Matematică științele naturii, sesiunea specială 2022

Corectează-te cu baremul

Ai rezolvat lucrarea pe foaie? Deschide baremul fiecărui item, trece-ți punctele și nota apare pe loc. Rămân salvate pe dispozitivul tău.

Subiectul I

1. 1. Arătați că √2(√2 − 1)(2 + √2) = 2.

   −+din 5
   Arată baremul

   √2(√2 − 1)(2 + √2) = (2 − √2)(2 + √2) = - 3p = 4 − 2 = 2 - 2p

2. 2. Se consideră funcția f : ℝ → ℝ, f(x) = 2x² − 4x. Determinați abscisele punctelor de intersecție a graficului funcției…

   −+din 5
   Arată baremul

   Răspuns: x = 0 sau x = 2

   2. f(x) = 0 ⇔ 2x² − 4x = 0 - 3p x = 0 sau x = 2 - 2p

3. 3. Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația 2^(x − 3) = 1/2^(2x).

   −+din 5
   Arată baremul

   Răspuns: 1

   3. 2^(x − 3) = 2^(−2x) ⇔ x − 3 = −2x - 3p x = 1 - 2p

4. 4. Calculați probabilitatea ca, alegând un număr din mulțimea numerelor naturale de două cifre, acesta să fie multiplu…

   −+din 5
   Arată baremul

   Răspuns: 1/10

   Mulțimea numerelor naturale de două cifre are 90 de elemente, deci sunt 90 de cazuri posibile - 2p În mulțimea numerelor naturale de două cifre sunt 9 numere care sunt multipli de 11, deci sunt 9 cazuri favorabile, de unde obținem p = 9/90 = 1/10 - 3p

5. 5. În reperul cartezian xOy se consideră punctele A(−1,0), B(0,3) și C(4,0). Arătați că triunghiul ABC este isoscel.

   −+din 5
   Arată baremul

   AC = 5 - 2p BC = √(4² + 3²) = 5, deci AC = BC, de unde obținem că triunghiul ABC este isoscel - 3p

6. 6. Se consideră E(x) = tg x + sin(3x/2) − 2cos(x/2), unde x ∈ (0, π/2). Arătați că E(π/3) = 1.

   −+din 5
   Arată baremul

   6. tg(π/3) = √3, sin(π/2) = 1, cos(π/6) = √3/2 - 3p E(π/3) = √3 + 1 − 2 · (√3/2) = 1 - 2p

Subiectul al II-lea

1. 1. a) Arătați că det(M(1)) = 4.

   −+din 5
   Arată baremul

   M(1) = ⎛  2   −1 ⎞
          ⎝ −2    3 ⎠
   ⇒ det(M(1)) = │  2   −1 │
                 │ −2    3 │

   = 2·3 − (−1)·(−2) = - 3p = 6 − 2 = 4 - 2p

2. 1. b) Arătați că M(x)·M(1) = M(4x + 1), pentru orice număr real x.

   −+din 5
   Arată baremul

   M(x)·M(1) = ⎛ 4x + 2       −4x − 1 ⎞
               ⎝ −8x − 2       8x + 3 ⎠ = - 3p
   = ⎛ (4x + 1) + 1       −(4x + 1)      ⎞
     ⎝ −2(4x + 1)         2(4x + 1) + 1  ⎠

   = M(4x + 1), pentru orice număr real x - 2p

3. 1. c) Determinați numărul real x pentru care M(x)·M(1)·M(1) = M(x + 2).

   −+din 5
   Arată baremul

   Răspuns: −1/5

   M(x)·M(1)·M(1) = (M(x)·M(1))·M(1) = M(4x + 1)·M(1) = M(16x + 5), pentru orice număr real x - 3p M(16x + 5) = M(x + 2), de unde obținem 16x + 5 = x + 2, deci x = −1/5 - 2p

4. 2. a) Arătați că (−1) ∘ 0 = 8.

   −+din 5
   Arată baremul

   2.a) (−1) ∘ 0 = 5 · (−1) · 0 + 10 · (−1) + 10 · 0 + 18 = - 3p = −10 + 18 = 8 - 2p

5. 2. b) Demonstrați că x ∘ y = 5(x + 2)(y + 2) − 2, pentru orice numere reale x și y.

   −+din 5
   Arată baremul

   b) x ∘ y = 5xy + 10x + 10y + 20 − 2 = 5x(y + 2) + 10(y + 2) − 2 = - 3p = (5x + 10)(y + 2) − 2 = 5(x + 2)(y + 2) − 2, pentru orice numere reale x și y - 2p

6. 2. c) Determinați numărul întreg m pentru care m ∘ m = m.

   −+din 5
   Arată baremul

   Răspuns: -2

   c) m ∘ m = 5(m + 2)² − 2, pentru orice număr întreg m - 2p 5(m + 2)² − 2 = m ⇒ (m + 2)(5m + 9) = 0 și, cum m este număr întreg, obținem m = −2 - 3p

Subiectul al III-lea

1. 1. a) Arătați că f′(x) = (x² − x − 2)/(x − 1)², x ∈ (1, +∞).

   −+din 5
   Arată baremul

   1.a) f′(x) = [2x(x − 1) − (x² + 1)]/(x − 1)² + 1/(x − 1) = - 3p = (x² − 2x + x − 1 − 1)/(x − 1)² = (x² − x − 2)/(x − 1)², x ∈ (1, +∞) - 2p

2. 1. b) Determinați ecuația tangentei la graficul funcției f în punctul de abscisă x = 2, situat pe graficul funcției f.

   −+din 5
   Arată baremul

   Răspuns: y = 5

   b) f(2) = 5, f′(2) = 0 - 2p Ecuația tangentei este y − f(2) = f′(2)(x − 2), adică y = 5 - 3p

3. 1. c) Demonstrați că (x² + 1)/(x − 1) + ln(x − 1) ≥ 5, pentru orice x ∈ (1, +∞).

   −+din 5
   Arată baremul

   c) f′(x) = 0 ⇒ x = 2; pentru x ∈ (1, 2] ⇒ f′(x) ≤ 0, deci f este descrescătoare pe (1, 2] și pentru x ∈ [2, +∞) ⇒ f′(x) ≥ 0, deci f este crescătoare pe [2, +∞) - 3p f(x) ≥ f(2), pentru orice x ∈ (1, +∞), de unde obținem (x² + 1)/(x − 1) + ln(x − 1) ≥ 5, pentru orice x ∈ (1, +∞) - 2p

4. 2. a) Arătați că ∫₀² f(x)(6x² + 1) dx = 10.

   −+din 5
   Arată baremul

   2. a) ∫₀² f(x)(6x² + 1) dx = ∫₀² (x + 4) dx = [x²/2 + 4x]₀² = - 3p = 2 + 8 = 10 - 2p

5. 2. b) Arătați că ∫₀² (f(x) − 4/(6x² + 1)) dx = ln 5/6.

   −+din 5
   Arată baremul

   2. b) ∫₀² (f(x) − 4/(6x² + 1)) dx = ∫₀² x/(6x² + 1) dx = (1/12)∫₀² (6x² + 1)′/(6x² + 1) dx = [(1/12)ln(6x² + 1)]₀² = - 3p = (1/12)ln 25 = ln 5/6 - 2p

6. 2. c) Determinați numărul real m pentru care ∫₀¹ ((x + 4)/f(x)) · e^(2x) dx = m(e² − 1).

   −+din 5
   Arată baremul

   Răspuns: 2

   2. c) ∫₀¹ ((x + 4)/f(x)) · e^(2x) dx = ∫₀¹ (6x² + 1) · e^(2x) dx = ∫₀¹ (6x² + 1) · (e^(2x)/2)′ dx = [(6x² + 1) · (e^(2x)/2)]₀¹ − ∫₀¹ 6xe^(2x) dx = = (7e² − 1)/2 − [3xe^(2x)]₀¹ + [3e^(2x)/2]₀¹ = 2e² − 2 - 3p 2e² − 2 = m(e² − 1), de unde obținem m = 2 - 2p