Matematică pedagogic, sesiunea august 2021

Corectează-te cu baremul

Ai rezolvat lucrarea pe foaie? Deschide baremul fiecărui item, trece-ți punctele și nota apare pe loc. Rămân salvate pe dispozitivul tău.

Subiectul I

1. 1. Se consideră progresia aritmetică (aₙ)ₙ≥₁, cu a₁ = 2 și a₃ = 14. Calculați termenul a₂.

   −+din 5
   Arată baremul

   Răspuns: 8

   1. a₂ = (a₁ + a₃)/2 = (2 + 14)/2 = - 3p = 8 - 2p

2. 2. Se consideră funcția f : ℝ → ℝ, f(x) = x² − 2x. Determinați abscisele punctelor de intersecție a graficului funcției…

   −+din 5
   Arată baremul

   Răspuns: x = 0 și x = 2

   2. f(x) = 0 ⇔ x² − 2x = 0 - 3p Abscisele punctelor de intersecție a graficului funcției f cu axa Ox sunt x = 0 și x = 2 - 2p

3. 3. Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația 7⁽³⁻ˣ⁾ = 49ˣ.

   −+din 5
   Arată baremul

   Răspuns: 1

   7⁽³⁻ˣ⁾ = 7²ˣ ⇔ 3 − x = 2x - 3p x = 1 - 2p

4. 4. Determinați probabilitatea ca, alegând un număr n din mulțimea A = {1, 2, 3, …, 9}, numărul n + 2 să fie impar.

   −+din 5
   Arată baremul

   Răspuns: 5/9

   4. Mulțimea A are 9 elemente, deci sunt 9 cazuri posibile - 2p Numerele n din mulțimea A pentru care numărul n + 2 este impar sunt 1, 3, 5, 7 și 9, deci sunt 5 cazuri favorabile - 2p p = (nr. cazuri favorabile)/(nr. cazuri posibile) = 5/9 - 1p

5. 5. În reperul cartezian xOy se consideră punctele A(0, −3), B(3, 1) și C(a, 0), unde a este număr real. Determinați…

   −+din 5
   Arată baremul

   Răspuns: a = −4 sau a = 4

   AB = AC ⇔ √(3² + 4²) = √(a² + 3²) - 2p a² = 4², de unde obținem a = −4 sau a = 4 - 3p

6. 6. Arătați că (1 + sin 30°) · cos² 45° + cos² 60° = 1.

   −+din 5
   Arată baremul

   SUBIECTUL I, 6. sin 30° = 1/2, cos 45° = √2/2, cos 60° = 1/2 - 3p (1 + sin 30°) · cos² 45° + cos² 60° = (1 + 1/2) · 2/4 + 1/4 = 3/4 + 1/4 = 1 - 2p

Subiectul al II-lea

1. 1. Arătați că 0 ∗ 3 = 9.

   −+din 5
   Arată baremul

   1. 0 ∗ 3 = 4·0 + 4·3 − 3 = - 3p = 12 − 3 = 9 - 2p

2. 2. Arătați că legea de compoziție „∗” este comutativă.

   −+din 5
   Arată baremul

   x ∗ y = 4x + 4y − 3 = 4y + 4x − 3 = - 3p = y ∗ x, pentru orice numere reale x și y, deci legea de compoziție „∗” este comutativă - 2p

3. 3. Determinați numărul real x pentru care (−3) ∗ x = 9.

   −+din 5
   Arată baremul

   Răspuns: 6

   (−3) ∗ x = 4x − 15, pentru orice număr real x - 3p 4x − 15 = 9, de unde obținem x = 6 - 2p

4. 4. Determinați numerele reale x pentru care (−x) ∗ (2x) = x².

   −+din 5
   Arată baremul

   Răspuns: x = 1 sau x = 3

   4. (−x) ∗ (2x) = 4x − 3, pentru orice număr real x - 2p 4x − 3 = x² ⇔ x² − 4x + 3 = 0, de unde obținem x = 1 sau x = 3 - 3p

5. 5. Determinați numărul real x pentru care 2ˣ ∗ 2ˣ = 1.

   −+din 5
   Arată baremul

   Răspuns: -1

   2ˣ ∗ 2ˣ = 8 · 2ˣ − 3, pentru orice număr real x - 2p 8 · 2ˣ − 3 = 1 ⇔ 2ˣ = 1/2, de unde obținem x = −1 - 3p

6. 6. Determinați numărul real x, știind că scăzând x din numărul x ∗ ((x/2) ∗ (x/4)), se obține numărul cu 1 mai mic decât x.

   −+din 5
   Arată baremul

   Răspuns: 1

   6. (x/2) ∗ (x/4) = 3x − 3, x ∗ ((x/2) ∗ (x/4)) = 16x − 15, pentru orice număr real x - 3p 16x − 15 − x = x − 1, de unde obținem x = 1 - 2p

Subiectul al III-lea

1. 1. Arătați că det A = 5.

   −+din 5
   Arată baremul

   det A = │ 1   6│ = 1 · (−7) − 6 · (−2) =
           │−2  −7│

   3p = −7 + 12 = 5 2p

2. 2. Arătați că 2B(1) − A = 3I₂.

   −+din 5
   Arată baremul

   B(1) = ⎛ 2   3⎞
          ⎝−1  −2⎠
   ⇒ 2B(1) − A = ⎛ 4   6⎞ − ⎛ 1   6⎞ = ⎛3  0⎞ =
                  ⎝−2  −4⎠   ⎝−2  −7⎠   ⎝0  3⎠

   3p

   = 3⎛1  0⎞ = 3I₂
      ⎝0  1⎠

   2p

3. 3. Arătați că B(1) · B(3) − 3I₂ = 2B(0).

   −+din 5
   Arată baremul

   SUBIECTUL al III-lea, 3.

   B(3) = ⎛2   5⎞
          ⎝1  −2⎠
   ⇒ B(1) · B(3) = ⎛ 7   4⎞
                    ⎝−4  −1⎠ - 3p

   B(1) · B(3) − 3I₂ = ⎛ 4   4⎞
                        ⎝−4  −4⎠
   = 2 ⎛ 2   2⎞
       ⎝−2  −2⎠

   = 2B(0) - 2p

4. 4. Arătați că B(x)·B(x) = x²I₂, pentru orice număr real x.

   −+din 5
   Arată baremul

   4. B(x)·B(x) =

   ⎛     4 + (x² − 4)         2(x + 2) − 2(x + 2)⎞
   ⎝2(x − 2) − 2(x − 2)          (x² − 4) + 4    ⎠ = - 3p
   = ⎛x²  0 ⎞ = x²⎛1  0⎞ = x²I₂, pentru orice număr real x - 2p
     ⎝0   x²⎠     ⎝0  1⎠

5. 5. Determinați numărul real x pentru care det(B(x)) = det(B(x + 1)).

   −+din 5
   Arată baremul

   Răspuns: −1/2

   5. det(B(x)) = −x² și det(B(x + 1)) = −(x + 1)², pentru orice număr real x - 3p −x² = −(x + 1)² ⇔ 2x + 1 = 0, de unde obținem x = −1/2 - 2p

6. 6. Determinați numărul natural n pentru care B(3) · B(3) + B(4) · B(4) = B(n) · B(n).

   −+din 5
   Arată baremul

   Răspuns: 5

   B(3) · B(3) = 3²I₂, B(4) · B(4) = 4²I₂ și B(n) · B(n) = n²I₂, unde n este număr natural - 3p 25I₂ = n²I₂, deci n² = 25 și, cum n este număr natural, obținem n = 5 - 2p