Matematică științele naturii, sesiunea iunie-iulie 2026

Corectează-te cu baremul

Ai rezolvat lucrarea pe foaie? Deschide baremul fiecărui item, trece-ți punctele și nota apare pe loc. Rămân salvate pe dispozitivul tău.

Subiectul I

1. 1. Arătați că (4,9 − 3,4) : 3 + 2,5 = 3.

   −+din 5
   Arată baremul

   (4,9 − 3,4) : 3 + 2,5 = 1,5 : 3 + 2,5 = - 2p = 0,5 + 2,5 = 3 - 3p

2. 2. Se consideră funcția f : ℝ → ℝ, f(x) = 2x − 21. Determinați numărul real a pentru care punctul A(−3a, a) aparține…

   −+din 5
   Arată baremul

   Răspuns: -3

   f(−3a) = a - 2p −6a − 21 = a, de unde obținem a = −3 - 3p

3. 3. Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația log₇(1 + 2x − x²) = log₇(3 − x).

   −+din 5
   Arată baremul

   Răspuns: x ∈ {1, 2}

   1 + 2x − x² = 3 − x, de unde obținem x² − 3x + 2 = 0 - 2p x = 1 sau x = 2, care convin - 3p

4. 4. Determinați probabilitatea ca, alegând un număr din mulțimea numerelor naturale de două cifre, acesta să fie multiplu…

   −+din 5
   Arată baremul

   Răspuns: 1/18

   Mulțimea numerelor naturale de două cifre are 90 de elemente, deci sunt 90 de cazuri posibile - 2p În mulțimea numerelor naturale de două cifre sunt 5 multipli impari de 11, deci sunt 5 cazuri favorabile, de unde obținem p = 5/90 = 1/18 - 3p

5. 5. În reperul cartezian xOy se consideră punctele A(0,5), B(2,0) și C(4,2). Arătați că triunghiul ADC este isoscel, unde…

   −+din 5
   Arată baremul

   D(3,1), AD = 5 - 3p AC = 5, deci triunghiul ADC este isoscel - 2p

6. 6. Se consideră triunghiul ABC, dreptunghic în A, cu tg B = 1/3 și aria egală cu 24. Arătați că AC = 4.

   −+din 5
   Arată baremul

   AC/AB = 1/3, deci AB = 3AC - 2p (AB · AC)/2 = 24, deci AC² = 16, de unde obținem AC = 4 - 3p

Subiectul al II-lea

1. 1. a) Arătați că det(A(1)) = 2.

   −+din 5
   Arată baremul

   A(1) = ⎛ 4  −1⎞
          ⎝−2   1⎠
   ⇒ det(A(1)) = det⎛ 4  −1⎞ = 4 · 1 − (−1) · (−2) =
                    ⎝−2   1⎠

   - 3p = 4 − 2 = 2 - 2p

2. 1. b) Determinați numărul real x pentru care A(0)·(6I₂ − A(2) − A(−2)) = xI₂.

   −+din 5
   Arată baremul

   Răspuns: 4

   A(0) = ⎛ 2  0⎞
          ⎝−3  1⎠,
   6I₂ − A(2) − A(−2) = ⎛2  0⎞
                         ⎝6  4⎠,
   A(0)·(6I₂ − A(2) − A(−2)) = ⎛4  0⎞ = 4I₂ - 3p
                                ⎝0  4⎠

   4I₂ = xI₂, de unde obținem x = 4 - 2p

3. 1. c) Determinați matricea X ∈ ℳ₂(ℝ) pentru care A(1)·X·A(1) = 4I₂.

   −+din 5
   Arată baremul

   Răspuns: X = ⎛ 3 5⎞ ⎝10 18⎠

   Cum det(A(1)) ≠ 0, X = 4(A(1))⁻¹·(A(1))⁻¹ - 2p

   (A(1))⁻¹ = ⎛1/2  1/2⎞
              ⎝ 1    2 ⎠,

   de unde obținem

   X = ⎛ 3   5⎞
       ⎝10  18⎠ - 3p

4. 2. a) Arătați că f(1) = 3, pentru orice număr real a.

   −+din 5
   Arată baremul

   Reguli generale:

   2. a) f(1) = 1³ − a·1 + 2 + a = - 3p = 1 + 2 = 3, pentru orice număr real a - 2p

5. 2. b) Determinați numărul real a pentru care polinomul f este divizibil cu polinomul g = X + 2.

   −+din 5
   Arată baremul

   Răspuns: 2

   f(−2) = 3a − 6, pentru orice număr real a - 3p 3a − 6 = 0, de unde obținem a = 2 - 2p

6. 2. c) Determinați numărul real a pentru care x₁³ + x₂³ + x₃³ = x₁x₂ + x₁x₃ + x₂x₃, unde x₁, x₂ și x₃ sunt rădăcinile…

   −+din 5
   Arată baremul

   Răspuns: -3

   x₁ + x₂ + x₃ = 0, x₁x₂ + x₁x₃ + x₂x₃ = −a, pentru orice număr real a - 2p f(x₁) = 0, f(x₂) = 0, f(x₃) = 0, de unde rezultă x₁³ + x₂³ + x₃³ = −3a − 6, deci −3a − 6 = −a, de unde obținem a = −3 - 3p

Subiectul al III-lea

1. 1. a) Arătați că f′(x) = eˣ(2x + 3)(x − 1), x ∈ ℝ.

   −+din 5
   Arată baremul

   f′(x) = eˣ(2x² − 3x) + eˣ(4x − 3) = - 3p = eˣ(2x² + x − 3) = eˣ(2x + 3)(x − 1), x ∈ ℝ - 2p

2. 1. b) Arătați că lim(x→0) (f(x) − x)/(f(x) + x) = 2.

   −+din 5
   Arată baremul

   lim(x→0) (f(x) − x)/(f(x) + x) = lim(x→0) (f(x) − x)′/(f(x) + x)′ = - 2p = lim(x→0) [eˣ(2x + 3)(x − 1) − 1]/[eˣ(2x + 3)(x − 1) + 1] = (−3 − 1)/(−3 + 1) = 2 - 3p

3. 1. c) Determinați numerele reale a pentru care tangenta la graficul funcției f în punctul de abscisă x = a, situat pe…

   −+din 5
   Arată baremul

   Răspuns: a ∈ {−3/2, 1}

   f′(a) = 0, deci eᵃ(2a + 3)(a − 1) = 0 - 3p a = −3/2 sau a = 1 - 2p

4. 2. a) Arătați că ∫₀³ f(x)/√(x + 1) dx = 36.

   −+din 5
   Arată baremul

   ∫₀³ f(x)/√(x + 1) dx = ∫₀³ (2x² + 4x) dx = [2x³/3]₀³ + [2x²]₀³ = - 3p = 18 + 18 = 36 - 2p

5. 2. b) Arătați că ∫₃⁸ (x² + 2x)/f(x) dx = 1.

   −+din 5
   Arată baremul

   ∫₃⁸ (x² + 2x)/f(x) dx = ∫₃⁸ 1/(2√(x + 1)) dx = ∫₃⁸ (x + 1)′/(2√(x + 1)) dx = [√(x + 1)]₃⁸ = - 3p = 3 − 2 = 1 - 2p

6. 2. c) Se consideră funcția g : (0, +∞) → ℝ, g(x) = 4√(x + 1)/f(x). Determinați aria suprafeței plane delimitate de graficul…

   −+din 5
   Arată baremul

   Răspuns: ln 2

   Reguli generale:

   2. c) g(x) = 2/(x² + 2x), x ∈ (0, +∞), deci A = ∫₁⁴ |g(x)| dx = ∫₁⁴ 2/[x(x + 2)] dx = ∫₁⁴ (1/x − 1/(x + 2)) dx = - 3p = [ln x]₁⁴ − [ln(x + 2)]₁⁴ = ln 2 - 2p