗ y = ¼(x − 4)(y − 4) + 4, pentru orice numere reale x și y.

   −+din 5
   Arată baremul

   3. x ∗ y = ¼(xy − 4x − 4y + 16) + 4 = - 2p = ¼(x(y − 4) − 4(y − 4)) + 4 = ¼(x − 4)(y − 4) + 4, pentru orice numere reale x și y - 3p

4. 4. Arătați că, dacă x și y sunt numere reale pentru care x ∗ (y + 1) = (x − 1) ∗ y, atunci x + y = 8.

   −+din 5
   Arată baremul

   x ∗ (y + 1) = (1/4)(x − 4)(y − 3) + 4, (x − 1) ∗ y = (1/4)(x − 5)(y − 4) + 4, pentru orice numere reale x și y - 2p (x − 4)(y − 3) = (x − 5)(y − 4), de unde obținem x + y = 8 - 3p

5. 5. Arătați că, dacă x ∈ [4, +∞) și y ∈ [4, +∞), atunci x ∗ y ∈ [4, +∞).

   −+din 5
   Arată baremul

   5. x − 4 ≥ 0, y − 4 ≥ 0, de unde obținem (x − 4)(y − 4) ≥ 0 - 3p (1/4)(x − 4)(y − 4) + 4 ≥ 4, deci x ∗ y ∈ [4, +∞) - 2p

6. 6. Determinați perechile (m, n) de numere naturale pentru care 4ᵐ ∗ (n + 1) = (2^(2m) − 1) ∗ n.

   −+din 5
   Arată baremul

   Răspuns: (m, n) ∈ {(0, 7), (1, 4)}

   4ᵐ ∗ (n + 1) = (4ᵐ − 1) ∗ n, de unde obținem 4ᵐ + n = 8 - 3p Cum m și n sunt numere naturale, obținem perechile (0, 7) și (1, 4) - 2p

Subiectul al III-lea

1. 1. Arătați că det(B(4)) = 6.

   −+din 5
   Arată baremul

   1.

   B(4) = ⎛6  3⎞ ⇒ det(B(4)) = │6  3│ = 6·2 − 3·2 =
          ⎝2  2⎠               │2  2│ - 3p

   = 12 − 6 = 6 - 2p

2. 2. Arătați că 2B(3) + B(6) = 3B(4).

   −+din 5
   Arată baremul

   2.

   2B(3) + B(6) = ⎛10  6⎞ + ⎛8  3⎞ = ⎛18  9⎞ =
                   ⎝ 4  2⎠   ⎝2  4⎠   ⎝ 6  6⎠ - 3p
   = 3⎛6  3⎞ = 3B(4)
      ⎝2  2⎠ - 2p

3. 3. Determinați numărul real a pentru care B(−2)·B(5) = aB(0).

   −+din 5
   Arată baremul

   Răspuns: 3

   3.

   B(−2)·B(5) = ⎛0   3⎞·⎛7  3⎞ = ⎛6   9⎞ = 3⎛2   3⎞ = 3B(0)
                ⎝2  −4⎠ ⎝2  3⎠   ⎝6  −6⎠    ⎝2  −2⎠ - 3p

   aB(0) = 3B(0), de unde obținem a = 3 - 2p

4. 4. Determinați numărul întreg m pentru care det(2B(m) − A) < 0.

   −+din 5
   Arată baremul

   Răspuns: 2

   4.

   2B(m) − A = ⎛2m − 5     0   ⎞
               ⎝   0     2m − 3⎠,

   det(2B(m) − A) = (2m − 5)(2m − 3), pentru orice număr întreg m - 2p (2m − 5)(2m − 3) < 0 și, cum m este număr întreg, obținem m = 2 - 3p

5. 5. Determinați perechile (n, p) de numere naturale pentru care B(n) · B(−n) = 2pI₂, unde I₂ = ⎛1 0⎞ ⎝0 1⎠.

   −+din 5
   Arată baremul

   Răspuns: (n, p) ∈ {(0, 5), (2, 3)}

   B(n) · B(−n) = ⎛10 − n²     0   ⎞
                  ⎝   0     10 − n²⎠,

   pentru orice număr natural n - 3p

   ⎛10 − n²     0   ⎞ = ⎛2p   0⎞
   ⎝   0     10 − n²⎠   ⎝ 0  2p⎠

   și, cum n și p sunt numere naturale, obținem perechile (0, 5) și (2, 3) - 2p

6. 6. Determinați matricea X ∈ ℳ₂(ℝ) pentru care B(4)·X = 2A.

   −+din 5
   Arată baremul

   Răspuns: X = ⎛2 5⎞ ⎝2 −6⎠

   6. Cum matricea B(4) este inversabilă, obținem X = (B(4))⁻¹·(2A) - 2p

   (B(4))⁻¹ = ⎛ 1/3  −1/2⎞
              ⎝−1/3    1 ⎠,

   de unde obținem

   X = ⎛2   5⎞
       ⎝2  −6⎠ - 3p