Matematică științele naturii, sesiunea iunie-iulie 2025

Corectează-te cu baremul

Ai rezolvat lucrarea pe foaie? Deschide baremul fiecărui item, trece-ți punctele și nota apare pe loc. Rămân salvate pe dispozitivul tău.

Subiectul I

1. 1. Determinați termenul a₃ al progresiei aritmetice (aₙ)ₙ≥₁, în care a₁ = 4 și a₂ = 15.

   −+din 5
   Arată baremul

   Răspuns: 26

   r = a₂ − a₁ = 11, unde r este rația progresiei - 3p a₃ = a₂ + r = 26 - 2p

2. 2. Se consideră funcția f : ℝ → ℝ, f(x) = 3x − 2. Determinați numărul real a pentru care f(a) + f(2) = 2a.

   −+din 5
   Arată baremul

   Răspuns: -2

   f(2) = 4, f(a) = 3a − 2, pentru orice număr real a - 2p 3a − 2 + 4 = 2a, de unde obținem a = −2 - 3p

3. 3. Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația log₂(x² − 3x + 2) = log₂(2 + x).

   −+din 5
   Arată baremul

   Răspuns: x = 0 sau x = 4

   3. x² − 3x + 2 = 2 + x, de unde obținem x² − 4x = 0 - 2p x = 0 sau x = 4, care convin - 3p

4. 4. Determinați câte numere naturale pare, de două cifre distincte, se pot forma cu elementele mulțimii A = {1,2,3,5,7,8}.

   −+din 5
   Arată baremul

   Răspuns: 10

   4. Cifra unităților se poate alege în 2 moduri - 2p Pentru fiecare alegere a cifrei unităților, cifra zecilor se poate alege în câte 5 moduri, deci se pot forma 2 · 5 = 10 numere - 3p

5. 5. În reperul cartezian xOy se consideră punctele A(0,5), B(8,4) și C, mijlocul segmentului OB. Arătați că AO = AC.

   −+din 5
   Arată baremul

   5. C(4,2) - 2p AO = 5, AC = 5, deci AO = AC - 3p

6. 6. Se consideră triunghiul ABC, dreptunghic în A, cu AB = 4 și cos B = 2/3. Arătați că BC = 6.

   −+din 5
   Arată baremul

   6. cos B = AB/BC, deci 2/3 = 4/BC - 3p BC = (3·4)/2 = 6 - 2p

Subiectul al II-lea

1. 1. a) Arătați că det A = 2.

   −+din 5
   Arată baremul

   det A = |−2 8; −1 3| = (−2) · 3 − 8 · (−1) = - 3p = −6 + 8 = 2 - 2p

2. 1. b) Arătați că matricea B = ½(I₂ − A) este inversa matricei A.

   −+din 5
   Arată baremul

   I₂ − A = ⎛3  −8⎞
            ⎝1  −2⎠,
   B = ⎛3/2  −4⎞
       ⎝1/2  −1⎠ - 3p

   A · B = B · A = I₂, deci matricea B este inversa matricei A - 2p

3. 1. c) Determinați matricea X ∈ ℳ₂(ℝ) pentru care (A − I₂) · X = 2A.

   −+din 5
   Arată baremul

   Răspuns: X = ⎛4 −8⎞ ⎝1 −1⎠

   Cum A − I₂ = −2A⁻¹, obținem −2A⁻¹ · X = 2A, deci X = −A · A - 3p

   X = ⎛4  −8⎞
       ⎝1  −1⎠ - 2p

4. 2. a) Arătați că 1 ∗ 4 = 3.

   −+din 5
   Arată baremul

   2.a) 1 ∗ 4 = 1 + 4 − √(1 · 4) = - 3p = 5 − 2 = 3 - 2p

5. 2. b) Determinați x ∈ M pentru care x ∗ (9x) = x².

   −+din 5
   Arată baremul

   Răspuns: x = 0 sau x = 7

   b) x ∗ (9x) = x + 9x − √(9x²) = 7x, pentru orice x ∈ M - 2p 7x = x², de unde obținem x = 0 sau x = 7, care convin - 3p

6. 2. c) Determinați numărul real x pentru care 2ˣ ∗ 2⁽ˣ⁺²⁾ = 6ˣ.

   −+din 5
   Arată baremul

   Răspuns: 1

   c) 2ˣ ∗ 2⁽ˣ⁺²⁾ = 2ˣ + 2⁽ˣ⁺²⁾ − 2⁽ˣ⁺¹⁾ = 2ˣ · 3, pentru orice număr real x - 3p 2ˣ · 3 = 6ˣ, deci 3ˣ = 3, de unde obținem x = 1 - 2p

Subiectul al III-lea

1. 1. a) Arătați că f′(x) = (−3x² − x + 2)/((x² + x + 2)²√x), x ∈ (0, +∞).

   −+din 5
   Arată baremul

   f′(x) = ((1/√x)(x² + x + 2) − 2√x(2x + 1))/(x² + x + 2)² = - 3p = (x² + x + 2 − 4x² − 2x)/((x² + x + 2)²√x) = (−3x² − x + 2)/((x² + x + 2)²√x), x ∈ (0, +∞) - 2p

2. 1. b) Determinați ecuația asimptotei orizontale spre +∞ la graficul funcției f.

   −+din 5
   Arată baremul

   Răspuns: y = 0

   lim(x → +∞) f(x) = lim(x → +∞) 2√x/(x² + x + 2) = lim(x → +∞) 2/(x√x + √x + 2/√x) = 0 - 3p Dreapta de ecuație y = 0 este asimptota orizontală spre +∞ la graficul funcției f - 2p

3. 1. c) Determinați a ∈ (0, +∞) pentru care tangenta la graficul funcției f în punctul A(a, f(a)) este paralelă cu axa Ox.

   −+din 5
   Arată baremul

   Răspuns: a = 2/3

   Tangenta la graficul funcției f în punctul A(a, f(a)) este paralelă cu axa Ox ⇔ f′(a) = 0, a ∈ (0, +∞) - 3p (−3a² − a + 2)/((a² + a + 2)²√a) = 0, de unde obținem a = −1, care nu convine, sau a = 2/3, care convine - 2p

4. 2. a) Arătați că ∫₀² (f(x) − 3x − 3) dx = 4.

   −+din 5
   Arată baremul

   2.a) ∫₀² (f(x) − 3x − 3) dx = ∫₀² x³ dx = [x⁴/4]₀² = - 3p = 4 − 0 = 4 - 2p

5. 2. b) Arătați că ∫₀¹ 1/(f(x) − x³)² dx = 1/18.

   −+din 5
   Arată baremul

   b) ∫₀¹ 1/(f(x) − x³)² dx = (1/3) ∫₀¹ (3x + 3)′/(3x + 3)² dx = −(1/3) · [1/(3x + 3)]₀¹ = - 3p = −1/18 + 1/9 = 1/18 - 2p

6. 2. c) Determinați numărul real m pentru care ∫₁ᵉ ((f(x) − 3)/x²) · ln x dx = (e² + m)/4.

   −+din 5
   Arată baremul

   Răspuns: 7

   c) ∫₁ᵉ ((f(x) − 3)/x²) · ln x dx = ∫₁ᵉ (x²/2)′ · ln x dx + ∫₁ᵉ (3 ln x)/x dx = [(x²/2) · ln x − x²/4]₁ᵉ + [3 ln² x/2]₁ᵉ = (e² + 7)/4 - 3p (e² + m)/4 = (e² + 7)/4, de unde obținem m = 7 - 2p