Matematică tehnologic, sesiunea specială 2023

Corectează-te cu baremul

Ai rezolvat lucrarea pe foaie? Deschide baremul fiecărui item, trece-ți punctele și nota apare pe loc. Rămân salvate pe dispozitivul tău.

Subiectul I

1. 1. Calculați termenul a₃ al progresiei aritmetice (aₙ)ₙ≥₁, știind că a₁ = 10 și a₂ = 20.

   −+din 5
   Arată baremul

   Răspuns: 30

   r = a₂ − a₁ = 10, unde r este rația progresiei aritmetice - 2p a₃ = a₂ + r = 20 + 10 = 30 - 3p

2. 2. Se consideră funcția f : ℝ → ℝ, f(x) = 2x + 4. Arătați că f(0) + f(1) = 10.

   −+din 5
   Arată baremul

   f(0) = 4 - 2p f(1) = 6 ⇒ f(0) + f(1) = 4 + 6 = 10 - 3p

3. 3. Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația log₂(x − 4) = log₂ 4.

   −+din 5
   Arată baremul

   Răspuns: 8

   x − 4 = 4 - 3p x = 8, care convine - 2p

4. 4. Un produs costă 80 de lei. Determinați prețul produsului după o ieftinire cu 20%.

   −+din 5
   Arată baremul

   Răspuns: 64 de lei

   (20/100) · 80 = 16 lei - 2p Prețul după ieftinire este 80 − 16 = 64 de lei - 3p

5. 5. În reperul cartezian xOy se consideră punctele M(0, 2) și N(3, 6). Arătați că distanța dintre punctele M și N este…

   −+din 5
   Arată baremul

   MN = √(9 + 16) = - 3p = √25 = 5 - 2p

6. 6. Se consideră triunghiul ABC dreptunghic în A, cu AB = 4 și măsura unghiului C egală cu 45°. Arătați că aria…

   −+din 5
   Arată baremul

   AC = 4 - 3p 𝒜△ABC = (4 · 4)/2 = 8 - 2p

Subiectul al II-lea

1. 1. a) Arătați că det(A(2)) = 9.

   −+din 5
   Arată baremul

   A(2) = ⎛2   5⎞
          ⎝−1  2⎠

   ⇒ det(A(2)) = 2 · 2 − 5 · (−1) = - 3p = 4 + 5 = 9 - 2p

2. 1. b) Arătați că A(a) + A(−a) = 2A(0), pentru orice număr real a.

   −+din 5
   Arată baremul

   A(a) + A(−a) =

   ⎛a   a + 3⎞ + ⎛−a  −a + 3⎞ = ⎛ 0  6⎞ =
   ⎝−1    2  ⎠   ⎝−1     2  ⎠   ⎝−2  4⎠

   - 3p

   = 2 ⎛ 0  3⎞ = 2A(0), pentru orice număr real a - 2p
       ⎝−1  2⎠

3. 1. c) Determinați numerele reale a pentru care det(A(a) · A(−1) − aI₂) = 0.

   −+din 5
   Arată baremul

   Răspuns: a = −1/3 sau a = 0

   A(a) · A(−1) = ⎛−2a − 3  4a + 6⎞
                  ⎝  −1       2   ⎠
   ⇒ A(a) · A(−1) − aI₂ = ⎛−3a − 3  4a + 6⎞
                          ⎝  −1      2 − a ⎠,

   de unde obținem det(A(a) · A(−1) − aI₂) = 3a² + a, pentru orice număr real a - 3p 3a² + a = 0, de unde obținem a = −1/3 sau a = 0 - 2p

4. 2. a) Arătați că f(0) = −4, pentru orice număr real m.

   −+din 5
   Arată baremul

   f(0) = 0³ + 3 · 0² + m · 0 − 4 = - 3p = 0 + 0 + 0 − 4 = −4, pentru orice număr real m - 2p

5. 2. b) Determinați numărul real m, știind că −1 este rădăcină a polinomului f.

   −+din 5
   Arată baremul

   Răspuns: -2

   f(−1) = −m − 2, pentru orice număr real m - 2p f(−1) = 0, de unde obținem m = −2 - 3p

6. 2. c) Determinați numerele naturale m pentru care x₁² + x₂² + x₃² > 5, unde x₁, x₂ și x₃ sunt rădăcinile polinomului f.

   −+din 5
   Arată baremul

   Răspuns: m = 0 sau m = 1

   x₁ + x₂ + x₃ = −3, x₁x₂ + x₂x₃ + x₃x₁ = m, x₁² + x₂² + x₃² = 9 − 2m, pentru orice număr natural m - 3p 9 − 2m > 5 și, cum m este număr natural, obținem m = 0 sau m = 1 - 2p

Subiectul al III-lea

1. 1. a) Arătați că f′(x) = ((2x − 1)(x − 1))/x, x ∈ (0, +∞).

   −+din 5
   Arată baremul

   f′(x) = 2x − 3 + 1/x = - 3p = (2x² − 3x + 1)/x = ((2x − 1)(x − 1))/x, x ∈ (0, +∞) - 2p

2. 1. b) Determinați ecuația tangentei la graficul funcției f în punctul de abscisă x = 1, situat pe graficul funcției f.

   −+din 5
   Arată baremul

   Răspuns: y = 2

   f(1) = 2, f′(1) = 0 - 2p Ecuația tangentei este y − f(1) = f′(1)(x − 1), adică y = 2 - 3p

3. 1. c) Demonstrați că f(x) ≤ 11/4 − ln 2, pentru orice x ∈ (0, 1].

   −+din 5
   Arată baremul

   f′(x) = 0 ⇔ x = 1/2 sau x = 1; f′(x) ≥ 0, pentru orice x ∈ (0, 1/2] ⇒ f este crescătoare pe (0, 1/2] și f′(x) ≤ 0, pentru orice x ∈ [1/2, 1] ⇒ f este descrescătoare pe [1/2, 1] - 3p f(x) ≤ f(1/2), pentru orice x ∈ (0, 1] și, cum f(1/2) = 11/4 − ln 2, obținem f(x) ≤ 11/4 − ln 2, pentru orice x ∈ (0, 1] - 2p

4. 2. a) Arătați că ∫₁³ (f(x) − 6/(2x + 3)) dx = e(e² − 1).

   −+din 5
   Arată baremul

   ∫₁³ (f(x) − 6/(2x + 3)) dx = ∫₁³ eˣ dx = [eˣ]₁³ = - 3p = e³ − e = e(e² − 1) - 2p

5. 2. b) Arătați că ∫₋₁⁰ (f(x) − eˣ) dx = 3 ln 3.

   −+din 5
   Arată baremul

   ∫₋₁⁰ (f(x) − eˣ) dx = ∫₋₁⁰ 6/(2x + 3) dx = 3∫₋₁⁰ (2x + 3)′/(2x + 3) dx = [3 ln(2x + 3)]₋₁⁰ = - 3p = 3(ln 3 − ln 1) = 3 ln 3 - 2p

6. 2. c) Arătați că suprafața plană delimitată de graficul funcției g : (−3/2, +∞) → ℝ, g(x) = (2x² + 3x)f(x), axa Ox și…

   −+din 5
   Arată baremul

   g(x) = (2x² + 3x)eˣ + 6x, x ∈ (−3/2, +∞), deci 𝒜 = ∫₀¹ |g(x)| dx = ∫₀¹ ((2x² + 3x)eˣ + 6x) dx = = [(2x² + 3x)eˣ]₀¹ − [(4x + 3)eˣ]₀¹ + [4eˣ]₀¹ + [3x²]₀¹ = - 3p = 5e − 7e + 3 + 4e − 4 + 3 = 2e + 2 = 2(e + 1) - 2p