Matematică științele naturii, sesiunea august 2024

Corectează-te cu baremul

Ai rezolvat lucrarea pe foaie? Deschide baremul fiecărui item, trece-ți punctele și nota apare pe loc. Rămân salvate pe dispozitivul tău.

Subiectul I

1. 1. Arătați că 2−5i+i(5−3i)=5, unde i²=−1.

   −+din 5
   Arată baremul

   2−5i+i(5−3i)=2−5i+5i−3i²= - 3p =2+3=5 - 2p

2. 2. Se consideră funcția f : ℝ → ℝ, f(x) = 6x + m, unde m este număr real. Determinați numărul real m pentru care f(2) = 15.

   −+din 5
   Arată baremul

   Răspuns: 3

   2. f(2) = 12 + m, deci 12 + m = 15 - 3p m = 3 - 2p

3. 3. Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația 7²ˣ⁺¹ = 7ˣ · 7².

   −+din 5
   Arată baremul

   Răspuns: 1

   3. 7²ˣ⁺¹ = 7ˣ⁺², de unde obținem 2x + 1 = x + 2 - 3p x = 1 - 2p

4. 4. Calculați probabilitatea ca, alegând un număr din mulțimea numerelor naturale de două cifre, acesta să aibă cel puțin…

   −+din 5
   Arată baremul

   Răspuns: 1/5

   4. Mulțimea numerelor naturale de două cifre are 90 de elemente, deci sunt 90 de cazuri posibile - 2p În mulțimea numerelor naturale de două cifre sunt 18 numere care au cel puțin una dintre cifre egală cu 1, deci sunt 18 cazuri favorabile, de unde obținem p = 18/90 = 1/5 - 3p

5. 5. În reperul cartezian xOy se consideră punctele A(2, 5) și B(4, 2). Determinați distanța dintre punctul A și mijlocul…

   −+din 5
   Arată baremul

   Răspuns: 4

   M(2, 1) este mijlocul segmentului OB - 3p AM = 4 - 2p

6. 6. Se consideră triunghiul ABC, dreptunghic în A, cu AB = 5 și BC = 5√5. Arătați că sin C = √5/5.

   −+din 5
   Arată baremul

   sin C = AB/BC = 5/(5√5) = - 3p = 1/√5 = √5/5 - 2p

Subiectul al II-lea

1. 1. a) Arătați că det A=1.

   −+din 5
   Arată baremul

   det A = │2  −1│ = 2·0−(−1)·1= - 3p
           │1   0│

   =0+1=1 - 2p

2. 1. b) Determinați numărul real a pentru care B(4)·B(4)+I₂=aB(4).

   −+din 5
   Arată baremul

   Răspuns: 4

   B(4) = ⎛ 4  1⎞, B(4)·B(4) = ⎛15   4⎞ - 3p
          ⎝−1  0⎠              ⎝−4  −1⎠
   B(4)·B(4)+I₂ = ⎛16  4⎞ = 4B(4), deci 4B(4)=aB(4), de unde obținem a=4 - 2p
                  ⎝−4  0⎠

3. 1. c) Determinați numărul real x pentru care A·B(x)=B(x)·A.

   −+din 5
   Arată baremul

   Răspuns: 1

   A·B(x) = ⎛3x−3  x−2⎞, B(x)·A = ⎛3x−3   −x⎞, pentru orice număr real x - 3p
            ⎝  x   x−3⎠           ⎝−x+2  x−3⎠

   Cum

   ⎛3x−3  x−2⎞ = ⎛3x−3   −x⎞,
   ⎝  x   x−3⎠   ⎝−x+2  x−3⎠

   obținem x=1 - 2p

4. 2. a) Arătați că 0 ∗ 3 = 3.

   −+din 5
   Arată baremul

   0 ∗ 3 = (0 + 3)(4 − 0 − 3) = - 3p = 3 · 1 = 3 - 2p

5. 2. b) Determinați numerele reale x pentru care x ∗ 1 = 0.

   −+din 5
   Arată baremul

   Răspuns: x = −1 sau x = 3

   x ∗ 1 = (x + 1)(3 − x), pentru orice număr real x - 2p (x + 1)(3 − x) = 0, de unde obținem x = −1 sau x = 3 - 3p

6. 2. c) Determinați numerele naturale n pentru care numărul N = (n + 5) ∗ (n − 5) este natural.

   −+din 5
   Arată baremul

   Răspuns: n ∈ {0, 1, 2}

   (n + 5) ∗ (n − 5) = 4n(2 − n), pentru orice număr natural n - 2p Cum n și N = 4n(2 − n) sunt numere naturale, obținem n = 0, n = 1 și n = 2 - 3p

Subiectul al III-lea

1. 1. a) Arătați că f′(x) = (2x² + x − 3)/(x + 1), x ∈ (−1, +∞).

   −+din 5
   Arată baremul

   f′(x) = 2x − 1 − 2/(x + 1) = - 3p = (2x² + 2x − x − 1 − 2)/(x + 1) = (2x² + x − 3)/(x + 1), x ∈ (−1, +∞) - 2p

2. 1. b) Determinați ecuația tangentei la graficul funcției f în punctul de abscisă x = 0, situat pe graficul funcției f.

   −+din 5
   Arată baremul

   Răspuns: y = −3x

   f(0) = 0, f′(0) = −3 - 2p Ecuația tangentei este y − f(0) = f′(0)(x − 0), adică y = −3x - 3p

3. 1. c) Arătați că x² − x ≥ 2ln((x + 1)/2), pentru orice x ∈ (−1, +∞).

   −+din 5
   Arată baremul

   f′(x) = 0 ⇒ x = 1; pentru orice x ∈ (−1, 1], f′(x) ≤ 0, deci f este descrescătoare pe (−1, 1] și, pentru orice x ∈ [1, +∞), f′(x) ≥ 0, deci f este crescătoare pe [1, +∞) - 2p Pentru orice x ∈ (−1, +∞), f(x) ≥ f(1) și, cum f(1) = −2ln2, obținem x² − x ≥ 2ln((x + 1)/2), pentru orice x ∈ (−1, +∞) - 3p

4. 2. a) Arătați că ∫₀³(f(x)−3x) dx=12.

   −+din 5
   Arată baremul

   ∫₀³(f(x)−3x) dx=∫₀³(x²+1) dx=[x³/3+x]₀³= - 3p =27/3+3=12 - 2p

5. 2. b) Arătați că ∫₀¹ 1/(f(x)−x²)² dx=1/4.

   −+din 5
   Arată baremul

   ∫₀¹ 1/(f(x)−x²)² dx=∫₀¹ 1/(3x+1)² dx=(1/3)∫₀¹ (3x+1)′/(3x+1)² dx=[−1/(3(3x+1))]₀¹= - 3p =−1/12+1/3=1/4 - 2p

6. 2. c) Arătați că aria suprafeței plane delimitate de graficul funcției g: ℝ → ℝ, g(x)=(f(x)−x²−1)/eˣ, axa Ox și dreptele de…

   −+din 5
   Arată baremul

   g(x)=3xe⁻ˣ, x∈ℝ, deci A=∫₀¹|g(x)| dx=∫₀¹3x(−e⁻ˣ)′ dx= - 2p =[−3e⁻ˣ(x+1)]₀¹=3(1−2/e) - 3p