Matematică tehnologic, sesiunea specială 2025

Corectează-te cu baremul

Ai rezolvat lucrarea pe foaie? Deschide baremul fiecărui item, trece-ți punctele și nota apare pe loc. Rămân salvate pe dispozitivul tău.

Subiectul I

1. 1. Determinați termenul a₃ al progresiei aritmetice (aₙ)ₙ≥₁, în care a₁ = 3 și a₂ = 9.

   −+din 5
   Arată baremul

   Răspuns: 15

   r = a₂ − a₁ = 6, unde r este rația progresiei aritmetice - 3p a₃ = a₂ + r = 15 - 2p

2. 2. Se consideră funcția f : ℝ → ℝ, f(x) = 3x − 5. Arătați că f(3) + f(2) + f(0) = 0.

   −+din 5
   Arată baremul

   2. f(3) = 4, f(2) = 1, f(0) = −5 - 3p f(3) + f(2) + f(0) = 4 + 1 − 5 = 0 - 2p

3. 3. Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația √(9x − 5) = 2.

   −+din 5
   Arată baremul

   Răspuns: 1

   3. 9x − 5 = 4 - 3p x = 1, care convine - 2p

4. 4. După o ieftinire cu 30%, un obiect costă 56 de lei. Determinați prețul obiectului înainte de ieftinire.

   −+din 5
   Arată baremul

   Răspuns: 80 de lei

   4. x − (30/100) · x = 56, unde x este prețul înainte de ieftinire - 3p x = 80 de lei - 2p

5. 5. În reperul cartezian xOy se consideră punctele A(0,1), B(5,6) și C(7,2). Arătați că AB = AC.

   −+din 5
   Arată baremul

   5. AB = √(5² + 5²) = 5√2 - 2p AC = √(7² + 1²) = 5√2, deci AB = AC - 3p

6. 6. Arătați că (sin 30° + 3cos 60°) · (sin 45°)² = 1.

   −+din 5
   Arată baremul

   sin 30° = 1/2, cos 60° = 1/2, sin 45° = √2/2 - 3p (sin 30° + 3cos 60°) · (sin 45°)² = (1/2 + 3/2) · (√2/2)² = 2 · 1/2 = 1 - 2p

Subiectul al II-lea

1. 1. a) Arătați că det A = 5.

   −+din 5
   Arată baremul

   det A = │ 1  2│ = 1 · 1 − 2 · (−2) =
           │−2  1│ - 3p

   = 1 + 4 = 5 - 2p

2. 1. b) Arătați că A + 3I₂ = 2B(1).

   −+din 5
   Arată baremul

   A + 3I₂ = ⎛ 1  2⎞ + ⎛3  0⎞ = ⎛ 4  2⎞ =
             ⎝−2  1⎠   ⎝0  3⎠   ⎝−2  4⎠ - 3p
   = 2⎛ 2  1⎞ = 2B(1)
      ⎝−1  2⎠ - 2p

3. 1. c) Determinați numerele reale x pentru care det(B(2x) − B(x) · A) = x².

   −+din 5
   Arată baremul

   Răspuns: x = 0 sau x = 20

   B(2x) = ⎛ 2  2x⎞
           ⎝−1  4x⎠,
   B(x) · A = ⎛ 2 − 2x   4 + x ⎞
              ⎝−1 − 4x  −2 + 2x⎠,
   B(2x) − B(x) · A = ⎛2x  x − 4 ⎞
                      ⎝4x  2x + 2⎠,

   de unde obținem det(B(2x) − B(x) · A) = 20x, pentru orice număr real x - 3p 20x = x², de unde obținem x = 0 sau x = 20 - 2p

4. 2. a) Arătați că 0 ∗ 1 = 0.

   −+din 5
   Arată baremul

   0 ∗ 1 = 0 · 1 − 8 · 0 − 8 · 1 + 8 = - 3p = 0 − 0 − 8 + 8 = 0 - 2p

5. 2. b) Determinați numărul real x pentru care x ∗ 2 = 2x.

   −+din 5
   Arată baremul

   Răspuns: -1

   x ∗ 2 = −6x − 8, pentru orice număr real x - 3p −6x − 8 = 2x, de unde obținem x = −1 - 2p

6. 2. c) Determinați perechile (m, n) de numere naturale, cu m < n, pentru care (8 + m) ∗ (8 + n) = 2.

   −+din 5
   Arată baremul

   Răspuns: (m, n) ∈ {(1, 58), (2, 29)}

   (8 + m) ∗ (8 + n) = mn − 56, pentru orice numere naturale m și n - 2p mn − 56 = 2 ⇔ mn = 58 și, cum m și n sunt numere naturale, cu m < n, obținem perechile (1, 58) și (2, 29) - 3p

Subiectul al III-lea

1. 1. a) Arătați că f′(x) = 9/(x + 4)², x ∈ (−4,+∞).

   −+din 5
   Arată baremul

   1.a) f′(x) = (4(x + 4) − (4x + 7))/(x + 4)² = - 3p = (4x + 16 − 4x − 7)/(x + 4)² = 9/(x + 4)², x ∈ (−4,+∞) - 2p

2. 1. b) Determinați ecuația asimptotei orizontale spre +∞ la graficul funcției f.

   −+din 5
   Arată baremul

   Răspuns: y = 4

   b) lim_{x→+∞} f(x) = lim_{x→+∞} (4x + 7)/(x + 4) = lim_{x→+∞} (4 + 7/x)/(1 + 4/x) = 4 - 3p Dreapta de ecuație y = 4 este asimptota orizontală spre +∞ la graficul funcției f - 2p

3. 1. c) Determinați a ∈ (−4,+∞), știind că panta tangentei la graficul funcției f în punctul A(a,f(a)) este egală cu 1.

   −+din 5
   Arată baremul

   Răspuns: -1

   c) f′(a) = 1 - 2p 9/(a + 4)² = 1, deci (a + 4)² = 9 și, cum a ∈ (−4,+∞), obținem a = −1 - 3p

4. 2. a) Arătați că ∫₁²(f(x) − √(x + 3)) dx = 3.

   −+din 5
   Arată baremul

   2.a) ∫₁²(f(x) − √(x + 3)) dx = ∫₁² 2x dx = [x²]₁² = - 3p = 4 − 1 = 3 - 2p

5. 2. b) Arătați că ∫₁⁶ 1/(f(x) − 2x) dx = 2.

   −+din 5
   Arată baremul

   b) ∫₁⁶ 1/(f(x) − 2x) dx = ∫₁⁶ 1/√(x + 3) dx = 2∫₁⁶ (x + 3)′/(2√(x + 3)) dx = [2√(x + 3)]₁⁶ = - 3p = 6 − 4 = 2 - 2p

6. 2. c) Arătați că volumul corpului obținut prin rotația graficului funcției g : [0,6] → ℝ, g(x) = x/(f(x) − 2x), în jurul…

   −+din 5
   Arată baremul

   c) g(x) = x/√(x + 3), x ∈ [0,6], deci V = π∫₀⁶(g(x))² dx = π∫₀⁶ x²/(x + 3) dx = - 2p = π∫₀⁶(x − 3 + 9/(x + 3)) dx = π([x²/2]₀⁶ − [3x]₀⁶ + [9 ln(x + 3)]₀⁶) = 9π ln 3 - 3p