Matematică tehnologic, subiect de rezervă 2024, sesiunea august

Corectează-te cu baremul

Ai rezolvat lucrarea pe foaie? Deschide baremul fiecărui item, trece-ți punctele și nota apare pe loc. Rămân salvate pe dispozitivul tău.

Subiectul I

1. 1. Arătați că (1/2 + 1/4)·4/3 = 1.

   −+din 5
   Arată baremul

   1. (1/2 + 1/4)·4/3 = (2/4 + 1/4)·4/3 = - 2p = 3/4·4/3 = 1 - 3p

2. 2. Se consideră funcția f : ℝ → ℝ, f(x) = 2x − 8. Determinați numărul real a pentru care f(a) = 0.

   −+din 5
   Arată baremul

   Răspuns: 4

   2. f(a) = 2a − 8, pentru orice număr real a - 2p 2a − 8 = 0, de unde obținem a = 4 - 3p

3. 3. Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația √(3x − 2) = 1.

   −+din 5
   Arată baremul

   Răspuns: 1

   3. 3x − 2 = 1, de unde obținem 3x = 3 - 3p x = 1, care convine - 2p

4. 4. Calculați probabilitatea ca, alegând un număr n din mulțimea A = {11,12,13,14,15,16,17,18,19,20}, acesta să aibă suma…

   −+din 5
   Arată baremul

   Răspuns: 1/5

   4. Mulțimea A are 10 elemente, deci sunt 10 cazuri posibile - 2p Numerele, din mulțimea A, care au suma cifrelor egală cu 2 sunt 11 și 20, deci sunt 2 cazuri favorabile, de unde obținem p = 2/10 = 1/5 - 3p

5. 5. În reperul cartezian xOy se consideră punctele A(3,4) și B(6,8). Arătați că OA = AB.

   −+din 5
   Arată baremul

   5. OA = √(3² + 4²) = 5 - 2p AB = √(3² + 4²) = 5, deci OA = AB - 3p

6. 6. Se consideră triunghiul ABC, dreptunghic în A, cu AB = 12, AC = 8 și punctul M mijlocul laturii AB. Arătați că CM = 10.

   −+din 5
   Arată baremul

   6. AM = 6 - 2p CM = √(AC² + AM²) = 10 - 3p

Subiectul al II-lea

1. 1. a) Arătați că det(A(2)) = 0.

   −+din 5
   Arată baremul

   1.a) A(2) = ⎛1  2⎞
               ⎝1  2⎠

   ⇒ det(A(2)) = |1 2; 1 2| = 1·2 − 1·2 = - 3p = 2 − 2 = 0 - 2p

2. 1. b) Arătați că A(3) + 2I₂ = A(5).

   −+din 5
   Arată baremul

   b) A(3) + 2I₂ =

   ⎛2  2⎞   ⎛2  0⎞   ⎛4  2⎞
   ⎝1  3⎠ + ⎝0  2⎠ = ⎝1  5⎠ = - 3p
   = ⎛5 − 1  2⎞
     ⎝  1    5⎠ = A(5) - 2p

3. 1. c) Determinați numerele reale x pentru care det(A(x) + xI₂) = 0.

   −+din 5
   Arată baremul

   Răspuns: x = 1 sau x = −1/2

   c) A(x) + xI₂ =

   ⎛x − 1  2⎞   ⎛x  0⎞   ⎛2x − 1   2⎞
   ⎝  1    x⎠ + ⎝0  x⎠ = ⎝   1    2x⎠

   și det(A(x) + xI₂) = 4x² − 2x − 2, pentru orice număr real x - 3p 4x² − 2x − 2 = 0, de unde obținem x = 1 sau x = −1/2 - 2p

4. 2. a) Arătați că 2 ∘ 1 = 5.

   −+din 5
   Arată baremul

   2.a) 2 ∘ 1 = 2 · 2 + 2 · 1 − 1 = - 3p = 4 + 2 − 1 = 5 - 2p

5. 2. b) Determinați numărul real x pentru care x ∘ (x + 1) = 5.

   −+din 5
   Arată baremul

   Răspuns: 1

   2.b) x ∘ (x + 1) = 2x + 2(x + 1) − 1 = 4x + 1, pentru orice număr real x - 3p 4x + 1 = 5, de unde obținem x = 1 - 2p

6. 2. c) Arătați că x ∘ x ≤ 4x², pentru orice număr real x.

   −+din 5
   Arată baremul

   2.c) x ∘ x = 4x − 1, pentru orice număr real x - 2p 4x − 1 = −4x² + 4x − 1 + 4x² = −(2x − 1)² + 4x² ≤ 4x², pentru orice număr real x - 3p

Subiectul al III-lea

1. 1. a) Arătați că f′(x) = (x − 2)/x, x ∈ (0,+∞).

   −+din 5
   Arată baremul

   1.a) f′(x) = x′ − 2 · (ln x)′ = - 2p = 1 − 2 · 1/x = (x − 2)/x, x ∈ (0,+∞) - 3p

2. 1. b) Determinați ecuația tangentei la graficul funcției f în punctul de abscisă x = 1 situat pe graficul funcției f.

   −+din 5
   Arată baremul

   Răspuns: y = −x + 2

   1.b) f(1) = 1, f′(1) = −1 - 2p Ecuația tangentei este y − f(1) = f′(1)(x − 1), adică y = −x + 2 - 3p

3. 1. c) Demonstrați că ln(x/2) ≤ (x − 2)/2, pentru orice x ∈ (0,+∞).

   −+din 5
   Arată baremul

   1.c) f′(x) = 0 ⇔ x = 2; f′(x) ≤ 0, pentru orice x ∈ (0,2] ⇒ f este descrescătoare pe (0,2]; f′(x) ≥ 0, pentru orice x ∈ [2,+∞) ⇒ f este crescătoare pe [2,+∞) - 3p f(2) = 2 − 2ln 2, deci 2 − 2ln 2 ≤ f(x), pentru orice x ∈ (0,+∞), de unde obținem ln(x/2) ≤ (x − 2)/2, pentru orice x ∈ (0,+∞) - 2p

4. 2. a) Arătați că ∫₀³ (1/f(x)) dx = 12.

   −+din 5
   Arată baremul

   2.a) ∫₀³ (1/f(x)) dx = ∫₀³ (x² + 1) dx = [x³/3 + x]₀³ = - 3p = 27/3 + 3 = 12 - 2p

5. 2. b) Arătați că ∫₂³ 2x f(x) dx = ln 2.

   −+din 5
   Arată baremul

   b) ∫₂³ 2x f(x) dx = ∫₂³ (2x/(x² + 1)) dx = ∫₂³ ((x² + 1)′/(x² + 1)) dx = [ln(x² + 1)]₂³ = - 3p = ln 10 − ln 5 = ln 2 - 2p

6. 2. c) Determinați numărul real a pentru care ∫₁² (eˣ/f(x)) dx = e(ae − a + 1).

   −+din 5
   Arată baremul

   Răspuns: 3

   c) ∫₁² (eˣ/f(x)) dx = ∫₁² eˣ(x² + 1) dx = [eˣ(x² + 1)]₁² − ∫₁² 2xeˣ dx = 5e² − 2e − [2xeˣ − 2eˣ]₁² = 3e² − 2e - 3p e(3e − 2) = e(ae − a + 1), de unde obținem a = 3 - 2p