Matematică tehnologic, simulare 2024

Corectează-te cu baremul

Ai rezolvat lucrarea pe foaie? Deschide baremul fiecărui item, trece-ți punctele și nota apare pe loc. Rămân salvate pe dispozitivul tău.

Subiectul I

1. 1. Arătați că (0,2 + 3/10)·10 = 5.

   −+din 5
   Arată baremul

   (0,2 + 3/10)·10 = (0,2 + 0,3)·10 = - 3p = 0,5·10 = 5 - 2p

2. 2. Se consideră funcția f: ℝ → ℝ, f(x) = 2x + 3. Determinați numărul real a pentru care f(a) = 7.

   −+din 5
   Arată baremul

   Răspuns: 2

   f(a) = 2a + 3 - 2p 2a + 3 = 7, de unde obținem a = 2 - 3p

3. 3. Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația √(x² + 2x + 4) = 2.

   −+din 5
   Arată baremul

   Răspuns: x = 0 sau x = −2

   x² + 2x + 4 = 4 ⇒ x(x + 2) = 0 - 3p x = 0 sau x = −2, care convin - 2p

4. 4. După o scumpire cu 50%, prețul unui obiect este de 225 de lei. Determinați prețul obiectului înainte de scumpire.

   −+din 5
   Arată baremul

   Răspuns: 150 de lei

   4. x + (50/100)·x = 225, unde x este prețul inițial al obiectului - 3p x = 150 de lei - 2p

5. 5. În reperul cartezian xOy se consideră punctele A(1, 3), B(5, 0) și C(5, 5). Arătați că triunghiul ABC este isoscel.

   −+din 5
   Arată baremul

   5. AB = 5 - 2p BC = 5, deci triunghiul ABC este isoscel - 3p

6. 6. Se consideră triunghiul ABC, dreptunghic în A, cu AB = 3 și BC = 5. Arătați că tg B = 4/3.

   −+din 5
   Arată baremul

   6. AC = 4 - 3p tg B = AC/AB = 4/3 - 2p

Subiectul al II-lea

1. 1. a) Arătați că det(A(2)) = 4.

   −+din 5
   Arată baremul

   A(2) = ⎛1  0⎞
          ⎝0  4⎠

   ⇒ det(A(2)) = |1 0| |0 4| = 4·1 − 0·0 = - 3p = 4 − 0 = 4 - 2p

2. 1. b) Arătați că A(3) + 2A(1) = 3A(2).

   −+din 5
   Arată baremul

   A(3) + 2A(1) = ⎛1  0⎞ + ⎛2  0⎞ = ⎛3   0⎞ =
                  ⎝0  8⎠   ⎝0  4⎠   ⎝0  12⎠ - 3p
   = 3⎛1  0⎞ = 3A(2) - 2p
      ⎝0  4⎠

3. 1. c) Determinați numerele reale x pentru care A(x)·A(x²) = I₂.

   −+din 5
   Arată baremul

   Răspuns: x = 0 sau x = −1

   A(x)·A(x²) = ⎛1  0 ⎞⎛1  0     ⎞ = ⎛1  0       ⎞,
                ⎝0  2ˣ⎠⎝0  2^(x²)⎠   ⎝0  2^(x+x²)⎠

   pentru orice număr real x - 2p

   ⎛1  0       ⎞ = ⎛1  0⎞ ⇔ 2^(x+x²) = 1,
   ⎝0  2^(x+x²)⎠   ⎝0  1⎠

   de unde obținem x = 0 sau x = −1 - 3p

4. 2. a) Arătați că 2 ∘ 3 = 3.

   −+din 5
   Arată baremul

   2.a) 2 ∘ 3 = 2·3 − 2 − 3 + 2 = - 3p = 6 − 2 − 3 + 2 = 3 - 2p

5. 2. b) Determinați numărul real x pentru care x ∘ 4 = x + 6.

   −+din 5
   Arată baremul

   Răspuns: 4

   b) x ∘ 4 = x·4 − x − 4 + 2 = 3x − 2, pentru orice număr real x - 3p 3x − 2 = x + 6, de unde obținem x = 4 - 2p

6. 2. c) Arătați că (x − 2) ∘ (x + 2) ≥ −3, pentru orice număr real x.

   −+din 5
   Arată baremul

   c) (x − 2) ∘ (x + 2) = x² − 2x − 2 = - 2p = (x − 1)² − 3 ≥ −3, pentru orice număr real x - 3p

Subiectul al III-lea

1. 1. a) Arătați că f′(x) = eˣ(x² − 2x − 3)/(x² − 3)², x ∈ (2, +∞).

   −+din 5
   Arată baremul

   1.a) f′(x) = [eˣ(x² − 3) − eˣ·2x]/(x² − 3)² = - 3p = eˣ(x² − 2x − 3)/(x² − 3)², x ∈ (2, +∞) - 2p

2. 1. b) Arătați că lim (x → +∞) [xf(x)/eˣ] = 0.

   −+din 5
   Arată baremul

   b) lim (x → +∞) [xf(x)/eˣ] = lim (x → +∞) [(x·eˣ/(x² − 3))/eˣ] = lim (x → +∞) [x/(x²(1 − 3/x²))] = - 3p = lim (x → +∞) [1/(x(1 − 3/x²))] = 0 - 2p

3. 1. c) Demonstrați că e^(x − 3)/(x² − 3) ≥ 1/6, pentru orice x ∈ (2, +∞).

   −+din 5
   Arată baremul

   c) f′(x) = 0 ⇔ x = 3; f′(x) ≤ 0, pentru orice x ∈ (2, 3] ⇒ f este descrescătoare pe (2, 3]; f′(x) ≥ 0, pentru orice x ∈ [3, +∞) ⇒ f este crescătoare pe [3, +∞) - 3p f(3) = e³/6, deci f(x) ≥ e³/6, pentru orice x ∈ (2, +∞), de unde obținem e^(x − 3)/(x² − 3) ≥ 1/6, pentru orice x ∈ (2, +∞) - 2p

4. 2. a) Arătați că ∫₂⁴ (f(x) − ln x) dx = 6.

   −+din 5
   Arată baremul

   2. a) ∫₂⁴ (f(x) − ln x) dx = ∫₂⁴ (x + ln x − ln x) dx = ∫₂⁴ x dx = [x²/2]₂⁴ = - 3p = 16/2 − 4/2 = 6 - 2p

5. 2. b) Arătați că ∫₁ᵉ ((f(x) − x)/x) dx = 1/2.

   −+din 5
   Arată baremul

   2. b) ∫₁ᵉ ((f(x) − x)/x) dx = ∫₁ᵉ ((x + ln x − x)/x) dx = ∫₁ᵉ (ln x/x) dx = ∫₁ᵉ ln x · (ln x)′ dx = [(ln x)²/2]₁ᵉ = - 3p = (ln e)²/2 − (ln 1)²/2 = 1/2 - 2p

6. 2. c) Determinați numărul natural nenul n pentru care ∫₁ⁿ f(x) dx = 2 + 3 ln n.

   −+din 5
   Arată baremul

   Răspuns: 3

   2. c) ∫₁ⁿ f(x) dx = ∫₁ⁿ (x + ln x) dx = ∫₁ⁿ (x + x′ ln x) dx = [x²/2 + x ln x − x]₁ⁿ = (n² − 2n + 1)/2 + n ln n, pentru orice număr natural nenul n - 3p (n − 1)²/2 + n ln n = 2 + 3 ln n ⇔ (n − 3)(n + 1 + 2 ln n) = 0 și, cum n este număr natural nenul, obținem n = 3 - 2p