Matematică mate-info, sesiunea specială 2026

Corectează-te cu baremul

Ai rezolvat lucrarea pe foaie? Deschide baremul fiecărui item, trece-ți punctele și nota apare pe loc. Rămân salvate pe dispozitivul tău.

Subiectul I

1. 1. Determinați termenul a₂ al progresiei aritmetice (aₙ)ₙ≥₁, în care a₁ = 6 și a₃ = 30.

   −+din 5
   Arată baremul

   Răspuns: 18

   1. a₂ = (a₁ + a₃)/2 = (6 + 30)/2 = - 3p = 36/2 = 18 - 2p

2. 2. Se consideră funcția f : ℝ → ℝ, f(x) = ax²+2ax−1, unde a este număr real. Determinați numărul real a pentru care (f ∘…

   −+din 5
   Arată baremul

   Răspuns: -1

   Reguli generale:

   2. f(0) = −1, (f ∘ f)(0) = −a−1, pentru orice număr real a - 3p −a−1 = 0, de unde obținem a = −1 - 2p

3. 3. Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația log₂(2x² − 4x + 3) = 2log₂x.

   −+din 5
   Arată baremul

   Răspuns: x ∈ {1, 3}

   3. log₂(2x² − 4x + 3) = log₂x², de unde obținem x² − 4x + 3 = 0 - 2p x = 1 sau x = 3, care convin - 3p

4. 4. Se consideră mulțimea A = {2, 4, 5, 6}. Determinați câte numere naturale pare, de trei cifre distincte, se pot forma…

   −+din 5
   Arată baremul

   Răspuns: 18

   4. Cifra unităților se poate alege în 3 moduri - 2p Pentru fiecare alegere a cifrei unităților, cifra zecilor se poate alege în câte 3 moduri și, pentru fiecare alegere a cifrei unităților și a cifrei zecilor, cifra sutelor se poate alege în câte 2 moduri, deci se pot forma 3·3·2 = 18 numere - 3p

5. 5. În reperul cartezian xOy se consideră punctele A(6, 4) și B(1, 3). Determinați coordonatele punctului C pentru care…

   −+din 5
   Arată baremul

   Răspuns: C(4, 5)

   5. OA⃗ = 6i⃗ + 4j⃗, BC⃗ = (x_C − 1)i⃗ + (y_C − 3)j⃗ - 2p BC⃗ = (1/2)OA⃗, deci (x_C − 1)i⃗ + (y_C − 3)j⃗ = 3i⃗ + 2j⃗, de unde obținem C(4, 5) - 3p

6. 6. Se consideră triunghiul ABC, dreptunghic în A, cu AC = 6 și tg C = 1/3. Arătați că raza cercului circumscris…

   −+din 5
   Arată baremul

   Reguli generale:

   6. AB/6 = 1/3, de unde obținem AB = 2 - 2p BC = 2√10 și, cum R = BC/2, obținem R = √10 - 3p

Subiectul al II-lea

1. 1. a) Arătați că det(A(1)) = 4.

   −+din 5
   Arată baremul

   Reguli generale:

   1.a)

   A(1) = ⎛ −1  1   0 ⎞
          ⎜  2  0   0 ⎟ ⇒ det(A(1)) = | −1  1   0 |
          ⎝  0  0  −2 ⎠               |  2  0   0 |

   | 0 0 −2 | = - 2p = 0+0+0−0−0−(−4) = 4 - 3p

2. 1. b) Arătați că A(a)·A(b) = A(a+b−3ab), pentru orice numere reale a și b.

   −+din 5
   Arată baremul

   Reguli generale:

   b) A(a)·A(b) =

   ⎛ 1−2a−2b+4ab+2ab    b−2ab+a−ab           0       ⎞
   ⎜ 2a−4ab+2b−2ab      2ab+1−a−b+ab        0       ⎟ = - 3p
   ⎝         0                   0         1−3a−3b+9ab ⎠
   = ⎛ 1−2(a+b−3ab)      a+b−3ab           0        ⎞
     ⎜  2(a+b−3ab)     1−(a+b−3ab)        0        ⎟ = A(a+b−3ab), pentru orice numere reale a și b - 2p
     ⎝       0                0       1−3(a+b−3ab) ⎠

3. 1. c) Determinați numărul real a pentru care A(1)·A(a)+A(5) = 2A(4).

   −+din 5
   Arată baremul

   Răspuns: -1

   Reguli generale:

   c) A(1)·A(a) = A(1−2a), 2A(4)−A(5) = A(3) - 2p A(1−2a) = A(3), de unde obținem 1−2a = 3, deci a = −1 - 3p

4. 2. a) Arătați că f(−1) = 0, pentru orice număr real nenul m.

   −+din 5
   Arată baremul

   Reguli generale:

   2.a) f(−1) = m(−1)⁴−m(−1)²+(−1)+1 = - 3p = m−m−1+1 = 0, pentru orice număr real nenul m - 2p

5. 2. b) Determinați numărul real nenul m pentru care restul împărțirii polinomului f la polinomul g = X+2 este egal cu 11.

   −+din 5
   Arată baremul

   Răspuns: 1

   Reguli generale:

   b) f(−2) = 12m−1, pentru orice număr real nenul m - 3p 12m−1 = 11, de unde obținem m = 1 - 2p

6. 2. c) Determinați numărul real nenul m pentru care x₁³+x₂³+x₃³+x₄³ = 1, unde x₁, x₂, x₃ și x₄ sunt rădăcinile polinomului f.

   −+din 5
   Arată baremul

   Răspuns: -3

   Reguli generale:

   c) x₁+x₂+x₃+x₄ = 0, x₁x₂x₃+x₁x₂x₄+x₁x₃x₄+x₂x₃x₄ = −1/m, x₁x₂x₃x₄ = 1/m ≠ 0, pentru orice număr real nenul m - 3p m(x₁³+x₂³+x₃³+x₄³) = m(x₁+x₂+x₃+x₄)−4−(1/x₁+1/x₂+1/x₃+1/x₄), deci m = −3 - 2p

Subiectul al III-lea

1. 1. a) Arătați că f′(x) = (xeˣ + 1)/(x + 1)², x ∈ (−1, +∞).

   −+din 5
   Arată baremul

   1. a) f′(x) = ((eˣ + 2)(x + 1) − (eˣ + 2x + 1)·1)/(x + 1)² = - 3p = (xeˣ + eˣ + 2x + 2 − eˣ − 2x − 1)/(x + 1)² = (xeˣ + 1)/(x + 1)², x ∈ (−1, +∞) - 2p

2. 1. b) Determinați ecuația tangentei la graficul funcției f în punctul de abscisă x = 0, situat pe graficul funcției f.

   −+din 5
   Arată baremul

   Răspuns: y = x + 2

   1. b) f(0) = 2, f′(0) = 1 - 2p Ecuația tangentei este y − f(0) = f′(0)(x − 0), adică y = x + 2 - 3p

3. 1. c) Demonstrați că funcția f este strict crescătoare.

   −+din 5
   Arată baremul

   1. c) Considerând g : [−1, +∞) → ℝ, g(x) = xeˣ + 1, obținem g′(x) = (x + 1)eˣ ≥ 0, pentru orice x ∈ [−1, +∞), deci g este crescătoare și, cum g(−1) = 1 − 1/e > 0, rezultă că g(x) > 0, pentru orice x ∈ (−1, +∞) - 3p Cum (x + 1)² > 0, pentru orice x ∈ (−1, +∞), obținem că f′(x) > 0, pentru orice x ∈ (−1, +∞), deci f este strict crescătoare - 2p

4. 2. a) Arătați că ∫₁³ (f(x) − (ln² x)/x) dx = 12 + ln 3.

   −+din 5
   Arată baremul

   Reguli generale:

   SUBIECTUL al III-lea, 2. a) ∫₁³ (f(x) − (ln² x)/x) dx = ∫₁³ (6 + 1/x) dx = (6x + ln x)|₁³ = - 3p = 18 + ln 3 − 6 − ln 1 = 12 + ln 3 - 2p

5. 2. b) Arătați că ∫₁ᵉ (f(x) − 6 − 1/x) dx = 1/3.

   −+din 5
   Arată baremul

   Reguli generale:

   SUBIECTUL al III-lea, 2. b) ∫₁ᵉ (f(x) − 6 − 1/x) dx = ∫₁ᵉ ((ln² x)/x) dx = ∫₁ᵉ (ln x)′ · ln² x dx = ((ln³ x)/3)|₁ᵉ = - 3p = (ln³ e)/3 − (ln³ 1)/3 = 1/3 - 2p

6. 2. c) Determinați numărul real m pentru care aria suprafeței plane delimitate de graficul funcției g : (0,+∞) → ℝ, g(x) =…

   −+din 5
   Arată baremul

   Răspuns: 3

   Reguli generale:

   SUBIECTUL al III-lea, 2. c) g(x) = 1/x² + (ln² x)/x², x ∈ (0,+∞) ⇒ A = ∫₁ᵉ |g(x)| dx = (−1/x)|₁ᵉ − ∫₁ᵉ (1/x)′ ln² x dx = - 2p = −1/e + 1 − ((ln² x)/x)|₁ᵉ − ((2/x)(1 + ln x))|₁ᵉ = 3 − 6/e, deci m(1 − 2/e) = 3 − 6/e, de unde obținem m = 3 - 3p