Matematică tehnologic, model de subiect 2022

Corectează-te cu baremul

Ai rezolvat lucrarea pe foaie? Deschide baremul fiecărui item, trece-ți punctele și nota apare pe loc. Rămân salvate pe dispozitivul tău.

Subiectul I

1. 1. Arătați că (√8 + 1) · (2√2 − 1) − √36 = 1.

   −+din 5
   Arată baremul

   Reguli generale:

   SUBIECTUL I, 1. (√8 + 1) · (2√2 − 1) − √36 = (2√2)² − 1 − 6 = - 3p = 8 − 7 = 1 - 2p

2. 2. Se consideră funcțiile f : ℝ → ℝ, f(x) = 5x − 1 și g : ℝ → ℝ, g(x) = 5 + 2x. Determinați coordonatele punctului de…

   −+din 5
   Arată baremul

   Răspuns: (2, 9)

   f(x) = g(x) ⇔ 5x − 1 = 5 + 2x - 2p Coordonatele punctului de intersecție a graficelor funcțiilor f și g sunt x = 2 și y = 9 - 3p

3. 3. Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația √(x² + 6x) = x.

   −+din 5
   Arată baremul

   Răspuns: 0

   x² + 6x = x² - 3p x = 0, care convine - 2p

4. 4. Determinați probabilitatea ca, alegând un număr n din mulțimea A = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}, numărul 4 · n să…

   −+din 5
   Arată baremul

   Răspuns: 3/10

   4. Mulțimea A are 10 elemente, deci sunt 10 cazuri posibile - 2p Numerele n din mulțimea A pentru care numărul 4 · n este element al mulțimii A sunt 0, 1 și 2, deci sunt 3 cazuri favorabile - 2p p = (nr. cazuri favorabile)/(nr. cazuri posibile) = 3/10 - 1p

5. 5. În reperul cartezian xOy se consideră punctele A(2,1), B(3,4) și C, astfel încât punctul A este mijlocul segmentului…

   −+din 5
   Arată baremul

   Reguli generale:

   SUBIECTUL I, 5. 2 = (3 + x_C)/2 și 1 = (4 + y_C)/2, deci punctul C are coordonatele x_C = 1 și y_C = −2 - 2p OA = √5, OC = √5 și AC = √10, deci OA² + OC² = AC², de unde obținem că triunghiul AOC este dreptunghic isoscel - 3p

6. 6. Se consideră triunghiul ascuțitunghic ABC în care sin 30° · sin A = cos 60° · cos A. Calculați tg A.

   −+din 5
   Arată baremul

   Răspuns: 1

   6. sin 30° = 1/2, cos 60° = 1/2 - 2p (1/2) · sin A = (1/2) · cos A, deci sin A = cos A, de unde obținem tg A = 1 - 3p

Subiectul al II-lea

1. 1. a) Arătați că det A = 3.

   −+din 5
   Arată baremul

   det A = | 3 −6 | | 2 −3 | = 3 · (−3) − (−6) · 2 = - 3p = −9 + 12 = 3 - 2p

2. 1. b) Determinați numărul real x pentru care A · A + A = 2B(x).

   −+din 5
   Arată baremul

   Răspuns: -1

   A · A = ⎛ −3   0 ⎞ ⇒ A · A + A = ⎛ 0  −6 ⎞
           ⎝  0  −3 ⎠               ⎝ 2  −6 ⎠ - 2p
   A · A + A = 2 ⎛ 0  −3 ⎞ = 2B(−1), de unde obținem x = −1 - 3p
                 ⎝ 1  −3 ⎠

3. 1. c) Determinați numărul real a pentru care det(B(a) · A + B(3a)) = 4.

   −+din 5
   Arată baremul

   Răspuns: 1/9

   B(a) · A = ⎛ 2a − 4  −3a + 6 ⎞,
              ⎝ 3 + 6a  −6 − 9a ⎠
   B(3a) = ⎛ 0  3a − 2 ⎞,
           ⎝ 1    9a   ⎠,
   deci B(a) · A + B(3a) = ⎛ 2a − 4   4 ⎞,
                          ⎝ 4 + 6a  −6 ⎠,

   pentru orice număr real a - 3p det(B(a) · A + B(3a)) = −36a + 8, pentru orice număr real a, deci −36a + 8 = 4 ⇒ a = 1/9 - 2p

4. 2. a) Arătați că 1 ∗ 2 = 9.

   −+din 5
   Arată baremul

   Reguli generale:

   SUBIECTUL al II-lea, 2. a) 1 ∗ 2 = (1 · 2 + 1)(1 + 2) = - 3p = 3 · 3 = 9 - 2p

5. 2. b) Arătați că e = 0 este elementul neutru al legii de compoziție „∗”.

   −+din 5
   Arată baremul

   Reguli generale:

   SUBIECTUL al II-lea, 2. b) x ∗ 0 = (x · 0 + 1)(x + 0) = 1 · x = x, pentru orice număr real x - 2p 0 ∗ x = (0 · x + 1)(0 + x) = 1 · x = x, pentru orice număr real x, deci e = 0 este elementul neutru al legii de compoziție „∗” - 3p

6. 2. c) Determinați numerele naturale nenule n pentru care numărul N = n ∗ (1/n) este întreg.

   −+din 5
   Arată baremul

   Răspuns: n = 1 sau n = 2

   Reguli generale:

   SUBIECTUL al II-lea, 2. c) N = 2(n + 1/n) = 2n + 2/n, pentru orice număr natural nenul n - 2p N este număr întreg, deci 2/n este număr întreg și, cum n este număr natural nenul, obținem n = 1 sau n = 2 - 3p

Subiectul al III-lea

1. 1. a) Arătați că f′(x) = x(eˣ − 1), x ∈ ℝ.

   −+din 5
   Arată baremul

   Reguli generale:

   SUBIECTUL al III-lea, 1. a) f′(x) = eˣ + (x − 1)eˣ − 2x/2 = - 3p = xeˣ − x = x(eˣ − 1), x ∈ ℝ - 2p

2. 1. b) Arătați că lim(x → 0) [(f(x) − f(0))/x²] = 0.

   −+din 5
   Arată baremul

   Reguli generale:

   SUBIECTUL al III-lea, 1. b) lim(x → 0) [(f(x) − f(0))/x²] = lim(x → 0) [f′(x)/(x²)′] = - 2p = lim(x → 0) [x(eˣ − 1)/(2x)] = lim(x → 0) [(eˣ − 1)/2] = 0 - 3p

3. 1. c) Arătați că f(x) ≤ f(x²), pentru orice x ∈ (−∞,0].

   −+din 5
   Arată baremul

   Reguli generale:

   SUBIECTUL al III-lea, 1. c) f′(x) ≥ 0, pentru orice x ∈ ℝ ⇒ f este crescătoare pe ℝ - 2p Cum x ≤ 0 ≤ x², pentru orice x ∈ (−∞,0], obținem f(x) ≤ f(x²), pentru orice x ∈ (−∞,0] - 3p

4. 2. a) Arătați că ∫₁² (x + 4)f(x) dx = 6.

   −+din 5
   Arată baremul

   ∫₁² (x + 4)f(x) dx = ∫₁² 4x dx = [2x²]₁² = - 3p = 8 − 2 = 6 - 2p

5. 2. b) Arătați că ∫₁⁴ (1/x) · f(x²) dx = 4 ln 2.

   −+din 5
   Arată baremul

   ∫₁⁴ (1/x) · f(x²) dx = 2∫₁⁴ 2x/(x² + 4) dx = 2∫₁⁴ (x² + 4)′ · 1/(x² + 4) dx = [2 ln(x² + 4)]₁⁴ = - 3p = 2 ln 20 − 2 ln 5 = 4 ln 2 - 2p

6. 2. c) Demonstrați că orice primitivă a funcției f este convexă.

   −+din 5
   Arată baremul

   Dacă F : (−4, +∞) → ℝ este o primitivă a funcției f, atunci F′(x) = f(x), pentru orice x ∈ (−4, +∞) - 2p F″(x) = f′(x) = 16/(x + 4)² > 0, pentru orice x ∈ (−4, +∞), deci orice primitivă a funcției f este convexă - 3p