Matematică științele naturii, model de subiect 2021

Corectează-te cu baremul

Ai rezolvat lucrarea pe foaie? Deschide baremul fiecărui item, trece-ți punctele și nota apare pe loc. Rămân salvate pe dispozitivul tău.

Subiectul I

1. 1. Arătați că numerele log₂ 3, log₂ 6 și log₂ 12 sunt termeni consecutivi ai unei progresii aritmetice.

   −+din 5
   Arată baremul

   log₂ 3 + log₂ 12 = log₂ 36 = log₂ 6² = - 3p = 2log₂ 6, deci numerele date sunt termeni consecutivi ai unei progresii aritmetice - 2p

2. 2. Se consideră funcția f : ℝ → ℝ, f(x) = x² − x + 1. Determinați numărul real x pentru care f(x) = x.

   −+din 5
   Arată baremul

   Răspuns: 1

   2. f(x) = x ⇔ x² − x + 1 = x ⇔ x² − 2x + 1 = 0 - 3p x = 1 - 2p

3. 3. Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația |2x − 1| = 2x + 1.

   −+din 5
   Arată baremul

   Răspuns: 0

   3. 2x − 1 = 2x + 1 sau 2x − 1 = −2x − 1 - 3p x = 0 - 2p

4. 4. Calculați probabilitatea ca, alegând un număr din mulțimea numerelor naturale de două cifre, acesta să aibă cifra…

   −+din 5
   Arată baremul

   Răspuns: 2/9

   4. Mulțimea numerelor naturale de două cifre are 90 de elemente, deci sunt 90 de cazuri posibile - 2p În mulțimea numerelor naturale de două cifre sunt 4·5 = 20 de numere care au cifra zecilor pară și cifra unităților impară, deci sunt 20 de cazuri favorabile - 2p p = (nr. cazuri favorabile)/(nr. cazuri posibile) = 20/90 = 2/9 - 1p

5. 5. Determinați numărul real a, pentru care vectorii u⃗ = ai⃗ + j⃗ și v⃗ = 8i⃗ + 2j⃗ sunt coliniari.

   −+din 5
   Arată baremul

   Răspuns: 4

   5. a/8 = 1/2 - 3p a = 4 - 2p

6. 6. În triunghiul ABC dreptunghic în A, BC = 12 și B = π/6. Arătați că aria triunghiului ABC este egală cu 18√3.

   −+din 5
   Arată baremul

   cos B = AB/BC ⇒ √3/2 = AB/12 ⇒ AB = 6√3 - 3p 𝒜△ABC = (1/2)·AB·BC·sin B = (1/2)·6√3·12·(1/2) = 18√3 - 2p

Subiectul al II-lea

1. 1. a) Arătați că det(A(2)) = 1.

   −+din 5
   Arată baremul

   Reguli generale:

   1. a)

   A(2) = ⎛ 3   4 ⎞
          ⎝ −1 −1 ⎠
   ⇒ det(A(2)) = │ 3   4 │
                 │ −1 −1 │

   = 3·(−1) − (−1)·4 = - 3p = −3 + 4 = 1 - 2p

2. 1. b) Demonstrați că A(a)·A(b) = A(a + b − 1), pentru orice numere reale a și b.

   −+din 5
   Arată baremul

   Reguli generale:

   b) A(a)·A(b) =

   ⎛ 2a − 1   4a − 4 ⎞ ⎛ 2b − 1   4b − 4 ⎞
   ⎝ 1 − a    3 − 2a ⎠ ⎝ 1 − b    3 − 2b ⎠
   = ⎛ 2a + 2b − 3   4a + 4b − 8 ⎞
     ⎝ −a − b + 2    −2a − 2b + 5 ⎠ = - 3p
   = ⎛ 2(a + b − 1) − 1   4(a + b − 1) − 4 ⎞
     ⎝ 1 − (a + b − 1)    3 − 2(a + b − 1) ⎠

   = A(a + b − 1), pentru orice numere reale a și b - 2p

3. 1. c) Determinați numărul natural n, știind că A(1)·A(2)·A(2²)·A(2³)·A(2⁴) = A(32)·A(−n).

   −+din 5
   Arată baremul

   Răspuns: 4

   Reguli generale:

   c) A(1)·A(2)·A(2²)·A(2³)·A(2⁴) = A(1 + 2 + 2² + 2³ + 2⁴ − 4) = A(27) - 3p A(27) = A(32 + (−n) − 1), de unde obținem n = 4 - 2p

4. 2. a) Arătați că 1 ∘ 2 = 1.

   −+din 5
   Arată baremul

   2. a) 1 ∘ 2 = 3·1² − 5·1·2 + 2·2² = - 3p = 3 − 10 + 8 = 1 - 2p

5. 2. b) Demonstrați că x ∘ x = 0, pentru orice număr real x.

   −+din 5
   Arată baremul

   2. b) x ∘ x = 3x² − 5x² + 2x² = - 3p = −2x² + 2x² = 0, pentru orice număr real x - 2p

6. 2. c) Determinați numerele reale x pentru care 2ˣ ∘ 3ˣ = 0.

   −+din 5
   Arată baremul

   Răspuns: x = 0 sau x = 1

   2. c) 3·2²ˣ − 5·2ˣ·3ˣ + 2·3²ˣ = 0 ⇔ 3·2ˣ(2ˣ − 3ˣ) − 2·3ˣ(2ˣ − 3ˣ) = 0 ⇔ (2ˣ − 3ˣ)(3·2ˣ − 2·3ˣ) = 0 - 3p 2ˣ = 3ˣ sau 3ˣ⁻¹ = 2ˣ⁻¹, de unde obținem x = 0 sau x = 1 - 2p

Subiectul al III-lea

1. 1. a) Arătați că f′(x) = (x + 1)/√(x² + 2x + 2) − 1, x ∈ ℝ.

   −+din 5
   Arată baremul

   f′(x) = (x² + 2x + 2)′/(2√(x² + 2x + 2)) − x′ = - 3p = 2(x + 1)/(2√(x² + 2x + 2)) − 1 = (x + 1)/√(x² + 2x + 2) − 1, x ∈ ℝ - 2p

2. 1. b) Determinați ecuația tangentei la graficul funcției f în punctul de abscisă x = −1, situat pe graficul funcției f.

   −+din 5
   Arată baremul

   Răspuns: y = −x + 1

   f(−1) = 2, f′(−1) = −1 - 2p Ecuația tangentei este y − f(−1) = f′(−1)(x − (−1)), adică y = −x + 1 - 3p

3. 1. c) Demonstrați că √((x² + 1)² + 2(x² + 1) + 2) − √(4x² + 4x + 2) ≤ (x − 1)², pentru orice număr real x.

   −+din 5
   Arată baremul

   f′(x) < 0, pentru orice număr real x, deci f este descrescătoare pe ℝ și, cum x² + 1 ≥ 2x, obținem f(x² + 1) ≤ f(2x), pentru orice număr real x - 3p Cum f(x² + 1) = √((x² + 1)² + 2(x² + 1) + 2) − (x² + 1) și f(2x) = √((2x)² + 2·2x + 2) − 2x, obținem √((x² + 1)² + 2(x² + 1) + 2) − √(4x² + 4x + 2) ≤ (x − 1)², pentru orice număr real x - 2p

4. 2. a) Arătați că ∫₀¹ (4 − f²(x)) dx = π.

   −+din 5
   Arată baremul

   Reguli generale:

   2. a)

   ∫₀¹ (4 − f²(x)) dx = ∫₀¹ (4 − 4x²/(x² + 1)) dx = 4∫₀¹ 1/(x² + 1) dx = 4 arctg x│₀¹ = - 3p

   = 4(arctg 1 − arctg 0) = π - 2p

5. 2. b) Demonstrați că suprafața plană delimitată de graficul funcției f, axa Ox și dreptele de ecuații x = 0 și x = 1 are…

   −+din 5
   Arată baremul

   Reguli generale:

   b) 𝒜 = ∫₀¹ |f(x)| dx = ∫₀¹ 2x/√(x² + 1) dx = ∫₀¹ (x² + 1)′/√(x² + 1) dx = - 3p

   = 2√(x² + 1)│₀¹ = 2(√2 − 1) - 2p

6. 2. c) Arătați că ∫₁² f(x²)/x dx = ln(√34 − √17 + 4√2 − 4).

   −+din 5
   Arată baremul

   Reguli generale:

   c) ∫₁² f(x²)/x dx = ∫₁² 2x²/(x√(x⁴ + 1)) dx = ∫₁² 2x/√(x⁴ + 1) dx = ∫₁² (x²)′/√((x²)² + 1) dx = - 3p

   = ln(x² + √(x⁴ + 1))│₁² = ln((4 + √17)/(1 + √2)) = ln(√34 − √17 + 4√2 − 4) - 2p