Subiectul al III-lea, 2. c)

∫₁^{√2} xⁿ⁺¹ fⁿ(x) dx = ∫₁^{√2} x(x² − 1)ⁿ dx = (1/2) ∫₁^{√2} (x² − 1)′(x² − 1)ⁿ dx = [(x² − 1)ⁿ⁺¹/(2(n + 1))]₁^{√2} = 1/(2(n + 1)) - 3p Cum 2(n + 1) ≤ 2021 ⇔ n ≤ 2019/2, obținem că 1009 este cel mai mare număr natural nenul pentru care ∫₁^{√2} xⁿ⁺¹ fⁿ(x) dx ≥ 1/2021 - 2p