Matematică tehnologic, model de subiect 2026

Corectează-te cu baremul

Ai rezolvat lucrarea pe foaie? Deschide baremul fiecărui item, trece-ți punctele și nota apare pe loc. Rămân salvate pe dispozitivul tău.

Subiectul I

1. 1. Arătați că 1/4 + 3 · (3/2 − 1/4) = 4.

   −+din 5
   Arată baremul

   1. 1/4 + 3 · (3/2 − 1/4) = 1/4 + 3 · 5/4 = - 3p = 1/4 + 15/4 = 4 - 2p

2. 2. Se consideră funcția f : ℝ → ℝ, f(x) = 4x − 9. Determinați numărul real a pentru care f(a) = a.

   −+din 5
   Arată baremul

   Răspuns: 3

   f(a) = 4a − 9, pentru orice număr real a - 2p 4a − 9 = a, de unde obținem a = 3 - 3p

3. 3. Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația √(2x − 1) = x.

   −+din 5
   Arată baremul

   Răspuns: 1

   3. 2x − 1 = x², deci x² − 2x + 1 = 0 - 3p x = 1, care convine - 2p

4. 4. Se consideră mulțimea A = {1,2,3,4,5,6,7,8}. Determinați probabilitatea ca, alegând un număr n din mulțimea A,…

   −+din 5
   Arată baremul

   Răspuns: 1/4

   4. Mulțimea A are 8 elemente, deci sunt 8 cazuri posibile - 2p În mulțimea A sunt 2 numere n pentru care numărul n(n + 1) este multiplu de 10, deci sunt 2 cazuri favorabile, de unde obținem p = 2/8 = 1/4 - 3p

5. 5. În reperul cartezian xOy se consideră punctele A(6,8), B(8,4) și M, mijlocul segmentului OA. Arătați că triunghiul…

   −+din 5
   Arată baremul

   M(3,4), OM = 5 - 3p BM = 5, deci OM = BM, de unde obținem că triunghiul OBM este isoscel - 2p

6. 6. Se consideră triunghiul ABC, dreptunghic în A, cu AC = 6 și AC = 3AB. Arătați că BC = 2√10.

   −+din 5
   Arată baremul

   6. AB = 2 - 2p BC² = 2² + 6² = 40, de unde obținem BC = 2√10 - 3p

Subiectul al II-lea

1. 1. a) Arătați că det(M(0)) = 0.

   −+din 5
   Arată baremul

   M(0) = ⎛  1    4 ⎞
          ⎝ −1   −4 ⎠

   ⇒ det(M(0)) = | 1 4; −1 −4 | = 1·(−4) − 4·(−1) = - 3p = −4 + 4 = 0 - 2p

2. 1. b) Arătați că M(3) + 2M(0) = 3M(1).

   −+din 5
   Arată baremul

   M(3) = ⎛  4    4 ⎞
          ⎝ −1   −1 ⎠,
   M(3) + 2M(0) = ⎛  6   12 ⎞
                   ⎝ −3   −9 ⎠ = - 3p
   = 3 ⎛  2    4 ⎞ = 3M(1) - 2p
       ⎝ −1   −3 ⎠

3. 1. c) Determinați numărul real a pentru care M(a)·M(0) = 3M(0).

   −+din 5
   Arată baremul

   Răspuns: 6

   M(a)·M(0) = ⎛ a − 3    4a − 12 ⎞
               ⎝ 3 − a    12 − 4a ⎠,

   pentru orice număr real a - 3p

   ⎛ a − 3    4a − 12 ⎞ = ⎛  3    12 ⎞
   ⎝ 3 − a    12 − 4a ⎠   ⎝ −3   −12 ⎠,

   de unde obținem a = 6 - 2p

4. 2. a) Arătați că 1 ∘ 2 = 14.

   −+din 5
   Arată baremul

   2.a) 1 ∘ 2 = 1 · 2 + 4(1 + 2) = - 3p = 2 + 12 = 14 - 2p

5. 2. b) Determinați numărul real x pentru care x ∘ 3 = x.

   −+din 5
   Arată baremul

   Răspuns: -2

   b) x ∘ 3 = 7x + 12, pentru orice număr real x - 3p 7x + 12 = x, de unde obținem x = −2 - 2p

6. 2. c) Determinați numărul real x pentru care 2ˣ ∘ 4 = 2^(x+4).

   −+din 5
   Arată baremul

   Răspuns: 1

   c) 2ˣ ∘ 4 = 2ˣ · 4 + 4(2ˣ + 4) = 8 · 2ˣ + 16, pentru orice număr real x - 2p 8 · 2ˣ + 16 = 2^(x+4) ⇔ 2^(x+3) = 2⁴, de unde obținem x = 1 - 3p

Subiectul al III-lea

1. 1. a) Arătați că f′(x) = −2(x + 2)/(x² + 4x + 5)², x ∈ ℝ.

   −+din 5
   Arată baremul

   f′(x) = [1′·(x² + 4x + 5) − 1·(x² + 4x + 5)′]/(x² + 4x + 5)² = - 2p = [0 − (2x + 4)]/(x² + 4x + 5)² = −2(x + 2)/(x² + 4x + 5)², x ∈ ℝ - 3p

2. 1. b) Arătați că lim_{x→+∞} (x² − 1)·f(x) = 1.

   −+din 5
   Arată baremul

   lim_{x→+∞} (x² − 1)·f(x) = lim_{x→+∞} (x² − 1)/(x² + 4x + 5) = lim_{x→+∞} [x²(1 − 1/x²)]/[x²(1 + 4/x + 5/x²)] = - 3p = lim_{x→+∞} (1 − 1/x²)/(1 + 4/x + 5/x²) = 1 - 2p

3. 1. c) Demonstrați că 5f(x) + f(−x) ≤ 2, pentru orice x ∈ [0,+∞).

   −+din 5
   Arată baremul

   f′(x) = 0 ⇔ x = −2; pentru orice x ∈ (−∞,−2], f′(x) ≥ 0, deci f este crescătoare pe (−∞,−2] și, pentru orice x ∈ [−2,+∞), f′(x) ≤ 0, deci f este descrescătoare pe [−2,+∞) - 2p x ∈ [0,+∞) ⇒ −x ∈ (−∞,0], deci f(x) ≤ f(0) și f(−x) ≤ f(−2) și, cum f(0) = 1/5 și f(−2) = 1, obținem 5f(x) + f(−x) ≤ 2, pentru orice x ∈ [0,+∞) - 3p

4. 2. a) Arătați că ∫₀¹ (f(x) − 2x) dx = 8/3.

   −+din 5
   Arată baremul

   2.a) ∫₀¹ (f(x) − 2x) dx = ∫₀¹ (5x² + 1) dx = (5x³/3)|₀¹ + x|₀¹ = - 3p = 5/3 + 1 = 8/3 - 2p

5. 2. b) Arătați că ∫₀² 1/(f(x) − 5x²) dx = (ln 5)/2.

   −+din 5
   Arată baremul

   b) ∫₀² 1/(f(x) − 5x²) dx = ∫₀² 1/(2x + 1) dx = (1/2)∫₀² (2x + 1)′/(2x + 1) dx = (1/2) ln(2x + 1)|₀² = - 3p = (ln 5)/2 − (ln 1)/2 = (ln 5)/2 - 2p

6. 2. c) Determinați primitiva G : (0,+∞) → ℝ a funcției g : (0,+∞) → ℝ, g(x) = (f(x) − 2x)/√x, pentru care G(1) = 5.

   −+din 5
   Arată baremul

   Răspuns: G(x) = 2x²√x + 2√x + 1, x ∈ (0,+∞)

   c) g(x) = 5x√x + 1/√x, x ∈ (0,+∞); ∫ g(x) dx = ∫ (5x√x + 1/√x) dx = 2x²√x + 2√x + C, deci G(x) = 2x²√x + 2√x + c, unde c este număr real - 3p G(1) = 5 ⇒ c = 1, deci G(x) = 2x²√x + 2√x + 1, x ∈ (0,+∞) - 2p