Matematică tehnologic, simulare 2021

Corectează-te cu baremul

Ai rezolvat lucrarea pe foaie? Deschide baremul fiecărui item, trece-ți punctele și nota apare pe loc. Rămân salvate pe dispozitivul tău.

Subiectul I

1. 1. Arătați că (1 + 3i)² − 6i = −8, unde i² = −1.

   −+din 5
   Arată baremul

   1. (1 + 3i)² − 6i = 1 + 6i + 9i² − 6i = - 3p = 1 − 9 = −8 - 2p

2. 2. Se consideră funcțiile f : ℝ → ℝ, f(x) = x + 1 și g : ℝ → ℝ, g(x) = 3x − 7. Determinați coordonatele punctului de…

   −+din 5
   Arată baremul

   Răspuns: (4, 5)

   2. f(x) = g(x) ⇔ x + 1 = 3x − 7 - 3p Coordonatele punctului de intersecție sunt x = 4 și y = 5 - 2p

3. 3. Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația √(3 − x) = 2x.

   −+din 5
   Arată baremul

   Răspuns: x = 3/4

   3 − x = 4x² ⇒ 4x² + x − 3 = 0 - 3p x = −1, care nu convine; x = 3/4, care convine - 2p

4. 4. Arătați că numărul de submulțimi cu două elemente ale mulțimii A = {1, 2, 3, 4, 5} este egal cu numărul de submulțimi…

   −+din 5
   Arată baremul

   Numărul de submulțimi cu două elemente ale mulțimii A este egal cu C₅² = 5!/(3! · 2!) = 10 - 2p Numărul de submulțimi cu trei elemente ale mulțimii A este egal cu C₅³ = 5!/(2! · 3!) = 10, deci numărul de submulțimi cu două elemente ale mulțimii A este egal cu numărul de submulțimi cu trei elemente ale mulțimii A - 3p

5. 5. În reperul cartezian xOy se consideră punctele A(1, 2), B(−1, 0) și C(0, a), unde a este număr real. Determinați…

   −+din 5
   Arată baremul

   Răspuns: 1

   m_AB = 1, m_AC = −a + 2, unde a este număr real - 2p m_AB = m_AC, de unde obținem a = 1 - 3p

6. 6. Se consideră numărul real x ∈ (0, π/2) astfel încât cos x + sin(π/6) = 1. Calculați sin x.

   −+din 5
   Arată baremul

   Răspuns: √3/2

   6. sin(π/6) = 1/2, deci cos x + 1/2 = 1 ⇒ cos x = 1/2 - 2p sin² x + 1/4 = 1 ⇔ sin² x = 3/4 și, cum x ∈ (0, π/2), obținem că sin x = √3/2 - 3p

Subiectul al II-lea

1. 1. a) Arătați că det A = 0.

   −+din 5
   Arată baremul

   1. a) det A = | 2 4; −1 −2 | = 2·(−2) − 4·(−1) = - 3p = −4 + 4 = 0 - 2p

2. 1. b) Demonstrați că M(x)·M(1) = xM(1), pentru orice număr real x.

   −+din 5
   Arată baremul

   b)

   M(1) = ⎛ 0 −2 ⎞
          ⎝ 0  1 ⎠
   și M(x) = ⎛ 2−2x   4−6x ⎞
             ⎝ −1+x  −2+3x ⎠,

   pentru orice număr real x - 2p

   M(x)·M(1) = ⎛ 0 −2x ⎞ = x⎛ 0 −2 ⎞ = xM(1),
               ⎝ 0   x ⎠    ⎝ 0  1 ⎠

   pentru orice număr real x - 3p

3. 1. c) Determinați numărul natural n, știind că M(4)·M(3)·M(2)·M(1) = nM(1).

   −+din 5
   Arată baremul

   Răspuns: 24

   c) M(4)·M(3)·(M(2)·M(1)) = M(4)·M(3)·(2M(1)) = 2M(4)·(M(3)·M(1)) = 2·3·4M(1) - 3p Cum 2·3·4M(1) = nM(1), obținem n = 24 - 2p

4. 2. a) Arătați că 1 * 2 = 7.

   −+din 5
   Arată baremul

   2.a) 1 * 2 = 1 + 2 + 1² · 2² = - 3p = 1 + 2 + 4 = 7 - 2p

5. 2. b) Demonstrați că e = 0 este elementul neutru al legii de compoziție „*”.

   −+din 5
   Arată baremul

   b) x * 0 = x + 0 + 0 = x, pentru orice număr real x - 2p 0 * x = 0 + x + 0 = x, pentru orice număr real x, deci e = 0 este elementul neutru al legii de compoziție „*” - 3p

6. 2. c) Determinați numerele întregi x pentru care (−2) * x ≤ 3.

   −+din 5
   Arată baremul

   Răspuns: x ∈ {−1, 0, 1}

   c) −2 + x + 4x² ≤ 3, deci 4x² + x − 5 ≤ 0 - 2p x ∈ [−5/4, 1] și, cum x este număr întreg, obținem x = −1 sau x = 0 sau x = 1 - 3p

Subiectul al III-lea

1. 1. a) Arătați că f′(x) = eˣ + 4x³ − 2, x ∈ ℝ.

   −+din 5
   Arată baremul

   1. a) f′(x) = (eˣ)′ + (x⁴)′ − (2x)′ + (2)′ = - 2p = eˣ + 4x³ − 2 + 0 = eˣ + 4x³ − 2, x ∈ ℝ - 3p

2. 1. b) Determinați ecuația tangentei la graficul funcției f în punctul de abscisă x = 0, situat pe graficul funcției f.

   −+din 5
   Arată baremul

   Răspuns: y = −x + 3

   b) f(0) = 3, f′(0) = −1 - 2p Ecuația tangentei este y − f(0) = f′(0)(x − 0), adică y = −x + 3 - 3p

3. 1. c) Demonstrați că funcția f este convexă.

   −+din 5
   Arată baremul

   c) f″(x) = eˣ + 12x², x ∈ ℝ - 3p f″(x) ≥ 0, pentru orice număr real x, deci funcția f este convexă - 2p

4. 2. a) Arătați că ∫₁³ (f(x) + 1/x) dx = 4.

   −+din 5
   Arată baremul

   ∫₁³ f(x) dx = ∫₁³ (x − 1/x + 1/x) dx = ∫₁³ x dx = [x²/2]₁³ = - 3p = 9/2 − 1/2 = 4 - 2p

5. 2. b) Arătați că ∫₁² (f(x) + 1/x) ln x dx = 2 ln 2 − 3/4.

   −+din 5
   Arată baremul

   ∫₁² (f(x) + 1/x) ln x dx = ∫₁² x ln x dx = ∫₁² (x²/2)′ ln x dx = [(x²/2) ln x]₁² − ∫₁² (x²/2) · (1/x) dx = - 3p = (4/2) ln 2 − (1/2) ln 1 − [x²/4]₁² = 2 ln 2 − 3/4 - 2p

6. 2. c) Determinați cel mai mare număr natural nenul n pentru care ∫₁^{√2} xⁿ⁺¹ fⁿ(x) dx ≥ 1/2021.

   −+din 5
   Arată baremul

   Răspuns: 1009

   ∫₁^{√2} xⁿ⁺¹ fⁿ(x) dx = ∫₁^{√2} x(x² − 1)ⁿ dx = (1/2) ∫₁^{√2} (x² − 1)′(x² − 1)ⁿ dx = [(x² − 1)ⁿ⁺¹/(2(n + 1))]₁^{√2} = 1/(2(n + 1)) - 3p Cum 2(n + 1) ≤ 2021 ⇔ n ≤ 2019/2, obținem că 1009 este cel mai mare număr natural nenul pentru care ∫₁^{√2} xⁿ⁺¹ fⁿ(x) dx ≥ 1/2021 - 2p