Matematică tehnologic, sesiunea specială 2026

Corectează-te cu baremul

Ai rezolvat lucrarea pe foaie? Deschide baremul fiecărui item, trece-ți punctele și nota apare pe loc. Rămân salvate pe dispozitivul tău.

Subiectul I

1. 1. Arătați că 8/3 − 2·(1 − 1/6) = 1.

   −+din 5
   Arată baremul

   1. 8/3 − 2·(1 − 1/6) = 8/3 − 2·5/6 = - 3p = 8/3 − 5/3 = 1 - 2p

2. 2. Se consideră funcția f : ℝ → ℝ, f(x) = 7x + 5. Determinați numărul real m pentru care f(m) = 26.

   −+din 5
   Arată baremul

   Răspuns: 3

   2. f(m) = 7m + 5, pentru orice număr real m - 3p 7m + 5 = 26, de unde obținem m = 3 - 2p

3. 3. Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația 3^(2x−1) = 3^(5−x).

   −+din 5
   Arată baremul

   Răspuns: 2

   2x − 1 = 5 − x - 3p x = 2 - 2p

4. 4. După o ieftinire cu 65%, un obiect costă 70 de lei. Determinați prețul obiectului înainte de ieftinire.

   −+din 5
   Arată baremul

   Răspuns: 200 de lei

   x − (65/100)·x = 70, unde x este prețul înainte de ieftinire - 3p x = 200 de lei - 2p

5. 5. În reperul cartezian xOy se consideră punctele A(1,3), B(8,6) și C, mijlocul segmentului OB. Determinați distanța…

   −+din 5
   Arată baremul

   Răspuns: 3

   5. C(4,3) - 2p AC = 3 - 3p

6. 6. Se consideră triunghiul ABC, dreptunghic în A, cu AC = 6·AB și aria egală cu 12. Arătați că AB = 2.

   −+din 5
   Arată baremul

   (6·AB·AB)/2 = 12 - 3p AB² = (2·12)/6 = 4, de unde obținem AB = 2 - 2p

Subiectul al II-lea

1. 1. a) Arătați că det(A(1)) = 1.

   −+din 5
   Arată baremul

   1. a)

   A(1) = ⎛ 1  2 ⎞ ⇒ det(A(1)) = │ 1  2 │ = 1·5 − 2·2 =
          ⎝ 2  5 ⎠               │ 2  5 │ - 3p

   = 5 − 4 = 1 - 2p

2. 1. b) Arătați că 3A(3) − A(1) = 2A(4).

   −+din 5
   Arată baremul

   1. b)

   A(3) = ⎛ 3  2 ⎞
          ⎝ 6  7 ⎠,
   3A(3) − A(1) = ⎛ 8   4  ⎞
                  ⎝ 16  16 ⎠ = - 3p
   = 2⎛ 4  2 ⎞ = 2A(4)
      ⎝ 8  8 ⎠ - 2p

3. 1. c) Determinați numărul real x pentru care A(0)·A(x)·A(0) = 4xA(0).

   −+din 5
   Arată baremul

   Răspuns: -4

   1. c)

   A(0) = ⎛ 0  2 ⎞
          ⎝ 0  4 ⎠,

   A(0)·A(x)·A(0) = (8x+16)A(0), pentru orice număr real x - 3p (8x+16)A(0) = 4xA(0), de unde obținem 8x+16 = 4x, deci x = −4 - 2p

4. 2. a) Pentru a = 5, arătați că f(1) = 0.

   −+din 5
   Arată baremul

   2. a) f = X³ − 4X² + 5X − 2 ⇒ f(1) = 1³ − 4·1² + 5·1 − 2 = - 3p = 1 − 4 + 5 − 2 = 0 - 2p

5. 2. b) Pentru a = 3, arătați că x₁x₂x₃ + 2x₁x₂ + 2x₁x₃ + 2x₂x₃ = 8, unde x₁, x₂ și x₃ sunt rădăcinile polinomului f.

   −+din 5
   Arată baremul

   2. b) x₁x₂ + x₁x₃ + x₂x₃ = 3, x₁x₂x₃ = 2 - 2p x₁x₂x₃ + 2x₁x₂ + 2x₁x₃ + 2x₂x₃ = x₁x₂x₃ + 2(x₁x₂ + x₁x₃ + x₂x₃) = 2 + 2·3 = 8 - 3p

6. 2. c) Se consideră polinoamele g = X − 3 și h = X + 2. Determinați numărul real a pentru care restul împărțirii polinomului…

   −+din 5
   Arată baremul

   Răspuns: 2

   2. c) g(−2) = −5, f(3) = 3a − 11, pentru orice număr real a - 3p 3a − 11 = −5, de unde obținem a = 2 - 2p

Subiectul al III-lea

1. 1. a) Arătați că f′(x) = 2(x+3)(2−x)/(x²+6)², x ∈ ℝ.

   −+din 5
   Arată baremul

   f′(x) = [2(x²+6) − (2x+1)·2x]/(x²+6)² = - 3p = (−2x²−2x+12)/(x²+6)² = 2(x+3)(2−x)/(x²+6)², x ∈ ℝ - 2p

2. 1. b) Arătați că lim_{x→+∞} (x·f(x)) = 2.

   −+din 5
   Arată baremul

   lim_{x→+∞} (x·f(x)) = lim_{x→+∞} [x(2x+1)/(x²+6)] = lim_{x→+∞} [x²(2+1/x)/(x²(1+6/x²))] = - 3p = lim_{x→+∞} [(2+1/x)/(1+6/x²)] = 2 - 2p

3. 1. c) Determinați numerele reale a pentru care tangenta la graficul funcției f în punctul de abscisă x = a, situat pe…

   −+din 5
   Arată baremul

   Răspuns: a = −3 sau a = 2

   Tangenta la graficul funcției f în punctul de abscisă x = a, situat pe graficul funcției f, are panta egală cu 0 ⇔ f′(a) = 0 - 2p 2(a+3)(2−a)/(a²+6)² = 0 ⇔ a = −3 sau a = 2 - 3p

4. 2. a) Arătați că ∫₀² f(x)·√(x+4) dx = 8.

   −+din 5
   Arată baremul

   2. a) ∫₀² f(x)·√(x+4) dx = ∫₀² 4x dx = [2x²]₀² = - 3p = 8 − 0 = 8 - 2p

5. 2. b) Arătați că ∫₅¹² (1/(2x))·f(x) dx = 4.

   −+din 5
   Arată baremul

   2. b) ∫₅¹² (1/(2x))·f(x) dx = ∫₅¹² 4/(2√(x+4)) dx = 4∫₅¹² (x+4)′/(2√(x+4)) dx = [4√(x+4)]₅¹² = - 3p = 16 − 12 = 4 - 2p

6. 2. c) Se consideră a ∈ (0,+∞) și funcția g : [a,a+8] → ℝ, g(x) = f(x)/(4√x). Determinați a ∈ (0,+∞) pentru care volumul…

   −+din 5
   Arată baremul

   Răspuns: 4

   2. c) g(x) = √x/√(x+4), x ∈ [a,a+8], deci V = π∫ₐᵃ⁺⁸ (g(x))² dx = π∫ₐᵃ⁺⁸ (1 − 4/(x+4)) dx = = π[x − 4ln(x+4)]ₐᵃ⁺⁸ = π(8 − 4ln((a+12)/(a+4))) - 3p 4π(2 − ln((a+12)/(a+4))) = 4π(2 − ln 2), de unde obținem a = 4, care convine - 2p