Matematică pedagogic, sesiunea iunie-iulie 2021

Corectează-te cu baremul

Ai rezolvat lucrarea pe foaie? Deschide baremul fiecărui item, trece-ți punctele și nota apare pe loc. Rămân salvate pe dispozitivul tău.

Subiectul I

1. 1. Arătați că √2·(3 + √2) − √18 = 2.

   −+din 5
   Arată baremul

   √2·(3 + √2) − √18 = 3√2 + √2·√2 − √18 = - 2p = 3√2 + 2 − 3√2 = 2 - 3p

2. 2. Se consideră funcțiile f : ℝ → ℝ, f(x) = x + 1 și g : ℝ → ℝ, g(x) = 3x + 7. Determinați numărul real a pentru care…

   −+din 5
   Arată baremul

   Răspuns: -3

   SUBIECTUL I / 2. a + 1 = 3a + 7 - 3p a = −3 - 2p

3. 3. Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația √(4 + 2x) = 4.

   −+din 5
   Arată baremul

   Răspuns: 6

   4 + 2x = 16 - 3p x = 6, care convine - 2p

4. 4. Determinați probabilitatea ca, alegând un număr n din mulțimea numerelor naturale nenule de o cifră, numărul n să fie…

   −+din 5
   Arată baremul

   Răspuns: 5/9

   Mulțimea numerelor naturale nenule de o cifră are 9 elemente, deci sunt 9 cazuri posibile - 2p Divizorii numărului 18, din mulțimea numerelor naturale nenule de o cifră, sunt 1, 2, 3, 6 și 9, deci sunt 5 cazuri favorabile - 2p p = (nr. cazuri favorabile)/(nr. cazuri posibile) = 5/9 - 1p

5. 5. În reperul cartezian xOy se consideră punctele A(−1, 2) și B(3, a), unde a este număr real. Determinați numărul real…

   −+din 5
   Arată baremul

   Răspuns: -6

   A ∈ OB ⇒ m_AO = m_OB - 2p −2 = a/3, deci a = −6 - 3p

6. 6. Se consideră triunghiul ABC dreptunghic în A, cu BC = 4 și măsura unghiului C de două ori mai mare decât măsura…

   −+din 5
   Arată baremul

   Răspuns: 2

   SUBIECTUL I / 6. △ABC este dreptunghic în A și măsura unghiului C de două ori mai mare decât măsura unghiului B, deci ∢B = 30° - 2p AC = BC/2, de unde obținem AC = 2 - 3p

Subiectul al II-lea

1. 1. Arătați că 1 ∗ 2 = 1.

   −+din 5
   Arată baremul

   SUBIECTUL al II-lea / 1. 1 ∗ 2 = 3 · 1 + 3 · 2 − 3 · 1 · 2 − 2 = - 3p = 3 − 2 = 1 - 2p

2. 2. Arătați că x ∗ y = 1 − 3(x − 1)(y − 1), pentru orice numere reale x și y.

   −+din 5
   Arată baremul

   SUBIECTUL al II-lea / 2. x ∗ y = 1 − 3xy + 3x + 3y − 3 = - 3p = 1 − 3x(y − 1) + 3(y − 1) = 1 − 3(x − 1)(y − 1), pentru orice numere reale x și y - 2p

3. 3. Arătați că e = 2/3 este elementul neutru al legii de compoziție „∗“.

   −+din 5
   Arată baremul

   x∗(2/3) = 1 − 3(x − 1)(2/3 − 1) = 1 + x − 1 = x, pentru orice număr real x - 2p (2/3)∗x = 1 − 3(2/3 − 1)(x − 1) = 1 + x − 1 = x, pentru orice număr real x, deci e = 2/3 este elementul neutru al legii de compoziție „∗” - 3p

4. 4. Determinați numărul real x pentru care (2 − x) ∗ 2 = 2 + x.

   −+din 5
   Arată baremul

   Răspuns: 2

   SUBIECTUL al II-lea / 4. (2 − x) ∗ 2 = 3x − 2, pentru orice număr real x - 3p 3x − 2 = 2 + x, de unde obținem x = 2 - 2p

5. 5. Determinați perechile (m,n) de numere naturale pentru care m∗n = 19.

   −+din 5
   Arată baremul

   Răspuns: (0,7) și (7,0)

   1 − 3(m − 1)(n − 1) = 19 ⇔ (m − 1)(n − 1) = −6, unde m și n sunt numere naturale - 2p m și n sunt numere naturale, deci m − 1 ≥ −1 și n − 1 ≥ −1, de unde obținem (0,7) și (7,0) - 3p

6. 6. Determinați numerele reale a pentru care (a ∗ 1) + (a ∗ 2) + (a ∗ 3) = 3a².

   −+din 5
   Arată baremul

   Răspuns: a = −4 sau a = 1

   SUBIECTUL al II-lea / 6. a ∗ 1 = 1, a ∗ 2 = 4 − 3a, a ∗ 3 = 7 − 6a, deci (a ∗ 1) + (a ∗ 2) + (a ∗ 3) = 12 − 9a, pentru orice număr real a - 3p 12 − 9a = 3a² ⇔ a² + 3a − 4 = 0, de unde obținem a = −4 sau a = 1 - 2p

Subiectul al III-lea

1. 1. Arătați că det A = 2.

   −+din 5
   Arată baremul

   det A = | 1 −1; −2 4 | = 1·4 − (−1)·(−2) = - 3p = 4 − 2 = 2 - 2p

2. 2. Arătați că xA − 2I₂ = B(x), pentru orice număr real x.

   −+din 5
   Arată baremul

   xA − 2I₂ = ⎛ x  −x ⎞ − ⎛ 2  0 ⎞ =
              ⎝ −2x  4x ⎠   ⎝ 0  2 ⎠ - 3p
   = ⎛ x − 2    −x ⎞ = B(x), pentru orice număr real x - 2p
     ⎝  −2x   4x − 2 ⎠

3. 3. Arătați că A·A = B(5).

   −+din 5
   Arată baremul

   A·A = ⎛  3  −5 ⎞ - 3p
         ⎝ −10  18 ⎠
   B(5) = ⎛  3  −5 ⎞, deci A·A = B(5) - 2p
          ⎝ −10  18 ⎠

4. 4. Determinați numerele reale x pentru care det(B(x)) = 4.

   −+din 5
   Arată baremul

   Răspuns: x = 0 sau x = 5

   SUBIECTUL al III-lea / 4. det(B(x)) = 2x² − 10x + 4, pentru orice număr real x - 3p 2x² − 10x + 4 = 4 ⇔ x² − 5x = 0, de unde obținem x = 0 sau x = 5 - 2p

5. 5. Arătați că B(xy) − xB(y) = 2(x − 1)I₂, pentru orice numere reale x și y.

   −+din 5
   Arată baremul

   B(xy) − xB(y) = xyA − 2I₂ − x(yA − 2I₂) = xyA − 2I₂ − xyA + 2xI₂ = - 3p = 2xI₂ − 2I₂ = 2(x − 1)I₂, pentru orice numere reale x și y - 2p

6. 6. Determinați numărul real x pentru care B(6ˣ) − 2ˣB(3ˣ) = 6I₂.

   −+din 5
   Arată baremul

   Răspuns: 2

   SUBIECTUL al III-lea / 6. B(2ˣ · 3ˣ) − 2ˣB(3ˣ) = 2(2ˣ − 1)I₂, pentru orice număr real x - 3p 2(2ˣ − 1) = 6, de unde obținem x = 2 - 2p