Matematică tehnologic, sesiunea specială 2024

Corectează-te cu baremul

Ai rezolvat lucrarea pe foaie? Deschide baremul fiecărui item, trece-ți punctele și nota apare pe loc. Rămân salvate pe dispozitivul tău.

Subiectul I

1. 1. Arătați că √2·(3 + 2√2) − 3√2 + 3 = 7.

   −+din 5
   Arată baremul

   √2·(3 + 2√2) − 3√2 + 3 = 3√2 + 2√2·√2 − 3√2 + 3 = - 2p = 4 + 3 = 7 - 3p

2. 2. Se consideră funcția f : ℝ → ℝ, f(x) = 3x − 6. Determinați numărul real m pentru care f(m) = 3.

   −+din 5
   Arată baremul

   Răspuns: 3

   f(m) = 3m − 6, pentru orice număr real m - 3p 3m − 6 = 3, de unde obținem m = 3 - 2p

3. 3. Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația 5⁴ˣ⁻² = 5².

   −+din 5
   Arată baremul

   Răspuns: 1

   3. 4x − 2 = 2, de unde obținem 4x = 4 - 3p x = 1 - 2p

4. 4. Prețul unui obiect este 300 de lei. Determinați prețul obiectului după o ieftinire cu 30%.

   −+din 5
   Arată baremul

   Răspuns: 210 de lei

   (30/100)·300 = 90 de lei - 3p Prețul după ieftinire este 300 − 90 = 210 de lei - 2p

5. 5. În reperul cartezian xOy se consideră punctele A(1,1), B(5,m) și M(3,4). Determinați numărul real m, știind că…

   −+din 5
   Arată baremul

   Răspuns: 7

   3 = (1 + 5)/2 și 4 = (m + 1)/2 - 3p m = 7 - 2p

6. 6. Arătați că 2(sin 45° + sin 30°)(sin 45° − sin 30°) = cos 60°.

   −+din 5
   Arată baremul

   sin 30° = 1/2, sin 45° = √2/2, cos 60° = 1/2 - 3p 2(sin 45° + sin 30°)(sin 45° − sin 30°) = 2((√2/2)² − (1/2)²) = 1/2 = cos 60° - 2p

Subiectul al II-lea

1. 1. a) Arătați că det(A(0)) = 0.

   −+din 5
   Arată baremul

   A(0) = [[1, 0], [1, 0]] ⇒ det(A(0)) = det([[1, 0], [1, 0]]) = 1·0 − 1·0 = - 3p = 0 − 0 = 0 - 2p

2. 1. b) Arătați că A(3) + A(5) = 2A(4).

   −+din 5
   Arată baremul

   A(3) + A(5) = [[1, 3], [4, 0]] + [[1, 5], [6, 0]] = [[2, 8], [10, 0]] = - 3p = 2[[1, 4], [5, 0]] = 2A(4) - 2p

3. 1. c) Determinați numerele naturale n pentru care det(A(n) + I₂) ≥ 0.

   −+din 5
   Arată baremul

   Răspuns: n ∈ {0, 1}

   A(n) + I₂ = [[1, n], [n + 1, 0]] + [[1, 0], [0, 1]] = [[2, n], [n + 1, 1]] și det(A(n) + I₂) = 2 − n(n + 1), pentru orice număr natural n - 2p n(n + 1) ≤ 2 și, cum n este număr natural, obținem n = 0 și n = 1 - 3p

4. 2. a) Arătați că f(0) = −1, pentru orice număr real m.

   −+din 5
   Arată baremul

   f(0) = 0³ − 3·0² + m·0 − 1 = - 3p = 0 − 0 + 0 − 1 = −1, pentru orice număr real m - 2p

5. 2. b) Arătați că x₁ + x₂ + x₃ = 3x₁x₂x₃, pentru orice număr real m, unde x₁, x₂ și x₃ sunt rădăcinile polinomului f.

   −+din 5
   Arată baremul

   x₁ + x₂ + x₃ = 3 - 2p x₁x₂x₃ = 1, de unde obținem x₁ + x₂ + x₃ = 3x₁x₂x₃, pentru orice număr real m - 3p

6. 2. c) Determinați numărul real m pentru care polinomul f este divizibil cu polinomul X − 1.

   −+din 5
   Arată baremul

   Răspuns: 3

   f(1) = 1³ − 3·1² + m·1 − 1 = 1 − 3 + m − 1 = m − 3, pentru orice număr real m - 2p f(1) = 0, de unde obținem m = 3 - 3p

Subiectul al III-lea

1. 1. a) Arătați că f′(x) = (1 − x²)/(x² + 1)², x ∈ ℝ.

   −+din 5
   Arată baremul

   1. a) f′(x) = [x′·(x² + 1) − x·(x² + 1)′]/(x² + 1)² = - 3p = (x² + 1 − 2x²)/(x² + 1)² = (1 − x²)/(x² + 1)², x ∈ ℝ - 2p

2. 1. b) Arătați că lim(x → +∞) x f(x) = 1.

   −+din 5
   Arată baremul

   1. b) lim(x → +∞) x f(x) = lim(x → +∞) x²/(x² + 1) = lim(x → +∞) x²/[x²(1 + 1/x²)] = - 3p = lim(x → +∞) 1/(1 + 1/x²) = 1 - 2p

3. 1. c) Determinați intervalele de monotonie a funcției f.

   −+din 5
   Arată baremul

   Răspuns: Funcția f este descrescătoare pe (−∞, −1] și pe [1, +∞), și crescătoare pe [−1, 1].

   1. c) f′(x) = 0 ⇔ x = −1 și x = 1; f′(x) ≤ 0, pentru orice x ∈ (−∞, −1] ⇒ f este descrescătoare pe (−∞, −1]; f′(x) ≥ 0, pentru orice x ∈ [−1, 1] ⇒ f este crescătoare pe [−1, 1] - 3p f′(x) ≤ 0, pentru orice x ∈ [1, +∞) ⇒ f este descrescătoare pe [1, +∞) - 2p

4. 2. a) Arătați că ∫₀¹ f(x)/eˣ dx = 4/3.

   −+din 5
   Arată baremul

   2. a) ∫₀¹ f(x)/eˣ dx = ∫₀¹ ((x² + 1)eˣ)/eˣ dx = ∫₀¹ (x² + 1) dx = [x³/3 + x]₀¹ = - 3p = 1/3 + 1 − 0 − 0 = 4/3 - 2p

5. 2. b) Demonstrați că funcția F : ℝ → ℝ, F(x) = (x² − 2x + 3)eˣ este o primitivă a funcției f.

   −+din 5
   Arată baremul

   2. b) Funcția F este derivabilă și F′(x) = (2x − 2)eˣ + (x² − 2x + 3)eˣ = (x² + 1)eˣ - 3p F′(x) = f(x), pentru orice număr real x, deci funcția F este o primitivă a funcției f - 2p

6. 2. c) Arătați că suprafața plană delimitată de graficul funcției f, axa Ox și dreptele de ecuații x = 0 și x = 2 are aria…

   −+din 5
   Arată baremul

   2. c) A = ∫₀² f(x) dx = ∫₀² (x² + 1)eˣ dx = [F(x)]₀² = F(2) − F(0) = - 3p = 3e² − 3 = 3(e² − 1) - 2p